Examen Parcial Primavera 2011 (5) (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuitos Lineales
Año del apunte 2011
Páginas 6
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Circuits Lineals - Examen parcial 12 de maig de 2011 a les 12h Grup 20 - Professor Orestes Mas DEPARTAMENT DE TSC P1.
Pel circuit de la figura 1, es demana1: Figura 1: Circuit sota estudi a) Determineu la funció de xarxa, i expresseu-la de tal forma que els polinomis del numerador i denominador estiguin en forma mònica.
Per trobar la funció de xarxa H(s) el primer que s'ha de fer és trobar el circuit transformat de Laplace sense condicions inicials: Una breu inspecció del circuit permet concloure que la manera més ràpida de determinar Vo(s) és aplicant un divisor de tensió entre el resistor i la impedància equivalent formada pel paraŀlel de Ls i 1/Cs: R V o s = ⋅V  s RZ eq s  g amb 1 Ls⋅1/Cs Z eq  s=Ls∥ = = Cs Ls1/Cs s C S 2 1 LC així doncs: H  s= V o s  = V g  s  R⋅ s 2 1 LC  R = s /C 1 s R 2 R⋅ s 2  LC C s 1/ LC     Finalment dividim numerador i denominador per R per tal de deixar els polinomis en forma mònica 2 s H  s= s 2 1 LC 1 1 ⋅s RC LC Resposta mínima: Ha de transformar el circuit al domini de Laplace, ha d'explicar el mètode d'anàlisi que fa servir (KCL en un node, associació d'impedàncies, divisor de tensió,...) i arribar a l'expressió correcta de la funció de xarxa.
1 NOTA: El símbol sobre el resistor indica que és un resistor ajustable, útil quan volem aconseguir valors no estandarditzats b) Justifiqueu la coherència del resultat en base a observar les dimensions dels diferents termes que formen els polinomis.
Aquesta pregunta té dues vessants: D'una banda els diferents termes d'un polinomi han de tenir les mateixes dimensions, perquè no podem sumar coses amb dimensions diferents.
• D'altra banda aquesta funció de xarxa, com que és el quocient de dues variables que tenen les mateixes dimensions, ha de ser adimensional.
• Tenint en compte que les impedàncies Ls i 1/Cs tenen dimensions d'Ohms, i que la variable s té dimensions de segons-1, concloem que la inductància L té dimensions de Ω·segon (equivalent a Henrys) i la capacitat C té dimensions de Ω-1·segon (equivalent a Farads). A partir d'això és fàcil veure que els diferents termes dels polinomis numerador i denominador de H(s) ( s 2 , 1/ LC i s /RC ) tenen tots ells dimensions de segons-2, i que per tant la funció de xarxa és coherent des d'un punt de vista dimensional.
Resposta mínima: Cal que l'estudiant arribi a determinar que el terme 1/ LC té dimensions de freqüència al quadrat (per exemple, fent notar que a classe hem vist que 1/  LC té dimensions de freqüència), i que el terme s /RC també (per exemple, fent notar que RC correspon a una constant de temps, que té dimensions de segons).
c) Calculeu els paràmetres  o i  corresponents al polinomi denominador de H(s) en funció dels elements del circuit. Expresseu la funció de xarxa en funció d'aquests paràmetres.
Tot polinomi de segon grau es pot expressar en funció dels paràmetres 2 2 0  i  o de la s 2   o . Si ho apliquem al polinomi denominador de la funció 2 de xarxa obtinguda a l'apartat a) resulta  o=1/ LC i 2   0=1/ RC , per la qual cosa: següent manera:  o=1 /  LC s 2 2o 1 L i H  s= 2 = s 2   o s 2o 2R C  Resposta mínima: Cal saber posar la forma general d'un polinomi de segon grau en funció dels paràmetres  i  o , i identificar correctament els coeficients dels polinomis genèrics amb els de la nostra funció H(s) particular.
d) Utilitzant els valors L=100mH, C=100μF i R=22,36Ω trobeu l'expressió d'H(s) amb coeficients numèrics. Calculeu també els valors numèrics de  o i  .
Només cal substituir correctament els valors donats en les expressions obtingudes anteriorment. S'obté el següent: s 2105 i H  s= 2 s 447,23105  o=316.227 rad / s 1 =0,7071≃ 2 Resposta mínima: En aquest cas el mínim exigible és donar les expressions requadrades. No cal relacionar  amb  2 , tot i que serà útil per després.
e) Dibuixeu amb el màxim de detall possible el diagrama de pols i zeros d'H(s), expressant els pols i els zeros en funció dels seus valors numèrics, però també en funció de  o i  .
Igualant a zero les expressions genèriques dels polinomis del numerador i el denominador, s'obté: zeros :± j  o pols:−  o ± j  o  1− 2 zeros :±316,23 j pols:−223,6±223,6 j Pel que fa als diagrames de pols i zeros, aquests es mostren en les figures següents: Resposta mínima: Com a mínim cal que s'inclogui la determinació del valor dels pols i zeros, i donar el diagrama correcte en una de les seves dues versions (amb valors numèrics o amb variables) f) Doneu la forma de la resposta lliure d'aquest circuit, i calculeu la durada aproximada del règim transitori.
La forma de la resposta lliure depèn de la posició dels pols de la funció de xarxa.
Si els pols són reals la resposta té forma exponencial, i si són complexes (conjugats) la resposta és una exponencial multiplicada per un cosinus. L'exponent de les exponencials sempre és la part real dels pols, mentre que en el cas de pols complexes la freqüència del cosinus és la part imaginària dels pols.
Dels diagrames pol/zero anteriors veiem que H(s) només té 2 pols i són complexes conjugats, cosa que vol dir que la resposta lliure només tindrà un sol terme, de la forma: r t= A⋅e−  t⋅cos o  1− 2 t= A⋅e−223,6 t⋅cos 223,6 t o També observem que el circuit és estable perquè tots els pols tenen la part real negativa.
Pel que fa a la durada del règim transitori, cal recordar que aquesta és aproximadament 5 vegades la constant de temps corresponent al pol dominant del circuit (el més proper a l'eix j  ). La constant de temps corresponent a un pol qualsevol és la inversa del valor absolut de la part real d'aquest pol. Aplicant-ho al cas que ens ocupa tenim: Durada del transitori = 5⋅ 1 ∣ℜ {pol}∣ = 5 = 22,36 ms ≃ 25 ms 223,6 Resposta mínima: Pel que fa a la forma de la resposta lliure, cal relacionar-la amb els pols de H(s) i donar una de les dues expressions (amb números o lletres). Pel que fa a la durada del transitori, cal dir que és 5 vegades la constant de temps, donant el seu valor. No cal parlar del concepte del pol dominant per considerar-ho correcte.
g) Determineu quin valor prendrà la resposta forçada a una excitació de tipus graó unitari, u (t) .
Hi ha com a mínim 4 maneres de determinar el que ens demanen: g.1) La resposta total a una excitació graó la podem obtenir per Laplace fent: s 2o2 1 1 V o s  = H  s⋅ = 2 ⋅ 2 s s 2  o so s Per trobar la resposta temporal hem de fer la transformada inversa d'aquesta funció, per la qual cosa caldrà descomposar-la en 3 fraccions simple, una per cada pol de la resposta: K1 K2 K *2 V o s  =   s s  o− j  o 1− 2 s  o j o  1− 2 D'aquests 3 termes, el primer correspon a la resposta forçada perquè prové del pol a l'origen introduït per l'excitació graó, i els altres dos corresponen a la resposta lliure perquè provenen dels pols introduïts pel circuit via H(s).
Com que només ens demanen la resposta forçada només cal que calculem el residu K1, cosa que farem de la següent manera: 1 K 1 = s⋅V o s ∣s=0 s⋅H  s⋅ ∣s=0 =H 0=1 s Per tant, la resposta forçada en el domini temporal és positiu.
K 1⋅u t , que val 1 per tot t g.2) Podem obtenir el mateix raonant directament sobre el circuit de la següent manera: Com que el circuit és estable, s'arribarà a un règim permanent en el qual l'única resposta present serà la resposta forçada. Com que l'excitació és una constant, la resposta forçada també ho serà i això significa que en règim permanent totes les tensions i corrents del circuit són constants.
Aquest fet aplicat als inductors i capacitors del circuit implica que en règim permanent l'inductor es comportarà com un curtcircuit i el capacitor com un circuit obert. Aleshores el paral·lel LC equival a un curtcircuit i v o  t=v g t , que val 1 en règim permanent.
g.3) Notem també que en el càlcul del residu la solució demanada és H(0). Hauríem pogut raonar-ho directament tenint en compte que una excitació graó equival a un cosinus de freqüència zero, i aleshores la resposta en règim permanent (forçada) és 1⋅∣H  j ∣ =0 = H 0 = 1 .
g.4) Finalment podem arribar al mateix resultat a través del Teorema del Valor Final (TVF), que ens relaciona la resposta temporal i la transformada: 1 lim v o t  = lim s⋅V o s  = lim s⋅H s ⋅ = H 0 = 1 .
s t ∞ s 0 s 0 Resposta mínima: Qualsevol dels quatre raonaments per arribar al resultat (càlcul del residu, circuit asimptòtic, H(0) i TVF) és vàlid, però cal justificar-ho adequadament.
Suposem ara que excitem el circuit amb un senyal sinusoidal d'amplitud 2,59V ef i de freqüència variable.
h) Ompliu els espais en blanc de la taula següent: freqüència (Hz) Amplificació ∣H  j  ∣=∣Vo / Vg∣ Tensió eficaç a la sortida, ∣Vo∣ Potència dissipada al resistor RL Contínua (0Hz) 1 ----------------------------- --------------------------------- f=50,33Hz 0 0 0 f=97,23Hz 0,707 1,8314 150 mW 1 2,59 300 mW f→∞ Per fer-ho més compacte hem omplert els espais en blanc amb les solucions i les justifiquem a continuació: ∙ L'amplificació en contínua és H(0), i aquesta és clarament 1.
∙ La freqüència de 50,33Hz és la freqüència de ressonància del paral·lel LC   1 = 50,33 Hz . A aquesta freqüència el conjunt LC paraŀlel es comporta com 2   LC un circuit obert (impedància infinita), i com que no deixa passar corrent la caiguda de tensió al resistor és nul·la, així com també la seva potència dissipada.
∙ A freqüències molt altes (tendint a infinit) el capacitor es comporta com un curtcircuit, amb la qual cosa l'amplificació del circuit tendeix a 1 perquè v o  t tendeix a v g  t . Per tant la tensió eficaç que cau al resistor és la mateixa que la del generador 2 i la potència dissipada val PL = ∣Vo∣ R = 300 mW .
∙ Finalment trobarem l'amplificació a 97,23 Hz utilitzant el Circuit Transformat Fasorial (CTF). Les impedàncies dels elements a aquesta freqüència valen: Z L =61,09 j , Z C =−16,368 j i Z R =22,36 . El paraŀlel entre L i C val: Z L∣∣ Z C = Z L⋅Z C = −22,36 j Z L Z C és a dir, que el paraŀlel LC té (en mòdul) la mateixa impedància que el resistor. A partir d'aquest resultat l'amplificació es calcula fàcilment per divisor de tensió: 22,36 1 = =0,707 ∣22,3622,36 j∣  2 ∣H  j2 f ∣= aleshores la tensió eficaç a la sortida val resistor val 1,83142 / 22,36=150 mW .
2,59 /  2=1,8314 i la potència dissipada al Com que l'amplificació màxima del circuit val 1, la freqüència de 97,23 Hz és la freqüència de tall (amplificació 1/  2 , potència meitat de la màxima).
Resposta mínima: Per cada freqüència cal trobar el valor de les impedàncies del circuit i aplicar el divisor de tensió entre R i ZL||ZC per trobar l'amplificació. A partir  o∣=∣H  j ∣⋅∣V g∣ i d'aquí cal saber trobar el valor de la tensió de sortida com ∣V calcular la potència dissipada al resistor a partir del valor eficaç de la tensió: 2 P L= ∣V oef∣ R . No cal parlar de la ressonància en aquest apartat.
i) Relacioneu els valors de la taula anterior a la freqüència de 50,33Hz amb el comportament de les impedàncies del circuit.
En aquest apartat es tracta de veure que a l'esmentada freqüència l'inductor i el capacitor ressonen i esdevenen un circuit obert. Això es pot posar en evidència calculant el valor de les dues impedàncies i veient que són iguals i de signe contrari, o bé a partir de l'expressió de la freqüència de ressonància d'un LC (sèrie o paraŀlel) com es mostra Resposta mínima: La freqüència de ressonància del paraŀlel LC val 1 2   LC =50,33 Hz , i per tant a aquesta freqüència es comporta com un circuit obert i no deixa passar el senyal cap al resistor, que té tensió i potència nuŀles.
j) Expliqueu com variaria l'apartat anterior si en lloc d'un inductor (ideal) utilitzem una bobina d'igual inductància però que presenta un factor de qualitat Q b=40 a la freqüència de 50,33Hz.
Podem modelar una bobina amb pèrdues amb un inductor L en sèrie amb un resistor r s . D'altra banda recordem que definim el factor de qualitat d'una bobina com: Qb = L 2 f L = rs rs A partir d'aquí podem calcular el valor de r s : r s=2 ⋅50,33⋅100⋅10−3 /40 = 0,79  .
Recordem ara que a classe vam veure com trobar el model paraŀlel d'una bobina a partir dels paràmetres del model sèrie i del factor de qualitat. La inductància i la resistència del model paraŀlel eren, respectivament,   L p = L 1 1 Q 2b ≃ L R p = r s  1Q 2b  ≃ r s Q 2b on les aproximacions es poden fer si el factor de qualitat de la bobina és prou alt (en aquest cas podem considerar que 40 ho és). Amb els nostres valors, L p≃100 mH i R p≃1.265 Ω . Si portem aquest model paraŀlel al circuit original queda el circuit de la figura següent: En aquest circuit equivalent, la capacitat C ressona amb l'inductància Lp a una freqüència pràcticament igual a la del circuit original: 50,33 Hz. Quan ressonen, s'anuŀlen mútuament i només queda Rp. Aleshores es forma un divisor de tensió entre R i Rp i l'amplificació val: R 22,36 −3 = = 17,37⋅10 R+R p 22,36+1.265 La tensió de sortida tindrà un valor eficaç de 17,37⋅10−3⋅2,59 ≃ 45 mV , i al resistor R es dissiparà una potència de 45,26 μW en lloc de ser zero com en el cas ideal.
La resistència r s també afectarà als resultats per freqüències altes, però això en aquest cas no ens ho demanen.
Simulació amb GnuCap: Vg 1 0 AC 2.59 C1 1 2 100uF rs 1 3 0.79 Ls 3 2 100mH R1 2 0 22.36 *** Utilitzem valors de pic -> la pot. donarà el doble *** La resistència sèrie de l'inductor .PRINT AC VM(2) P(R1) .AC 50.33 .END Resposta mínima: Cal explicar les pèrdues en la bobina es poden modelar amb un resistor Rp en paraŀlel, i que aquest resistor, en ressonància, crea un divisor de tensió amb el resistor R que fa que la tensió de sortida no s'anuŀli exactament. Amb una explicació qualitativa n'hi ha prou, tot i que si es calculen valors numèrics la resposta queda més completa.
...