Examen FOMA Resuelto 2011 (2011)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Fonaments Matematics
Año del apunte 2011
Páginas 3
Fecha de subida 23/05/2014
Descargas 3

Descripción

Examen Corregido de fonaments matematics del año 2011

Vista previa del texto

EPSEVG Ex. Final de FOMA.
curs 2010-11 • Poseu el NOM, COGNOMS, GRUP i D.N.I. en cada full. No es poden utilitzar llibres, calculadora ni apunts.
• Feu cada problema en un full diferent.
1. 1.25p Considereu a R4 els vectors on v1 = (1, 2, −1, −1), v2 = (3, 1, 0, 1) i v3 = (1, −3, 2, 3).
(a) Esbrineu si aquests vectors s´on linealment dependents, i en cas de ser-ho, trobeu una relaci´ o de depend`encia.
(b) Calculeu una base i la dimensi´o de l’espai vectorial V =< v1 , v2 , v3 >.
Soluci´ o Posem els vectors per columnes en una matriu que en diem A.
      1 3 1 1 3 1 1 3 1  2 1 −3  F2 ↔ F2 − 2F1  0 −5 −5   0 −5 −5       (a) A =   −1 0 2  F3 ↔ F3 + F1  0 3 3  F3 ↔ 5F3 + 3F2  0 0 0  −1 1 3 F4 ↔ F4 + F1 0 4 4 F4 ↔ 5F4 + 4F2 0 0 0 rangA = 2 (m`axim nombre de columnes LI.). Per tant, v1 , v2 i v3 s´on linealment dependents. Per trobar una relaci´o de depend`encia resolem el sistema homogeni (aprofitant els c`alculs que hem fet):     1 3 1 0 1 3 1 0  0 −5 −5 0   2 1 −3 0     rangA=2, sist. comp. (homogeni) indet.
  −1 0 2 0  ∼  0 0 0 0  −1 1 3 0 0 0 0 0  λ1 = 2λ  λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 fent λ3 = λ ∈ R, λ2 = −λ ⇐⇒ (λ1 , λ2 , λ3 ) = (2λ, −λ, λ) −5λ2 − 5λ3 = 0  λ3 = λ = λ(2, −1, 1), λ ∈ R.
Una relaci´o de depend`encia ´es 2v1 − v2 + v3 = 0.
(b) De l’apartat (a) podem deduir que una base de l’espai vectorial V ´es: {(1, 2, −1, −1), (3, 1, 0, 1)} i, per tant, la dimensi´o de V ´es 2.
2. 2.5p Sigui f l’aplicaci´o lineal de R3 a R3 definida com f (x, y, z) = (2x − 2y + 2z, −x + y − z, 3z).
(a) Trobeu la matriu associada a f en les bases can`oniques.
(b) Trobeu una base i la dimensi´o del nucli i de la imatge de f i raoneu si f ´es una aplicaci´o injectiva i/o exhaustiva.
(c) Calculeu f −1 (v), amb v = (−2, 1, 0).
(d) Comproveu que el vector v = (−2, 1, 0) ´es vector propi de A. De quin valor propi? (e) Calculeu el polinomi caracter´ıstic i els valors propis de A.
Soluci´ o   2 −2 2 (a) A =  −1 1 −1  ´es la matriu associada en les bases can`oniques.
0 0 3     x 0 (b) Nuc(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 / A  y  =  0 } = f −1 (0, 0, 0). Resolem doncs, el sistema lineal homogeni: z   0  2 −2 2 0 2 −2 2 0  −1 1 −1 0   0 0 0 0  rangA=2, F2 ↔ 2F2 + F1 0 0 3 0 0 0 3 0  x = λ  2x − 2y + 2z = 0 sist. comp, indet.(1 grau de llibertat) Si fem y = λ ∈ R, y = λ ⇐⇒ z = 0  z = 0 (x, y, z) = (λ, λ, 0) = λ(1, 1, 0), λ ∈ R. Una base de Nucf ´es {(1, 1, 0)} i dim Nucf =1.
Nucf =< (1, 1, 0) > no ´es el vector nul, per tant, f no ´es injectiva.
Imf =< f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) >. Despr´es d’aplicar Gauss a la matriu obtenim dos elements no nuls a la diagonal, a les columnes 1 i 3. Donat que hem vist que rangA=2, podem deduir que f (e1 ) i f (e3 ) s´ on LI. i generadors de Imf , ´es a dir, Imf =< f (e1 ), f (e3 ) >.
Per tant, una base de Imf ´es {(−2, −1, 0), (2, −1, 3)}. Donat que Imf = R3 (R3 ´es l’espai d’arribada de f ), aleshores f no ´es exhaustiva.
(c) Si observem que f (0, 1, 0) = (−2, 1, 0) i coneixent el nucli de f , tenim que: f −1 (−2, 1, 0) = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 0).
    −2 −6 (d) A  1  =  3  =⇒ Av = 3v =⇒ v ´es vector propi de valor propi 3.
0 0 (e) El polinomi caracter´ıstic ´es p(λ) = det(A − λI2 ): 2−λ −2 2 2−λ −2 −1 1 − λ −1 = (3−λ) p(λ) = = (3−λ) ((2 − λ)(1 − λ) − 2) = (3−λ)(−3λ+λ2 ) = −1 1 − λ 0 0 3−λ (3 − λ)λ(−3 + λ). Els valors propis s´on les arrels del polinomi caracter´ıstic: p(λ) = 0 =⇒ λ = 0, 3.
3. 1.5p 2 − 2j , expressant el resultat en forma exponencial.
1+j (b) Descomponeu a C[x] i a R[x] el polinomi p(x) = x3 − x2 − x − 15.
(c) Representeu al pla les solucions complexes de l’equaci´o z 3 + 8 = 0 i escriviu-les en forma bin` omica.
(a) Calculeu Soluci´ o 2 − 2j (2 − 2j)(1 − j) −4j = = = −2j = 2e−(π/2)j .
1+j (1 + j)(1 − j) 2 (b) Descomposici´o a R: p(x) = x3 − x2 − x − 15 = (x − 3)(x2 + 2x + 5).
Descomposici´o a C: p(x) = x3 − x2 − x − 15 = (x − 3)(x − (−1 − 2j))(x − (−1 + 2j)).
√ √ π+2kπ π π 2π π 4π π 5π 3 (c) 3 −8 = 8eπj = 2{e 3 j , k = 0, 1, 2} = {2e 3 j , 2e( 3 + 3 )j , 2e( 3 + 3 )j } = {2e 3 j , 2eπj , 2e 3 j } = √ √ {1 + 3j, −2, 1 − 3j} = {z1 , z2 , z3 }.
(a) Z1 p/3 p Z 2 5p/3 Z3 4. 1.5p 1 = 1 =⇒ y = 1 ´es AH. quan x → +∞.
x→+∞ 1 + 2e−x 1 1 lim = = 0 =⇒ y = 0 ´es AH. quan x → −∞.
x→−∞ 1 + 2e−x +∞ arctan(x) (b) Estudieu les as´ımptotes verticals de f (x) = i si n’hi ha, doneu les seves equacions.
x2 1 arctan(x) 1 1 1+x2 lim = lim = lim = = +∞ =⇒ x = 0 ´es AV.
2 2 x→0 x→0 x→0 x 2x 2x(1 + x ) 0 (c) Derivant f (x) = cos2 x obtenim f ′ (x) = 2 cos x(− sin x) = − sin(2x), d’on f ′ (π) = 0, i f ′′ (x) = −2(− sin2 x + cos2 x), d’on f ′′ (π) = −2.
Pf,π (x) = f (π) + f ′ (π)(x − π) + 21 f ′′ (π)(x − π)2 = 1 − (x − π)2 .
(a) lim 5. 1p La gr`afica seg¨ uent representa la derivada f ′ (x) d’una funci´o f (x): f (x) 2 1 2 1 1 1 2 2 (a) Determina els intervals de creixement i decreixement de f .
(b) Troba els punts on la recta tangent a f (x) ´es horitzontal. Raona si algun d’ells ´es punt d’inflexi´ o.
(c) Troba els m`axims i m´ınims locals de f .
Soluci´ o (a) A l’interval (−∞, 0), f ′ < 0 =⇒ f ´es estrictament decreixent.
A l’interval (0, +∞, 0), f ′ > 0 =⇒ f ´es estrictament creixent.
(b) A x = 0 i x = 2 la recta tangent ´es horitzontal donat que ´es on s’anul·la la derivada. A x = 2 f t´e un punt d’inflexi´o ja que en f ′ es d´ona un canvi de decreixement a creixement o equivalentment f ′′ t´e un canvi de signe.
(c) En x = 0 la funci´o canvia de decr´eixer (f ′ < 0) a cr´eixer (f ′ > 0), per tant, ´es un m´ınim relatiu. No hi ha d’altres extrems relatius perqu`e, si existeix derivada, ´es necessari que s’anul·li en els punts que s´ on extrems.
El punt x = 2 tamb´e ´es un punt cr´ıtic (anul·la la derivada) per`o ja hem vist que ´es un punt d’inflexi´ o.
6. 2.25p (a) Calculeu x sin(2x) d x.
(b) Calculeu l’`area del recinte limitat per les corbes y = 1 − x2 i y − x + 1 = 0.
3x en suma de fraccions simples. Useu aquesta descomposici´ o per (c) Descomponeu la funci´o f (x) = (x − 1)(x + 2) calcular la integral f (x) dx.
Soluci´ o int. per parts u = x ⇒ du = dx dv = sin(2x) ⇒ v = − cos(2x) 2 1.
x sin(2x) d x ↓ = −x cos 2x + 2 cos(2x) cos 2x sin 2x d x = −x + + C.
2 2 4 y = 1 − x2 y =x−1 2. Busquem els punts de tall entre la recta i la par`abola: x = 1, −2.
⇐⇒ 1 − x2 = x − 1 ⇐⇒ x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒ 1 3 2 0 1 1 2 1 2 3 1 −2 (1 − x2 − (x − 1)) d x = 3. f (x) = 1 −2 (−x2 − x + 2) d x = −x3 x2 − + 2x 3 2 1 −2 = −1 1 8 4 9 − + 2 − ( − − 4) = 3 2 3 2 2 3x A B A(x + 2) + B(x − 1) = + = .
(x − 1)(x + 2) x−1 x+2 (x − 1)(x + 2) Igualant numeradors: 3x = A(x + 2) + B(x − 1) ⇐⇒ 3x dx = (x − 1)(x + 2) 3=A+B 0 = 2A − B ⇐⇒ A = 1, B = 2 1 2 + d x = ln |x − 1| + 2 ln |x + 2| + C.
x−1 x+2 ...