Integración (0)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 0
Páginas 10
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 2
Subido por

Descripción

Apuntes detallados y esquemáticos

Vista previa del texto

4- Integració 1. Integrals indefinides Anomenarem a F (x) Integral o Primitiva d’una funció a la que, al derivar-la, aconseguim la funció original: F ( x) → F ′( x) = f ( x) Per passar de la funció original a la seva derivada realitzarem la següent operació amb la notació matemàtica que mostrem a continuació: ∫ f ( x)dx =F ( x) + k La k simbolitzarà la constant que podríem perdre al fer la derivada, doncs: (∫ f ( x)dx )′ = (F ( x) + k )′ = F ′( x) + k ′ = f ( x) + 0 1.1. Propietats ∫ ( f ( x) + g ( x))dx =∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ∫ a ⋅ f ( x)dx =a ⋅ ∫ f ( x)dx ∫ ( f ( x) ⋅ g ( x))dx ≠ ∫ f ( x)dx ⋅∫ g ( x)dx f ( x) ∫ g ( x) dx ≠ ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-1 1.2. Integrals indefinides immediates x n+1 +k n +1 n f ( x) n+1 +k n +1 ∫ f ( x) ⋅ f ′( x) ⋅ dx = 1 ∫ x ⋅ dx = Ln x + k ax x a ⋅ dx = +k ∫ Ln a ∫ f ′( x) ⋅ dx = Ln f ( x) + k f ( x) ∫a f (x) ⋅ f ′( x) ⋅ dx = ∫e ⋅ dx = e x + k ∫e f ( x) ⋅ f ′( x) ⋅ dx = e f ( x ) + k 1 ∫ 2⋅ n ∫ x ⋅ dx = x ∫ 2⋅ ∫ n⋅ ⋅dx = x + k x 1 n n −1 x ⋅ dx = n x + k a f ( x) +k Ln a on a > 0 f ′( x) ⋅ dx = f ( x) + k f ( x) f ′( x) ∫ n ⋅ n x n−1 ⋅ dx = n f ( x) + k Integrals indefinides immediates trigonomètriques ∫ sen x ⋅ dx = − cos x + k ∫ cos x ⋅ dx = sen x + k 1 ∫ cos 2 x ⋅ dx = tg x + k −1 ∫ sen ∫ ∫ 2 x 1 1 − x2 ⋅ dx = cot g x + k ⋅ dx = arcsen x + k −1 ⋅ dx = arccos x + k 1 − x2 1 ∫ 1 − x 2 ⋅ dx = arctg x + k −1 ∫ 1 + x 2 ⋅ dx = ar cot g x + k Matemàtiques I – G. Lladó Fortit ∫ f ′( x) ⋅ sen f ( x) ⋅ dx = − cos f ( x) + k ∫ f ′( x) ⋅ cos f ( x) ⋅ dx = sen f ( x) + k f ′( x) ⋅ dx = tg f ( x) + k 2 f ( x) f ′( x) ∫ sen 2 f ( x) ⋅ dx = cot g f ( x) + k f ′( x) ∫ 1 − f ( x) 2 ⋅ dx = arcsen f ( x) + k − f ′( x) ∫ 1 − f ( x) 2 ⋅ dx = arccos f ( x) + k f ′( x) ∫ 1 − f ( x) 2 ⋅ dx = arctg f ( x) + k − f ′( x) ∫ 1 + f ( x) 2 ⋅ dx = ar cot g f ( x) + k ∫ cos 3-2 1.3. Mètodes d’integració 1.3.1. Mètode d’integració per substitució. Hi han dos modalitats:  x = g (t )  ∫ f ( x) ⋅ dx →dx = g ( x) ⋅ dt  → ∫ f [g (t )] ⋅ g ′(t ) ⋅ dt  g ( x) = t  ∫ f [g ( x)] ⋅ g ′( x) ⋅ dx →  g ′( x) ⋅ dx = dt  → ∫ f (t ) ⋅ dt Exemple 1. Resol la integral de la següent funció: x 2 + 3 = t    ∫ x ⋅ x + 3 ⋅ dx → 2 ⋅ x ⋅ dx = dt → dx = dt  →   2⋅ x  dt 1 1 t5 4 4 dt 4 x t ⋅ ⋅ = t ⋅ = ⋅ t ⋅ dt = ⋅ +k = ∫ 2⋅ x ∫ 2 2 ∫ 2 5 ( 2 ) 4 (x = ) 5 +3 +k 10 2 Exemple 2. Resol la integral de la següent funció:  x + 1 = t → t 2 = x + 1 → x = t 2 − 1 → 2 x ⋅ x + 1 ⋅ dx →   → ∫ t − 1 ⋅ t ⋅ (2 ⋅ t ⋅ dt ) = ∫ dx = 2 ⋅ t ⋅ dt  5 3 2⋅t 2⋅t = ∫ 2 ⋅ t 4 − 2 ⋅ t 2 .dt = ∫ 2 ⋅ t 4 .dt − ∫ 2 ⋅ t 2 .dt = − +k = 5 3 [( ( = 2⋅ ] ) ) ( ) 5 2⋅ x +1 − 5 ( ) 3 x +1 +k 3 1.3.2. Mètode d’integració per parts: ∫ g ( x) ⋅ f ′( x) ⋅ dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) ⋅ dx Indicacions per designar els factors: • Si apareix una funció exponencial i una logarítmica, g(x) serà la logarítmica.
• Si hi ha una funció trigonomètrica i una formada per potencies, la g(x) serà la potencial.
• Si al aplicar el mètode ens apareix una integral més complicada que la inicial, voldrà dir que ens hem equivocat a l’hora d’escollir els factors.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-3 Exemple 3. Resol la integral de la següent funció:  g ( x) = e x → g ′( x) = e x ∫ e ⋅ sin x ⋅ dx →  f ′( x) = sin x ⋅ dx → f ( x) = − cos x [ ]  → x [ → (− cos x ) ⋅ e x − ∫ (− cos x ) ⋅ e x ⋅ dx = (− cos x ) ⋅ e x + ∫ (cos x ) ⋅ e x ⋅ dx ] Tornem a aplicar canvi de variables a la nova integral:  g ( x) = e x → g ′( x) = e x (cos x ) ⋅ e ⋅ dx →   f ′( x) = cos x ⋅ dx → f ( x) = sin ∫[ x ]  x x  → e ⋅ sin x − ∫ e ⋅ sin x ⋅ dx x Al tornar a arribar a la primera integral que volíem resoldre, podem passar a resoldre-ho com una simple equació: ∫e x [ ] ⋅ sin x ⋅ dx = (− cos x ) ⋅ e x + ∫ (cos x ) ⋅ e x ⋅ dx → [ ] → ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx = (− cos x ) ⋅ e x + e x ⋅ sin x − ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx → → ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx = − cos x ⋅ e x + e x ⋅ sin x − ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx → → 2 ⋅ ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx = − cos x ⋅ e x + e x ⋅ sin x → → ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx = − cos x ⋅ e x + e x ⋅ sin x +k 2 1.3.3. Mètode d’integració per fraccions simples: Transformació inicial: si el grau del numerador es major que el denominador, farem la divisió que converteixi al grau del denominador en el major: f ( x)  grau f ( x) > grau g ( x)  r ( x) ∫ g ( x) ⋅ dx →  f ( x) = g ( x) ⋅ c( x) + r ( x) → ∫ c( x) ⋅ dx + ∫ g ( x) ⋅ dx Hem de provar d’arribar a alguna de les següents fraccions simples: 1 x−a 1 (x − a )n Matemàtiques I – G. Lladó Fortit a⋅x+b x + p⋅x+q 2 (x a⋅x+b 2 + p⋅x+q ) n 3-4 Exemple 4. Resol la integral de la següent funció: 3 ⋅ x 5 − 21 ⋅ x 3 + 28 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 ⋅ dx ∫ x3 − 7 ⋅ x + 6 Com el grau del numerador es major que el denominador haurem de dividir: 3 ⋅ x 5 − 21 ⋅ x 3 + 28 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 ⋅ dx = ∫ x3 − 7 ⋅ x + 6 3 ⋅ x 2 ⋅ x 3 − 7 ⋅ x + 6 + 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 =∫ ⋅ dx = x3 − 7 ⋅ x + 6 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11  10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11  2 2 ∫  3 ⋅ x + x 3 − 7 ⋅ x + 6  ⋅ dx = ∫ 3 ⋅ x ⋅ dx + ∫ x 3 − 7 ⋅ x + 6 ⋅ dx ( ) La primera integral no suposa cap dificultat, per tant ens centrarem a la segona; el primer pas serà trobar les arrels del denominador: ∫ 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 ⋅ dx = ∫ ⋅ dx 3 x −7⋅x +6 ( x − 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 3) Passarem a fer la descomposició, que seguirà el següent esquema: 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 a b c = + + = 3 x −7⋅ x + 6 (x − 1) (x − 2 ) (x + 3) a ⋅ ( x − 2 ) ⋅ (x + 3) + b ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 3) + c ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) = (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 3) Igualem els numeradors: 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 = a ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 3) + b ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 3) + c ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2) → x = 1 → a = 2  → Si  x = 2 → b = 3  x = −3 → c = 5  Amb això ja podem descompondre en fraccions més simples: 10 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 2 3 5 = + + 3 x −7⋅ x + 6 x −1 x − 2 x + 3 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-5 Ho unim tot per dividir la integral entre els diferents factors: 3 ⋅ x 5 − 21 ⋅ x 3 + 28 ⋅ x 2 − 7 ⋅ x − 11 3 5   2 ⋅ dx = ∫ 3 ⋅ x 2 ⋅ dx + ∫  + + ⋅ dx = 3 ∫ x −7⋅ x + 6  x − 1 x − 2 x + 3  2 3 5 = ∫ 3 ⋅ x 2 ⋅ dx + ∫ ⋅ dx + ∫ ⋅ dx + ∫ ⋅ dx x −1 x−2 x+3 Podent utilitzar el següent esquema de integració immediata: f ′( x) ⋅ dx = Ln f ( x) + k f ( x) Resolem la integral: 2 3 5 2 ∫ 3 ⋅ x ⋅ dx + ∫ x − 1 ⋅ dx + ∫ x − 2 ⋅ dx + ∫ x + 3 ⋅ dx = ∫ x3 = 3 ⋅ + 2 ⋅ ln( x − 1) + 3 ⋅ ln( x − 2) + 5 ⋅ ln( x + 3) + k 3 2. Integral definida o de Riemann La integral definida ens permet descobrir el valor de l’àrea comprés per sota de la corba definida per una funció, en un determinat interval [a, b] .
La base del càlcul que pretenem realitzar es la suma de les àrees dels rectangles que podem anar creant seguint la forma de la corba; quan més petita sigui la base del rectangle, quan el nombre de rectangles tendeixi a infinit ( n → ∞ ), més s’aproximarà la suma de totes les àrees a l’àrea total de la corba: n Àrea = ∑ f (ai ) ⋅ ∆xi i =1 On: • ∆xi = xi − xi −1 és l’increment en la base.
• f (ai ) serà el valor que pren la funció en un punt del interval.
Per tant, l’àrea per sota de la corba definida per la funció f ( xi ) , en l’interval [a, b] , quedaria representat d’aquesta manera: n b i =1 a Àrea = n lim ∞ ∑ f (ai ) ⋅ ∆xi = ∫ f ( xi ) ⋅ dx Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-6 2.1. Propietats de la integral definida: a ∫ f ( x) ⋅ dx = 0 a b b a a ∫ k ⋅ f ( x) ⋅ dx = k ⋅ ∫ f ( x) ⋅ dx b b b a a ∫ ( f ( x) + g ( x) ) ⋅ dx = ∫ f ( x) ⋅ dx + ∫ g ( x) ⋅ dx a b a ∫ f ( x) ⋅ dx = − ∫ f ( x) ⋅ dx a b b c b a a c ∫ f ( x) ⋅ dx = ∫ f ( x) ⋅ dx + ∫ f ( x) ⋅ dx 2.2. Funció primitiva de la integral:  f ( x) es continua    x Si →   → F ′( x) = f ( x) F ( x ) = f ( t ) ⋅ dt ∫a     Llavors coneixerem a F (x) com la funció primitiva de la funció continua f (x) , podentho resumir com: b ∫ f ( x) ⋅ dx = F (b) − F (a) = [F ( x)] b a a 2.3. Àrea entre dos corbes: Si f (x) i g (x) son dos funcions continues, les que dintre de l’interval [a < x < b] compleixen que f ( x) > g ( x) ; llavors l’àrea compresa entre elles respondrà a: b Àrea = ∫ [ f ( x) − g ( x)] ⋅ dx a Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-7 Exemple 5. Busca l’àrea compresa entre les següents dues funcions a l’interval [0,1] : f ( x) = x 2 g ( x) = x 3 Dintre de l’interval estudiat, la corba superior serà la definida per f (x) , per tant: b 1 Àrea = ∫ [ f ( x) − g ( x)] ⋅ dx = ∫ a 0 [ 1 ]  x3 x 4  x − x ⋅ dx =  −  = 4 0 3 2 3 1 1   0 0  1 = − − −  = 4  12 3 4  3 3 4 3 4 3. Integrals impròpies Les integrals impròpies ens permeten estudiar el comportament de l’àrea de la funció quan l’interval ja no serà finit, quan ja no estarà acotat; pot ser el cas, per exemple, quan volem estudiar el comportament quan a ≤ x : ∞ ∫ f ( x) ⋅ dx = b b lim ∞ ∫ f ( x) ⋅ dx a a Ens donaria el valor de l’àrea a la dreta de “a”. Si el límit tendeix a infinit direm que convergeix, si no fos així divergiria.
Exemple 5. Busca l’àrea compresa sota la següent funció quan la “x” sigui més gran que u, i digues de quin tipus d’integral es tracta: 1 f ( x) = 2 ⋅ dx g ( x) = x 3 x L’interval estudiat serà [1, ∞] : ∞ ∫ f ( x) ⋅ dx= 1 b b lim ∞ ∫ 1 b 1  1  1   1 ⋅ dx = b lim ∞ −  = −  − −  = 1 2 x  x  1  ∞   1 La integral, al donar com a resultat un valor finit, direm que divergirà.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-8 4. Integrals d’ordre superior Així quan ens referíem a l’integral de la funció f (x) com l’àrea entre la gràfica de la funció i l’eix “x”; l’integral doble d’una funció f ( x, y ) farà referència a l’àrea definida per la funció i el pla xy. L’integral triple d’una funció f ( x, y, z ) faria referència a un espai de quatre dimensions definit per Hipervolum, el qual ja té una representació gràfica més complicada. Per a integrals d’ordre superior, la dimensió de l’Hipervolum també aniria agafant un ordre dimensional superior.
Per a representar l’integral múltiple utilitzarem successives claus d’integració, en les que, per al seu càlcul, iniciarem per les més interiors: zf yf xf ∫∫∫ z i y i xi  y f x f   f ( x, y, z ) ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = ∫  ∫  ∫ f ( x, y, z ) ⋅ dx  ⋅ dy  ⋅ dz   zi   y i  xi zf On, si la funció es continua en tot l’interval estudiat, es complirà que: ∫ ∫ f ( x, y ) ⋅ dx ⋅ dy = ∫ ∫ f ( x, y) ⋅ dy ⋅ dx ∫ ∫ [ f ( x, y) + g ( x, y )] ⋅ dx ⋅ dy = ∫ ∫ f ( x, y) ⋅ dy ⋅ dx + ∫ ∫ g ( x, y ) ⋅ dy ⋅ dx ∫ ∫ k ⋅ f ( x, y) ⋅ dx ⋅ dy = k ⋅ ∫ ∫ f ( x, y ) ⋅ dy ⋅ dx Exemple 6. Resol la següent integral doble: 0 0 1 2  13  x3    03  x + y ⋅ dx ⋅ dy = ∫  + y 2 ⋅ x  ⋅ dy = ∫  + y 2 ⋅ 1 −  + y 2 ⋅ 0  ⋅ dy = 3 3 0   3  0  0  ∫∫( 2 1 2 2 ) 2 2 2 2 1  1  y3  1 1  2 2 = ∫  + y  − 0 ⋅ dy = ∫  + y  ⋅ dy = ∫  + y 2  ⋅ dy =  ⋅ y +  = 3 3 3 3 0     3 0  0 0  1 23   1 0 3  2 8 10 =  ⋅ 2 +  −  ⋅ 0 +  = + = 3  3 3  3 3 3  3 2 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 3-9 5. Aplicacions econòmiques L’àrea compresa sota una corba resulta un factor important dintre de la economia; exemples com la corba de Lorenz o l’índex de Gini responen al valor d’àrees de funcions.
D’una manera més directa, i tenint en compte els casos vistos en el tema sobre Derivades, cal tenir present que ens permetrà arribar a la funció primitiva a partir de la seva derivada.
Exemple 7. Buscar les funcions de ingrés i de cost, si se sap que el seu ingrés marginal i cost marginal responen a les següents expressions; considerarem que el cost fix val una unitat: I ′( x) = 20 − 2 ⋅ x C ′( x) = 4 + ( x − 4) 2 Primer haurem de trobar les seves funcions primitives: 2 I ( x) = ∫ I ′( x) ⋅ dx = ∫ (20 − 2 ⋅ x ) ⋅ dx →I ( x) = 20 ⋅ x − ⋅ x 2 + k 3 Per descobrir el valor de la “k” ens basarem en que, amb zero vendes, zero ingressos, per tant: 2 I (0) = 20 ⋅ 0 − ⋅ 0 2 + k = 0 → k = 0 3 En el cas dels costos, podríem considerar com ha costos fixos, els que no depenen de les unitats produïdes, com ens han anunciat que el seu valor es zero: ( x − 4) 2 x 2 + 42 − 2 ⋅ 4 ⋅ x C ( x) = 4 ⋅ x + + k = 4⋅ x + +k 3 3 Amb una producció de zero: C ( 0) = 4 ⋅ 0 + 02 + 42 − 2 ⋅ 4 ⋅ 0 16 16 +k = +k =0→k =− 3 3 3 Per tant quedarien com: I ( x) = 20 ⋅ x − Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 2 2 ⋅x 3 C ( x) = 4 ⋅ x + ( x − 4) 2 16 − 3 3 3-10 ...