Resumen T3 Trasnformada Discreta de Fourier (2015)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas SIS
Año del apunte 2015
Páginas 7
Fecha de subida 24/01/2015
Descargas 26
Subido por

Vista previa del texto

Carlos Angulo SIS T3 DFT Idees Bàsiques 𝑥 𝑡 →𝑋 𝑓 𝑋 𝑡 → 𝑋(−𝑓) Dualitat 𝟏 𝑻𝑺 SdF amb 𝒇𝟎 = TF Inversa 𝒇→𝒕 + TF Directa 𝒇←𝒕 − 𝐶𝑛 𝑥 𝑡 = 1 𝐶𝑛 = 𝑇𝑆 𝑥 𝑡 = 𝑒 +𝑗2𝜋𝑛 𝑓0𝑡 𝑛=−∞ ∞ 𝑥𝑏 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋 𝑋 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 −∞ ∞ 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 𝑋 𝑓 = −∞ ∞ ∞ ∞ 𝑥 𝑡 = 𝐶𝑛 𝑒 𝑗2𝜋𝑛 𝟏 𝑡 𝑻𝒔 𝑛=−∞ 𝒏 𝑡 𝑻𝒔 𝑑𝑓 𝐶𝑛 = −∞ 1 𝑋 𝑓 𝑇𝑆 𝑏 𝑓= 𝑛 𝑇𝑆 T3 DFT Mostratge de senyals analògics a senyals discrets 𝑥 𝑛 =𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 𝐹𝑐 freq. Normalitzada ∅ 𝑓𝑐 freq. del senyal [𝐻𝑧] 𝑓𝑆 freq. de mostratge Discret Analògic Temps 𝑓𝑐 𝑓𝑆 1 𝐹𝑐 ∈ 0, 2 𝐹𝑐 = 𝑛 𝑡=𝑛𝑇𝑆 = 𝑓𝑠 Mostreig 𝑇𝐹 Teorema de Nyquist 𝑥𝑛 Un senyal de banda limitada a B es pot recuperar a partir de les seves mostres si 1 es compleix que ≥ 2𝐵 𝑇𝐹 𝑓𝑐 ≤ 𝑓𝑠 2 𝑇 𝑋(𝑓) Freq.
𝑋(𝐹) Conversió A/D 1.
2.
Com fer el mostreig Que val 𝑋 𝐹 𝑥 𝑡 ↔𝑥 𝑛 Relacions 𝑋 𝑓 ↔ 𝑋(𝐹) 3.
Conversor A/D 𝑥(𝑡) 𝑥 𝑛 =𝑥 𝑡 𝑥[𝑛] 𝑛 𝑡= =𝑛𝑇 𝑓𝑠 Concepte de Mostreig 𝑥𝑠 𝑡 = 𝑥 𝑡 · 𝑝 𝑡 𝑥(𝑡) X ∞ 𝑥𝑠 (𝑡) 𝑝 𝑡 = 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇𝑠 ∞ 𝑝 𝑡 𝑥𝑠 𝑡 senyal semblant a 𝑥 𝑡 𝑃 𝑡 tren de deltes, periòdiques i es poden escriure en SdF 1 𝑓𝑠 = 𝑇𝑆 𝑋𝑠 𝑓 = 𝑋 𝑓 ∗ 𝑃 𝑓 𝑝 𝑡 = 𝐶𝑛 𝑛=−∞ 𝑛=−∞ 𝑛 𝑗2𝜋 𝑡 𝑒 𝑇𝑠 = 1 𝑇𝑆 ∞ 𝑒 𝑛 𝑗2𝜋 𝑇 𝑡 1 𝑃 𝑓 = 𝑇𝑆 𝑠 𝑛=−∞ 1 1 𝐶𝑛 = 𝑋𝑏 𝑓 𝑛 = 𝑇𝑆 𝑇𝑆 𝑓=𝑇 𝑆 𝑋 𝑡 = 𝛿 𝑡 → 𝑋𝑏 𝑓 = 1 ∞ 𝑥𝑠 𝑡 = 𝑇𝐹 𝑥 𝑛𝑇𝑆 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑆 ) 𝑛=−∞ Resumen SIS T3 DFT 𝑋𝑠 𝑓 = 1 𝑇𝑆 ∞ 𝛿 𝑓 − 𝑛𝑓𝑠 𝑛=−∞ ∞ 𝑋 𝑓 − 𝑛𝑓𝑆 𝑚=−∞ 1 Carlos Angulo SIS T3 DFT Podem recuperar 𝑥 𝑡 a partir de 𝑋𝑠 (𝑓) amb un filtre passabaix Es compleix Criteri de Nyquist Sempre i quan 𝒇𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒇𝒔 𝟐 Aliasing Solapament de senyals. Distorsió produïda quan un senyal es mostreja sense criteri de Nyquist.
Filtre Antialiasing Limitar la durada del senyal i després mostrejar Filtre.
antialiasing A/D D/A Partim de 𝑋𝑆 𝑓 i 𝑋𝑆 𝑡 . Volem recuperar 𝑥(𝑡) Conversor D/A (ordre 0) Ideal TF 𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑠 𝑡 ∗ ℎ𝑟 (𝑡) 𝑋 𝑓 = 𝑋𝑠 𝑓 · 𝐻𝑅 (𝑓) Apliquem un filtre passa-baix en 𝑓 amb amplitud 𝑇𝑠 = 1/𝑓𝑠 per recuperar l’amplitud de 𝑥(𝑡) 𝐻𝑅 𝑓 = 𝑋𝑠 𝑓 = 1 𝑇𝑆 1 𝑓 ⊓ 𝑓𝑠 𝑓𝑆 𝑆𝑖𝑛𝑐 𝑡 𝑇𝑠 ∞ Desaventatges • Filtre no causal • Calen ∞ valors ∞ 𝑋(𝑓 − 𝑛𝑓𝑠 ) 𝑥𝑠 𝑡 = 𝑛=−∞ 𝑥 𝑛𝑇 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) 𝑛=−∞ 1 𝑓 1 𝑋 𝑓 = ⊓ 𝑓𝑠 𝑓𝑆 𝑇𝑠 ∞ ∞ 𝑥 𝑡 = 𝑋(𝑓 − 𝑛𝑓𝑠 ) 𝑛=−∞ 𝑥 𝑛𝑇𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑡 − 𝑛𝑇𝑆 La suma de sinc’s recupera el senyal original 𝑇𝑠 𝑛=−∞ D/A Zero Order Hold (ZOH) – Mostreig Real 𝑇 2 Mante la ultima mostra amb un pols rectangular retardat a 𝑠 , interpolació de pulsos TF 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑠 𝑡 ∗ 𝑃𝑅 (𝑡) 𝑃𝑅 𝑡 =⊓ 𝑡− 𝑇𝑆 𝑥 𝑡 ≈ 𝑥(𝑡) 𝑋 𝑓 = 𝑋𝑠 𝑓 · 𝑃𝑅 (𝑓) Si 𝑓𝑠 ≫ 𝑓max 2 𝑇𝑠 A/D Sampre Zero Hold SZH ∞ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑛𝑇𝑠 · 𝑝 𝑡 𝑝 𝑡 =⊓ 𝑛=−∞ 𝑡 − 𝑇𝑆 /2 𝑇𝑠 𝑥 𝑡 ≠𝑥 𝑡 D/A Conversor 1r ordre- Interpolació lineal ∞ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑛𝑇𝑠 · 𝑝 𝑡 − 𝑛𝑇𝑆 𝑝 𝑡 =∧ 𝑛=−∞ • • 𝑡 𝑇𝑆 𝑥 𝑡 ≠𝑥 𝑡 Més precís que SZH Menys precís que el ideal Resumen SIS T3 DFT 2 Carlos Angulo SIS T3 DFT Teorema de Nyquist Un senyal de banda limitada a B es pot recuperar a partir 1 de les seves mostres si es compleix que ≥ 2𝐵 Mostreig Conversió 𝑇 ∞ Mostreig Ideal Conversió A/D • Amb deltes 𝑥𝑆 𝑡 = 𝑥 𝑛𝑇 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑠 ) 1 𝑇𝑆 𝑥𝑆 𝑓 = 𝑛=−∞ ∞ Mostratge natural • Polsos amb duració 𝝉 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑝 𝑛=−∞ 𝑡 − 𝑛𝑇 𝜏 ∞ Mostratge real 𝑦 𝑡 = 𝑌 𝑓 = 𝑡 − 𝑛𝑇 𝜏 𝑥 𝑛𝑇 𝑝 𝑛=−∞ 1 𝑇 𝑌 𝑓 = ∞ 𝑋 𝑓 − 𝑛𝑓𝑆 𝑚=−∞ ∞ 𝑋 𝑓− 𝑚=−∞ 1 𝑇 𝑚 𝑚 𝑝 𝑇 𝑇 ∞ 𝑋 𝑓− 𝑚=−∞ 𝑚 𝑝 𝑓 𝑇 Per recuperar senyals analògics a partir de les seves mostres es fa una interpolació d’aquestes mostres ∞ Interpolació Ideal 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑛𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑛=−∞ 𝑡 − 𝑛𝑇 𝑇 ∞ Interpolació aproximada 𝑥 𝑡 ≈ 𝑥 𝑛𝑇 ℎ(𝑡 − 𝑛𝑇) 𝑛=−∞ Partint de Discret Analògic Temps Mostreig 𝑥 𝑡 𝑇𝐹 TF de Senyals Periòdiques 𝑥𝑛 ∞ 𝑥 𝑡 = 𝑇𝐹 𝐶𝑛 𝑒 𝑗2𝜋𝑛 Dualitat 𝟏 𝑡 𝑻𝒔 𝑥 𝑡 →𝑋 𝑓 𝑋 𝑡 → 𝑥(−𝑓) 𝑛=−∞ Freq.
𝑋(𝑓) 1 𝐶𝑛 = 𝑋𝑏 𝑓 𝑇𝑆 𝑋(𝐹) 𝑋𝑆 (𝑓) 𝑓= 𝑛 =𝑛𝑓𝑠 𝑇𝑆 Apliquem SDF a 𝑿(𝒇) ∞ 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝑭𝑛 𝑋 𝐹 = 1 𝑋 𝐹 = 𝑋𝑆 𝑓 = 𝑇𝑆 𝑛=−∞ 𝑥[𝑛] = 1 2 1 2 𝑋 𝐹 𝑒 𝑗2𝜋𝑭𝑛 𝑑𝐹 ∞ 𝑘=−∞ 𝐶𝑛 = 𝒇 𝑭= 𝒇𝒔 𝑥𝑆 𝑡 = 𝑥 𝑡 · 𝑝(𝑡) Periòdica 1 𝑋(𝑓 − 𝑘𝑓𝑠 ) = 𝑇𝑆 1 𝑥 𝑡 𝑓𝑠 𝑡=𝑛𝑇𝑠 = ∞ 𝐶𝑛 𝑒 𝒇 𝑛 𝒇𝑺 𝑛=−∞ 1 𝒙[𝒏] 𝑓𝑠 𝑋𝑆 𝐹 = 𝑋 𝑓 ∗ 𝑃(𝑓) ∞ 𝑃 𝑓 = 𝑘=−∞ Resumen SIS T3 DFT −𝑗2𝜋 1 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓𝑠 ) 𝑇𝑆 3 Carlos Angulo SIS T3 DFT Transformada de Fourier de Seqüències ∞ Directa 𝑻𝑭 𝑥[𝑛] 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹𝑛 De temps a freqüència 𝑋 𝐹 𝑒 𝑗2𝜋𝐹𝑛 𝑑𝐹 De freqüència a temps 𝑋 𝐹 = 𝑛=−∞ Inversa 𝑻𝑭−𝟏 𝑥(𝐹) 𝑥𝑛 = 1 2 1 − 2 1 2 𝑋 𝐹 periòdica de − a Mostreig 𝑥(𝑡) Temps 𝐹𝑇 −1 𝑥[𝑛] 𝐹𝑇 −1 𝐹𝑇 𝑋(𝑓) Freqüència 1 2 𝐹𝑇 𝑋(𝐹) Propietats de la transformada de Fourier 𝑿(𝒇) Hermètic • Linealitat 𝑇𝐹 𝛼𝑥1 [𝑛] + 𝛽𝑥2 [𝑛] = 𝛼𝑋1 𝐹 + 𝛽𝑋2 (𝐹) • Simetries 𝑥 −𝑛 ↔ 𝑋 −𝐹 −𝑥 ∗ 𝑛 ↔ −𝑋 ∗ (−𝐹) 𝑥 𝑛 parell → 𝑋 𝐹 parell 𝑥 𝑛 imparell → 𝑋 𝐹 imparell 𝑥[𝑛] és real → 𝑋 𝐹 és hermètic 𝑥[𝑛] és real i parell → 𝑋 𝐹 real i parell 𝑥 𝑛 és real i imparell → 𝑋 𝐹 imaginari pur i imparell 𝑥 𝑛 és imag i imparell → 𝑋 𝐹 real i imparell • Desplaçament temporal 𝑥 𝑛 − 𝑛0 ↔ 𝑋 𝐹 · 𝑒 −𝑗2 𝜋𝐹𝑛0 • Desplaçament freq.
𝑒 𝑗2𝜋𝐹0 𝑛 𝑥 𝑛 ↔ 𝑋(𝐹 − 𝐹0 ) • Escalat 𝑥 𝑎𝑡 → 𝑋 𝑓 = 𝑋∗ 𝑓 ↔ • Convolució • Derivació 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 → 𝑋 𝑓 · 𝐻(𝐹) 𝑛𝑥 𝑛 → 𝑗 𝑑 𝑋(𝐹) 2𝜋 𝑑𝐹 1 𝑓 𝑋 𝑎 𝑎 Convolució periòdica Enfinestrament 𝑥1 𝑛 · 𝑥2 𝑛 |𝑋 𝑓 = 𝑋 −𝑓 ∠𝑋 𝑓 = −∠𝑋 ∗ (𝑓) 1 2 1 − 2 Resumen SIS T3 DFT 𝑋1 𝜆 𝑋2 𝐹 − 𝜆 𝑑𝜆 𝑋1 𝐹 1 𝑋2 𝐹 4 Carlos Angulo SIS T3 DFT Taula Transformades discretes Transformada de Fourier Discreta 𝒏→𝑭 ∞ 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹𝑛 𝑋 𝐹 = 𝑛=−∞ Transformada Inversa de Fourier 𝒏←𝑭 Temps Freqüència 𝑥𝑛 = 1 2 1 − 2 Temps Freqüència 𝒙[𝒏] 𝑿𝒃 (𝑭) 𝒙[𝒏] 𝛿[𝑛] 1 𝑢[𝑛] 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹𝑛 𝛿[n − n0] 𝑒 𝑗2𝜋𝐹0 𝑢 𝑛 1 2 𝑋 𝐹 𝑒 𝑗2𝜋𝐹𝑛 𝑑𝐹 𝑘=−∞ 1 2 ∞ 𝛿(𝐹 − 𝑘) + 𝑘=−∞ 𝐴 ∞ 𝛿(𝐹 − 𝐹0 − 𝑘) + 𝑿𝒃 (𝑭) 1 1 1 − 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹 𝐴·𝛿 𝐹 ∞ 𝑒 ±𝑗2𝜋𝐹0 𝛿(𝐹 ∓ 𝐹0 − 𝑘) 1 − 𝑒 −𝑗2𝜋(𝐹−𝐹0 ) 𝑘=−∞ 𝐴 cos(2𝜋𝐹𝑐 𝑛) 𝐴 𝛿 𝐹 − 𝐹𝑐 + 𝛿 𝐹 + 𝐹𝑐 2 𝐴 cos 2𝜋𝐹𝑐 𝑛 + 𝜃0 𝐴 𝑗𝜃 𝑒 0 𝛿 𝐹 − 𝐹𝑐 + 𝑒 −𝑗𝜃0 𝛿 𝐹 + 𝐹𝐶 2 𝐴 sin(2𝜋𝐹𝐶 𝑛) 𝐴 𝛿 𝐹 − 𝐹𝑐 − 𝛿 𝐹 + 𝐹𝑐 2𝑗 𝐴 sin(2𝜋𝐹𝑐 𝑛 + 𝜃0 ) 𝐴 𝑗𝜃 𝑒 0 𝛿 𝐹 − 𝐹𝑐 − 𝑒 −𝑗𝜃0 𝛿 𝐹 + 𝐹𝐶 2𝑗 𝑥[𝑛] cos(2𝜋𝐹𝑐 𝑛) 1 𝑋 𝐹 − 𝐹𝐶 + 𝑋 𝐹 + 𝐹𝑐 2 𝑥[𝑛] sin(2𝜋𝑓0 𝑡) 1 𝑋 𝐹 − 𝐹𝐶 − 𝑋 𝐹 + 𝐹𝑐 2𝑗 𝑃𝑁 [𝑛] 𝐹𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝐹𝑐 𝑛) 𝑒 −𝑗𝜋𝐹 𝑁−1 ⊓ sin 𝜋𝐹𝑁 sin 𝜋𝐹 Zeros a 𝜋𝐹𝑁 = 𝜋𝑘 → 𝐹 = 𝐾 𝑁 𝑘≠0 𝑋 0 =𝑁 𝐹 𝐹𝐶 𝑒 −𝛼𝑛 𝑢 𝑛 1 1 − 𝑒 −(𝛼+𝑗2𝜋𝐹) 𝑎𝑛 𝑢 𝑛 𝑎 <1 1 1 − 𝑎𝑒 −𝑗2𝜋𝐹 𝑠𝑖𝑛𝑔[n] 1 + 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹 1 − 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹 • Les transformades continuen sent les mateixes • Ara són periòdiques ∞ 𝑿 𝑭 = 𝑿𝒃 (𝑭 − 𝑲) 𝒌=−∞ Resumen SIS 5 Carlos Angulo SIS T3 DFT 3.3 SIS LI en dom F Un sis. LTI permet trobar la sortida en funció d’un c.l. i desplaçaments en el temps de la resposta del sistema a un senyal bàsic conegut En el sis. LI En Temps ∞ ℎ[𝑛] 𝑥𝑛 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ[𝑛] 𝑦𝑛 = 𝑥 𝑛−𝑘 ℎ 𝑘 𝑘=−∞ En Fourier Resp. en freq. del sis 𝐻 𝐹 és la 𝑇𝐹 ℎ 𝑛 ℎ[𝑛] 𝑒 𝑗2𝜋𝐹0 𝑛 𝑦[𝑛] = 𝐻 𝐹0 𝑒 𝑗2𝜋𝐹0 𝑛 𝐻 𝐹 = Delta en 𝐹 𝑌 𝐹 𝑋 𝐹 Filtres 1 1 Es miren de − 2 a 2 ja que ara en el dom F el període és 1 F baixes Al voltant de 0 ± 𝑘 F altres A prop de ± ± 𝑘 𝑘 ∈ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠 1 2 3.4 Dom. de la transformada Z Relació TZ i TF ∞ 𝑥 𝑛 𝑧 −𝑛 𝑋 𝑧 = 𝑧∈ℂ 𝑋 𝐹 =𝑋 𝑧 𝑧=𝑒 𝑗2𝜋𝐹 𝑛=−∞ TF és un cas particular de la TZ 𝑥𝑛 𝑋(𝑧) 𝛿𝑛 1 ROC ROC Regió de convergència del sumatori X(z) ∞ 𝑥 𝑛 𝑧 −𝑛 < ∞ 𝑅𝑂𝐶 = 𝑧 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝛿[𝑛 − 𝑛0 ] 𝑧 −𝑛0 𝑎𝑛 𝑢 𝑛 1 1 − 𝑎𝑧 −1 𝑧 > 𝑎 −𝑎𝑛 𝑢 −𝑛 − 1 1 1 − 𝑎𝑧 −1 𝑧 < 𝑎 𝑛=−∞ Resposta impulsional • Infinita  SIS IRR • Finita SIS FIR 𝐻 𝑍 = Resumen SIS T3 DFT 𝑌 𝑍 𝑋 𝑍 6 Carlos Angulo SIS T3 DFT Transformada discreta de Fourier DFT 𝑋(𝐹) analògica La DFT és una discretització de F Restringim el sumatori 𝑫𝑭𝑻𝑵 2 ∞ 𝑁−1 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹𝑛 𝑋 𝐹 = 𝑥𝑘 = 1 𝐹=𝐾 𝑁 𝑛=−∞ • • 𝑥 𝑘 discret en dom 𝑓 N nombre de valors que volem del vector que volem discretitzar 𝐾 = 0,1, … , 𝑁 − 1 • Conceptualment DFT Consisteix en discretitzar 𝑋 𝐹 amb N punts equiespaiats 𝐾 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝑁𝑛 1 𝑛=0 𝑥[𝑛] Temps DFT TF 𝑋(𝐹) Freq.
𝑥[𝑘] 1 Diferencies Partit de 𝑥 𝑛 amb longitud 𝐿𝑋 definim 𝑥 𝑘 𝑁−1 𝐿𝑋 ≤ 𝑁 𝐾 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝑁𝑛 𝑥𝑘 = 𝑥 𝑘 =𝑋 𝐹 𝑛=0 Utilitat de la DFT 𝐿𝑋 > 𝑁 Coneixer l’espectre • Cal prendre 𝑁 ≥ 𝐿𝑋 per tenir una versió discritzada • En cas contrari tindrem una versió discritzada de la TF d’un senyal enfinestrat Fer una convolució 𝑥 𝑛 ∗𝑦 𝑛 =𝑧 𝑛 ⇒ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝐷𝐹𝑇 𝑥𝑘 𝑧𝑘 =𝑥 𝑘 𝑦𝑘 𝐷𝐹𝑇 −1 𝑧 −1 [𝑛] 𝑦𝑘 𝐾 𝐹= 𝑁 𝑥 𝑘 = 𝑋𝑁 𝐹 𝑋𝑁 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑃𝑁 𝑛 𝑇𝐹 𝐾 𝐹= 𝑁 𝑋𝑁 𝐹 1) Enfinestrem 𝑥 𝑛 2) Fem la TF de 𝑋𝑁 𝑛 → 𝑋𝑁 𝐹 3) Discretitzem 𝑋𝑁 (𝐹) DFT Inversa 1 𝑥𝑛 = 𝑁 𝑁−1 𝐾 𝑥 𝑘 𝑒 −𝑗2𝜋𝑁𝑛 𝑥𝑛 = 𝑛=0 𝑥𝑛 𝑋(𝐹) ↔ DFT amb 𝐿𝑋 ≤ 𝑁 𝑥𝑘 Només seran les mateixes 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 si la DFT es fa amb 𝐿𝑋 ≤ 𝑁. No es perden mostres Resumen SIS T3 DFT 7 ...