Examen Final Tardor 2011 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Probabilidad Procesos Estocasticos y Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Examen final 17 de gener de 2012 Notes i al.legacions: provisionals 26/1, al.legacions 29/1, definitives 30/1.
Temps: 3h 1 En una xarxa es transmeten paquets de dades en forma de blocs de tres paquets. Els diferents blocs s´ on independents. En un bloc donat, el nombre de paquets que no arriben correctament 4−k ´es una variable aleat` oria N amb funci´ o de probabilitat P (N = k) = per 0 ≤ k ≤ 3. Donat 10 el nombre de paquets incorrectes, la seva localitzaci´ o ´es equiprobable (per exemple, si hi ha dos errors, la probabilitat que estiguin en el primer i el segon paquet ´es la mateixa que la que estiguin en el primer i tercer paquet, etc).
(a) En la transmissi´ o d’un bloc anomenem Fi , i = 1, 2, 3, l’esdeveniment “el paquet i es trans´ indepenmet incorrectament”. Calcula les probabilitats P (F1 ), P (F1 ∩ F2 ), P (F1 |F2 ). Es dent la pres`encia d’error en els diferents paquets d’un bloc? Indicaci´ o: Es pot utilitzar la representaci´ o en diagrama de Venn de l’espai mostral i els esdeveniments Fi .
(b) Calcula la funci´ o de probabilitat de la variable N sabent que el primer paquet arriba incorrectament.
(c) En la transmissi´ o de 100 blocs, es considera el nombre C de blocs que tenen tots els paquets correctes. Troba la seva esperan¸ca i la seva desviaci´ o est`andard. Quins dels seg¨ uents valors es poden considerar an` omals: C = 10, C = 20, C = 35, C = 40? (d) Calcula el valor que tindria P (F1 ) si els errors en els paquets d’un bloc fossin independents i l’esperan¸ca de N valgu´es el mateix que en la situaci´ o original. Amb aquestes noves condicions, calcula els nous par` ametres de la variable C i mira si canvia la normalitat dels valors C = 10, C = 20, C = 35, C = 40.
2 Donada la variable aleat`oria bidimensional (X, Y ) amb funci´o de densitat conjunta  α   , x fXY (x, y) =   0, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 altrament.
amb α ∈ R, es demana calcular: (a) El valor de α i les funcions de densitat marginal de les variables aleat` ories X i Y (dibuixa les seves gr` afiques).
(b) La funci´ o de densitat de la variable aleat` oria Y condicionada a X, la seva esperan¸ca E[Y |X] i, a partir d’aquesta, l’esperan¸ca de Y .
(c) Si R = (X 2 + Y 2 )1/2 i Θ = arctan(Y /X), troba la funci´ o de densitat conjunta de (R, Θ) amb la seva regi´ o R de validesa i comprova que f (r, θ) drdθ = 1.
RΘ R (d) Utilitza el resultat anterior per demostrar que P (X 2 + Y 2 ≤ 1) Ajuda: dx = tan x, cos2 x dx = ln tan cos x 0,88.
1 + sin x .
cos x SEGUEIX AL DARRERA 3 Un senyal Z(t) ve donat per un proc´es gaussi`a amb valor mitj`a m(t) = α + βt i autocovari`ancia C(t1 , t2 ) = 4e−|t2−t1 | .
(a) Calcula, justificant la resposta, els valors de les constants α i β que fan que Z(t) sigui estacionari en sentit ampli amb pot`encia igual a 40. Calcula el coeficient de correlaci´ oρ entre les variables aleat` ories Z(0) i Z(1). Dep`en dels valors de α i β? (b) Pel cas α = β = 0: Troba la millor estimaci´o lineal homog`enia de Z(t) donades Z(t − T ) i Z(t + T ), amb T constant positiva. Calcula l’error quadr` atic mitj` a d’aquesta estimaci´ oi comenta la seva gr` afica en funci´ o de T .
(c) Donat X(t) proc´es de Poisson de par` ametre λ = 2 esdeveniments per unitat de temps, es considera el proc´es Y (t) = X(t) − Z(t). Determina α i β per a que el proc´es Y (t) tingui valor mitj` a zero. Amb aquests valors i tenint en compte que X(t) i Z(t) s´ on processos independents, calcula la pot`encia del proc´es Y (t) i troba a partir de quin instant ´es aquesta inferior al 1% de la pot`encia de X(t).
´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Soluci´ o de l’examen final 17 de gener de 2012 1 En una xarxa es transmeten paquets de dades en forma de blocs de tres paquets. Els diferents blocs s´ on independents. En un bloc donat, el nombre de paquets que no arriben correctament 4−k ´es una variable aleat` oria N amb funci´ o de probabilitat P (N = k) = per 0 ≤ k ≤ 3. Donat 10 el nombre de paquets incorrectes, la seva localitzaci´ o ´es equiprobable (per exemple, si hi ha dos errors, la probabilitat que estiguin en el primer i el segon paquet ´es la mateixa que la que estiguin en el primer i tercer paquet, etc).
(a) En la transmissi´ o d’un bloc anomenem Fi , i = 1, 2, 3, l’esdeveniment “el paquet i es trans´ indepenmet incorrectament”. Calcula les probabilitats P (F1 ), P (F1 ∩ F2 ), P (F1 |F2 ). Es dent la pres`encia d’error en els diferents paquets d’un bloc? Indicaci´ o: Es pot utilitzar la representaci´ o en diagrama de Venn de l’espai mostral i els esdeveniments Fi .
(b) Calcula la funci´ o de probabilitat de la variable N sabent que el primer paquet arriba incorrectament.
(c) En la transmissi´ o de 100 blocs, es considera el nombre C de blocs que tenen tots els paquets correctes. Troba la seva esperan¸ca i la seva desviaci´ o est`andard. Quins dels seg¨ uents valors es poden considerar an` omals: C = 10, C = 20, C = 35, C = 40? (d) Calcula el valor que tindria P (F1 ) si els errors en els paquets d’un bloc fossin independents i l’esperan¸ca de N valgu´es el mateix que en la situaci´ o original. Amb aquestes noves condicions, calcula els nous par` ametres de la variable C i mira si canvia la normalitat dels valors C = 10, C = 20, C = 35, C = 40.
Soluci´ o: 4 3 2 1 , P (N = 1) = , P (N = 2) = , P (N = 3) = .
10 10 10 10 2 P (F1 |N = 0) = 0, P (F1 |N = 1) = 31 , P (F1 |N = 2) = (tres possibles parelles pels dos 3 errors, en dues d’elles s’hi troba el primer paquet), P (F1 |N = 3) = 1.
(a) P (N = 0) = 3 P (F1 ) = P (F1 |N = k)P (N = k) = k=0 1 3 2 2 1 1 · + · +1· = .
3 10 3 10 10 3 1 2 1 1 · +1· = .
3 10 10 6 1 Com P (F2) = P (F1 ) = 3 , veiem que P (F1 ∩ F2 ) = P (F1 )P (F2 ), aix´ı que els errors no es produeixen de manera independent.
P (F1 ∩ F2 ) = P (F1 ∩ F2 |N = 2)P (N = 2) + P (F1 ∩ F2 |N = 3)P (N = 3) = P (F1|F2 ) = P (F1 ∩ F2 ) 1/6 1 = = .
P (F2 ) 1/3 2 (Alternativament es pot fer tot amb el diagrama de la figura 1.) P (F1 |N = k)P (N = k) (b) Per Bayes P (N = k |F1 ) = .
P (F1 ) P (N = 0 |F1 ) = 0, 1 · 3 3 P (N = 1 |F1 ) = 3 1 10 = , 10 3 2 · 2 4 P (N = 2 |F1 ) = 3 1 10 = , 10 3 1· 1 3 P (N = 3 |F1 ) = 110 = .
10 3 1 (c) C ´es una variable binomial amb n = 100 i p = P (N = 0) = √ √ Llavors, C = np = 40 i σC = npq = 24 = 4,9.
4 .
10 Els valors an` omals s´ on C = 10 (6 desviacions de dist` ancia de C) i C = 20 (4 desviacions de dist` ancia de C). Els valors C = 35 i C = 40 es troben dins de una desviaci´ o i per tant s´ on normals.
3 (d) Dins de la situaci´ o original E[N ] = k k=0 4−k = 1.
10 En la nova situaci´ o, el nombre d’errors en un bloc ´es una variable binomial amb n = 3 i 1 p = P (F1 ). igualant 1 = np trobem la probabilitat d’error per paquet p = .
3 8 = 0,296.
Ara C ´es una variable binomial amb n = 100 i p = P (N = 0) = (1 − p)3 = 27 Llavors, C = 29,6 i σC = 4,5.
El valors C = 10 segueix sent an` omal (4 desviacions). C = 20 i C = 35 s´ on normals (2 i 1 desviacions). C = 40 es troba a 2,3 desviacions i es pot considerar lleugerament an` omal.
2 2 Donada la variable aleat`oria bidimensional (X, Y ) amb funci´o de densitat conjunta  α   , x fXY (x, y) =   0, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 altrament.
amb α ∈ R, es demana calcular: (a) El valor de α i les funcions de densitat marginal de les variables aleat` ories X i Y (dibuixa les seves gr` afiques).
(b) La funci´ o de densitat de la variable aleat` oria Y condicionada a X, la seva esperan¸ca E[Y |X] i, a partir d’aquesta, l’esperan¸ca de Y .
(c) Si R = (X 2 + Y 2 )1/2 i Θ = arctan(Y /X), troba la funci´ o de densitat conjunta de (R, Θ) amb la seva regi´ o R de validesa i comprova que f (r, θ) drdθ = 1.
RΘ R (d) Utilitza el resultat anterior per demostrar que P (X 2 + Y 2 ≤ 1) Ajuda: dx = tan x, cos2 x dx = ln cos x 0,88.
1 + sin x .
cos x Soluci´ o: (a) x 1 1= dx dy 0 0 Per tant, α = 1.
x fX (x) = dy 0 1 fY (y) = dx y α =α x 1 dx = α 0 1 = 1, x 0 < x < 1.
1 = − ln y, x 0 < y < 1.
(Veure figura 2). Notem que X ´es uniforme en [0, 1].
(b) f(y|x) = 1 fXY (x, y) = , fX (x) x 0 < y < x.
Notem que Y condicionada a X ´es uniforme en [0, X] 0+X X = 2 2 E[Y |X] = X 2 E[Y ] = E[E[Y |X]] = E = 1 1 0+1 1 E[X] = · = .
2 2 2 4 (c) Es tracta del canvi a coordenades polars: x = r cos θ, y = r sin θ.
fRΘ (r, θ) = fXY (r cos θ, r sin θ)r = en la regi´ o R: 0 ≤ θ ≤ π 4, 0≤r≤ π 4 fRΘ (r, θ) drdθ = R 1 cos θ (figura 3).
1 cos θ dθ 0 0 π 4 2 P (X + Y ≤ 1) = P (R ≤ 1) = dθ π 4 1 + sin x cos x = ln(1 + 0 3 0 1 0 = ln π 4 1 dr = cos θ (d) 2 1 cos θ 0 √ dθ π 1 4 = tan θ| = 1.
0 cos2 θ 1 dr = cos θ 2) = 0,8813.
π 4 0 dθ 1 cos θ 3 Un senyal Z(t) ve donat per un proc´es gaussi`a amb valor mitj`a m(t) = α + βt i autocovari`ancia C(t1 , t2 ) = 4e−|t2−t1 | .
(a) Calcula, justificant la resposta, els valors de les constants α i β que fan que Z(t) sigui estacionari en sentit ampli amb pot`encia igual a 40. Calcula el coeficient de correlaci´ oρ entre les variables aleat` ories Z(0) i Z(1). Dep`en dels valors de α i β? (b) Pel cas α = β = 0: Troba la millor estimaci´o lineal homog`enia de Z(t) donades Z(t − T ) i Z(t + T ), amb T constant positiva. Calcula l’error quadr` atic mitj` a d’aquesta estimaci´ oi comenta la seva gr` afica en funci´ o de T .
(c) Donat X(t) proc´es de Poisson de par` ametre λ = 2 esdeveniments per unitat de temps, es considera el proc´es Y (t) = X(t) − Z(t). Determina α i β per a que el proc´es Y (t) tingui valor mitj` a zero. Amb aquests valors i tenint en compte que X(t) i Z(t) s´ on processos independents, calcula la pot`encia del proc´es Y (t) i troba a partir de quin instant ´es aquesta inferior al 1% de la pot`encia de X(t).
Soluci´ o: (a) Per a ser estacionari en sentit ampli cal que m(t) = α + βt sigui constant, el que implica β = 0. C(t1 , t2 ) (per tant R(t1 , t2 )) ja dep`en nom´es de la difer`encia de temps. La pot`encia ´es R(t, t) = C(t, t) + m(t)2 = 4 + α2 . Igualant-la a 40 trobem les solucions α = 6 i α = −6.
Tenint en compte que la covari` ancia entre X(t1 ) i X(t2 ) val C(t1 , t2 ) i la vari` ancia de X(t) val C(t, t): C[X(0), X(1)] C(0, 1) 4e−1 ρ= = √ √ = e−1 .
= σX(0) σX(1) 4 4 C(0, 0) C(1, 1) independent dels valors de α i β.
(b) L’estimador ´es Z(t) = aZ(t − T ) + bZ(t + T ). Les equacions del principi d’ortogonalitat s´ on: E[(aZ(t − T ) + bZ(t + T ))Z(t − T )] = E[Z(t)Z(t − T )] E[(aZ(t − T ) + bZ(t + T ))Z(t + T )] = E[Z(t)Z(t + T )] aR(t − T, t − T ) + bR(t + T, t − T ) = R(t, t − T ) aR(t − T, t + T ) + bR(t + T, t + T ) = R(t, t + T ) Utilitzant R(t1 , t2 ) = 4e−|t2 −t1 | (ja que m(t) = 0) i dividint per 4 les dues equacions: a + be−2T = e−T ae−2T + b = e−T Restant les dues equacions trobem a = b i, a¨ıllant en una d’elles, a = b = L’error quadr` atic mitj` a val e−T .
1 + e−2T = E[(Z(t) − aZ(t − T ) + bZ(t + T ))Z(t)] = R(t, t) − aR(t − T, t) − bR(t + T, t) = 4 1 − 2e−T e−T 1 + e−2T Per la gr` afica ´es suficient tenir en compte lim =4 1 − e−2T 1 + e−2T = 4. Per tant, l’error disminueix a mesura que prenem les dades m´es properes a l’instant t i, l` ogicament, s’anul.la quan T = 0 (figura 4).
(c) Pel proc´es de Poisson, mX (t) = 2t i PotX (t) = RX (t, t) = 2t + 4t2 . Ara imposem T →0 = 0 i lim T →∞ 0 = mY (t) = E[X(t)] − E[Z(t)] = 2t − α − βt d’on α = 0 i β = 2.
Aix´ı, mZ (t) = 2t i PotZ (t) = CZ (t, t) + m(t)2 = 4 + 4t2 .
PotY (t) = E[(X(t) − Z(t))2 ] = E[X(t)2 ] + E[Z(t)2 ] − 2E[X(t)]E[Z(t)] = (2t + 4t2 ) + (4 + 4t2 ) − 2 · 2t · 2t = 4 + 2t.
L’instant a partir del qual PotY (t) < 0,01PotX (t) ´es la soluci´ o positiva de l’equaci´ o 4 +2t = 1 2 (2t + 4t ), t = 51,4.
100 4 Figura 1: Apartat 1(a).
f(x) 1.6 f(y) 2.4 1.4 2.1 1.2 1.8 1 1.5 0.8 1.2 0.6 0.9 0.4 0.6 0.2 0.3 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x −0.6 −0.3 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 y −0.2 Figura 2: Apartat 2(b).
θ 1.4 1.2 1 0.8 4 0.6 0.4 0.2 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 r 2 1 −0.2 −0.4 Figura 3: Apartat 2(c).
ε(T) 7 6 5 4 3 2 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 T Figura 4: Apartat 3(b).
5 ...