trabajo matricial (2017)

Trabajo Español
Universidad Universidad de Castilla-La Mancha
Grado Ingeniería Mecánica - 3º curso
Asignatura teoría de estructuras y construcciones industriales
Año del apunte 2017
Páginas 75
Fecha de subida 12/06/2017
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trabajo matricial explicado paso a paso

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TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES TRABAJO Nº 4 02/06/2017 DIEGO GONZÁLEZ POLO DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 TRABAJO Nº 4: El pórtico de nudos rígidos de la figura está formada por perfiles IPE 300 de acero S275J.
Calcular los movimientos de los nudos y las leyes de esfuerzos y diagramas en las en los siguientes casos (actuando de manera separada): • • • Las cargas indicadas en la figura Movimiento del nudo I hacia abajo de 0.15 m y del nudo D de 0.1 m hacia la derecha Variación de temperatura de la barra s-t, siendo el incremento de temperatura de la fibra inferior de 30 º y de la superior 150º Comprobar los resultados con algún programa informático, acompañando los resultados.
ARTIR DEL DNI DEL ALUMNO H1= 300 + 3*(AB) cm H2= 600 + 2*(CD) cm a= 200+4*(CD) cm c= a b= 2*a d=1,5*a M= 40000 +100*(EF) P= 20000 + 100*(EF) N q= 5000+100*(GH) N/m De tal manera que los valores deben de comprenderse entre: AB CD EF GH cm 40 cm AB 10 cm cm 40 cm CD 10 cm N 95 N EF 50 N N/m 80 N/m GH 50 N/m En primer lugar para que los problemas sean individuales en función de sus datos, debemos rellenar la siguiente tabla: ALUMNO DNI Diego González Polo 0 4 6 2 A B C D DIEGO GONZÁLEZ POLO 4 E 8 F 6 G GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 H GRUPO 3ME GP. 1 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 A continuación nos disponemos a mostrar la pieza a estudiar e incorporaremos nuestras medidas personalizadas: 11500 N/m 25000 N 25000 N 680 cm 45000 N.m 330 cm 360 720 360 540 H1 = 300 + 3 x (AB) = 300 + 3 x 10 = 330 cm H2 = 600 + 2 ∗ (CD) = 600 + 2 x 40 = 680 cm a = 200 + 4 ∗ (CD) = 200 + 4 𝑥 40 = 360 𝑐𝑚 𝑐 = 𝑎 = 360 𝑐𝑚 𝑏 = 2 𝑥 𝑎 = 720 𝑐𝑚 𝑑 = 1.5 𝑥 𝑎 = 1.5 𝑥 360 = 540 𝑐𝑚 M = 40000 + 100 x (EF) = 40000 + 100 x 50 = 45000 N. m P = 20000 + 100 x (EF) = 20000 + 100 x 50 = 25000 N q = 5000 + 100 x (GH) = 5000 + 100 x 65 = 11500 N/m Por lo que después de obtener las medidas de todos los elementos de la estructura a estudiar y los valores de las cargas a las que se encuentra sometida la estructura, nos disponemos a realizar los cálculos de la misma mediante el método matricial.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 OBTENER LASPILARES: LEYES Y DIAGRAMAS DE LA FIGURA ACORDE A LAS CARGAS A LAS QUE SE ENCUENTRA SOMETIDA OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES: En este trabajo emplearemos el método matricial para el cálculo de la estructura, para ello debemos calcular las fuerzas acordes a la siguiente expresión: {𝐹} = [𝑘] 𝑥 {𝛥} Dónde: {𝐹} = 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎.
[𝑘] = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎.
{𝛥} = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠.
Para comenzar debemos nombrar cada uno de los nudos de la estructura, hemos decidido tomar las siguientes numeraciones: 5 2 1 3 4 Por lo que primeramente nos disponemos a calcular la matriz de rigideces de la estructura, en el sistema de referencia local de la propia barra.
El modelo de matriz de rigidez para una barra empotrada-empotrada o articulada-empotrada contiene la siguiente forma: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES 𝐸𝑥𝐴 𝐿 0 0 − 𝐸𝑥𝐴 𝐿 0 [ 0 0 12 𝑥 𝐸 𝑥 𝐼 𝐿3 6𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿2 6𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿2 4𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿 0 0 12 𝑥 𝐸 𝑥 𝐼 𝐿3 6𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿2 − 0 − 6𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿2 2𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿 − 𝐸𝑥𝐴 𝐿 0 0 0 0 0 12 𝑥 𝐸 𝑥 𝐼 𝐿3 6𝑥𝐸𝑥𝐼 − 𝐿2 6𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿2 2𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿 − 0 𝐸𝑥𝐴 𝐿 CURSO 2016/2017 0 12 𝑥 𝐸 𝑥 𝐼 𝐿3 6𝑥𝐸𝑥𝐼 − 𝐿2 0 6𝑥𝐸𝑥𝐼 𝐿2 4𝑥𝐸𝑥𝐼 ] 𝐿 − Siendo E el módulo de elasticidad con valor 210000 N/mm2.
A es el área del perfil empleado, en este caso un IPE 300 de acero S 275J, 53.80 cm2.
Y I es el momento de inercia del eje fuerte del perfil, es decir, el del eje “y”, 8360 cm4.
En primer lugar, para introducir las medidas exactas de las barras debemos calcular el ángulo de las mismas, obteniendo los siguientes: Barra 1-2: 2 Eje color rojo ejes globales de la estructura.
Eje azul, eje local de la barra.
1 10.02º Barra 2-4: -121.63º Barra 1-3: -42.51º DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Después de haber calculado los ángulos de cada una de las barras, ya podemos obtener la longitud real de cada una de ellas y emplearla para calcular la matriz de rigidez de cada una de ellas.
Por lo que introducimos la matriz de rigidez para cada una de las barras de la estructura: Barra 1-2: i =1 i =1 j=2 j =2 77277,702 0 0 -77277,702 0 0 0 67,416 492,813 0 -67,416 492,813 0 492,813 4803,283 0 -492,813 2401,642 -77277,702 0 0 77277,702 0 0 0 -67,416 -492,813 0 67,416 -492,813 0 492,813 2401,642 0 -492,813 4803,283 Barra 1-3: i =1 i =1 j=3 j =3 231516,393 0 0 -231516,393 0 0 0 1812,789 4423,206 0 -1812,789 4423,206 0 4423,206 14390,164 0 -4423,206 7195,082 -231516,393 0 0 231516,393 0 0 0 -1812,789 -4423,206 0 1812,789 -4423,206 0 4423,206 7195,082 0 -4423,206 14390,164 Barra 2-4: i =2 i =2 j=4 j =4 164693,878 0 0 -164693,878 0 0 0 652,581 2238,353 0 -652,581 2238,353 0 2238,353 10236,735 0 -2238,353 5118,367 -164693,878 0 0 164693,878 0 0 0 -652,581 -2238,353 0 652,581 -2238,353 0 2238,353 5118,367 0 -2238,353 10236,735 DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 2-5: i =2 i =2 j=5 j =5 206167,883 0 0 -206167,883 0 0 0 1280,163 3507,646 0 -1280,163 3507,646 0 3507,646 12814,599 0 -3507,646 6407,299 -206167,883 0 0 206167,883 0 0 0 -1280,163 -3507,646 0 1280,163 -3507,646 0 3507,646 6407,299 0 -3507,646 12814,599 Ahora calculamos la matriz de cambio de base de cada barra, correspondiente al ángulo que forman con el eje de coordenadas general, realizándola del siguiente modo: cos 𝛼 [𝐺] = [𝑠𝑒𝑛 𝛼 0 −𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼 0 0 0] 1 A su vez, realizamos la traspuesta de dicha matriz debido a que luego la necesitaremos para extraer las matrices en el sistema de referencia general.
Barra 1-2: Ángulo = 10,2 [G]= [G]T= 0,984 -0,177 0 0,177 0,984 0 0 0 1 0,984 0,177 0 -0,177 0,984 0 0 0 1 Barra 1-3: Ángulo = -42,51 [G]= [G]T= 0,737 0,676 0 -0,676 0,737 0 0 0 1 0,737 -0,676 0 0,676 0,737 0 0 0 1 DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 6 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 2-4: Ángulo = -121,63 [G]= [G]T= -0,524 0,851 0 -0,851 -0,524 0 0 0 1 -0,524 -0,851 0 0,851 -0,524 0 0 0 1 0,984 -0,177 0 0,177 0,984 0 0 0 1 0,984 0,177 0 -0,177 0,984 0 0 0 1 Barra 2-5: Ángulo = 10,2 [G]= [G]T= Por lo que ya nos podemos disponer a extraer y realizar el cambio de base a coordenadas generales de la estructura, a partir de la siguiente expresión: [𝐾′𝑖𝑖 ] = [𝐺] 𝑥 [𝐾𝑖𝑖 ] 𝑥 [𝐺]𝑇 A su vez, también extraeremos las matrices de conversión de cada una de las barras, debido a que las necesitaremos más adelante para darle solución a los apartados: [𝐾 𝐶 𝑖𝑖 ] = [𝐾𝑖𝑖 ] 𝑥 [𝐺]𝑇 En ambas expresiones hemos usado la fila y columna i, pero debemos indicar que se realiza con cada fila y columna.
Obtenemos los siguientes resultados de ambas matrices para cada barra: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 1-2: Matrices de conversión [Kc11] = [Kc21] = 76056,37 13684,70 0,00 -76056,37 -13684,70 0,00 -11,94 66,35 492,81 11,94 -66,35 492,81 -87,27 485,02 4803,28 87,27 -485,02 2401,64 -76056,37 -13684,70 0,00 76056,37 13684,70 0,00 11,94 -66,35 -492,81 -11,94 66,35 -492,81 -87,27 485,02 2401,64 87,27 -485,02 4803,28 [Kc12] = [Kc22] = Matriz de rigidez [k'] de la barra (1) en sistema de referencia principal [K'11]1 = [K'21]1 = 74856,46 13456,67 -87,27 -74856,46 -13456,67 -87,27 13456,67 2488,65 485,02 -13456,67 -2488,65 485,02 -87,27 485,02 4803,28 87,27 -485,02 2401,64 -74856,46 -13456,67 87,27 74856,46 13456,67 87,27 -13456,67 -2488,65 -485,02 13456,67 2488,65 -485,02 -87,27 485,02 2401,64 87,27 -485,02 4803,28 DIEGO GONZÁLEZ POLO [K'12]1 = [K'22]1 = GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 1-3: Matrices de conversión [Kc11] = [Kc31] = 170664,49 -156440,00 0,00 -170664,49 156440,00 0,00 1224,94 1336,31 4423,21 -1224,94 -1336,31 4423,21 2988,84 3260,61 14390,16 -2988,84 -3260,61 7195,08 -170664,49 156440,00 0,00 170664,49 -156440,00 0,00 -1224,94 -1336,31 -4423,21 1224,94 1336,31 -4423,21 2988,84 3260,61 7195,08 -2988,84 -3260,61 14390,16 [Kc13] = [Kc33] = Matriz de rigidez [k'] de la barra (2) en sistema de referencia principal [K'11]2 = [K'31]2 = 126634,65 -114418,24 2988,84 -126634,65 114418,24 2988,84 -114418,24 106694,54 3260,61 114418,24 -106694,54 3260,61 2988,84 3260,61 14390,16 -2988,84 -3260,61 7195,08 -126634,65 114418,24 -2988,84 126634,65 -114418,24 -2988,84 114418,24 -106694,54 -3260,61 -114418,24 106694,54 -3260,61 2988,84 3260,61 7195,08 -2988,84 -3260,61 14390,16 DIEGO GONZÁLEZ POLO [K'13]2 = [K'33]2 = GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 2-4: Matrices de conversión [Kc22] = [Kc42] = -86370,71 -140229,01 0,00 86370,71 140229,01 0,00 555,64 -342,23 2238,35 -555,64 342,23 2238,35 1905,85 -1173,86 10236,73 -1905,85 1173,86 5118,37 86370,71 140229,01 0,00 -86370,71 -140229,01 0,00 -555,64 342,23 -2238,35 555,64 -342,23 -2238,35 1905,85 -1173,86 5118,37 -1905,85 1173,86 10236,73 [Kc24] = [Kc44] = Matriz de rigidez [k'] de la barra (3) en sistema de referencia principal [K'22]3 = [K'42]3 = 45768,65 73249,15 1905,85 -45768,65 -73249,15 1905,85 73249,15 119577,81 -1173,86 -73249,15 -119577,81 -1173,86 1905,85 -1173,86 10236,73 -1905,85 1173,86 5118,37 -45768,65 -73249,15 -1905,85 45768,65 73249,15 -1905,85 -73249,15 -119577,81 1173,86 73249,15 119577,81 1173,86 1905,85 -1173,86 5118,37 -1905,85 1173,86 10236,73 DIEGO GONZÁLEZ POLO [K'24]3 = [K'44]3 = GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 10 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 2-5: Matrices de conversión [Kc22] = [Kc52] = 202909,53 36509,19 0,00 -202909,53 -36509,19 0,00 -226,70 1259,93 3507,65 226,70 -1259,93 3507,65 -621,15 3452,21 12814,60 621,15 -3452,21 6407,30 -202909,53 -36509,19 0,00 202909,53 36509,19 0,00 226,70 -1259,93 -3507,65 -226,70 1259,93 -3507,65 -621,15 3452,21 6407,30 621,15 -3452,21 12814,60 [Kc52] = [Kc55] = Matriz de rigidez [k'] de la barra (4) en sistema de referencia principal [K'22]4 = [K'52]4 = 199742,81 35709,07 -621,15 -199742,81 -35709,07 -621,15 35709,07 7705,24 3452,21 -35709,07 -7705,24 3452,21 -621,15 3452,21 12814,60 621,15 -3452,21 6407,30 -199742,81 -35709,07 621,15 199742,81 35709,07 621,15 -35709,07 -7705,24 -3452,21 35709,07 7705,24 -3452,21 -621,15 3452,21 6407,30 621,15 -3452,21 12814,60 [K'25]4 = [K'55]4 = Por lo que ya podemos montar nuestra matriz ensamblada de toda la estructura. Esto lo realizaremos sumando cada elemento [𝐾𝑖𝑖 ] de cada una de las barras y las introduciremos en una matriz dando lugar a la matriz ensamblada con esta forma: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 11 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Matriz de rigidez de la estructura 1 2 201491,11 -100961,57 2901,57 1 -100961,57 109183,19 3 4 -74856,46 -13456,67 -87,27 -126634,65 114418,24 2988,84 0 0 0 0 0 0 3745,63 -13456,67 -2488,65 485,02 114418,24 -106694,54 3260,61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2901,57 3745,63 19193,45 87,27 -485,02 2401,64 -2988,84 -3260,61 7195,08 -74856,46 -13456,67 87,27 320367,92 122414,89 1371,97 0 0 0 2 -13456,67 -2488,65 -485,02 122414,89 129771,70 1793,32 0 0 0 485,02 2401,64 1371,97 1793,32 27854,62 0 0 0 -126634,65 114418,24 -2988,84 0 0 0 [K]= 3 114418,24 -106694,54 -3260,61 0 0 0 -87,27 4 5 5 -73249,15 1905,85 -621,15 45768,65 199742,81 35709,07 -119577,81 -1173,86 -35709,07 -7705,24 3452,21 73249,15 -1905,85 1173,86 5118,37 621,15 -3452,21 6407,30 126634,65 -114418,24 -2988,84 0 0 0 0 0 0 -114418,24 106694,54 -3260,61 0 0 0 0 0 0 2988,84 3260,61 7195,08 0 0 0 -2988,84 -3260,61 14390,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -45768,65 -73249,15 -1905,85 0 0 0 45768,65 73249,15 -1905,85 0 0 0 0 0 0 -73249,15 -119577,81 1173,86 0 0 0 73249,15 119577,81 1173,86 0 0 0 0 0 0 1905,85 0 0 0 0 0 0 0 -1173,86 5118,37 0 0 0 -1905,85 1173,86 10236,73 0 -199742,81 -35709,07 621,15 0 0 0 0 0 0 199742,81 35709,07 0 0 -35709,07 -7705,24 -3452,21 0 0 0 0 0 0 35709,07 0 0 -621,15 3452,21 6407,30 0 0 0 0 0 0 621,15 7705,24 -3452,21 -3452,21 12814,60 Como observamos, la matriz debe ser simétrica para que se encuentre realizada correctamente y se encuentra en el sistema de referencia principal.
DIEGO GONZÁLEZ POLO 621,15 GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 La matriz ensamblada la hemos generado a partir de la suma de cada una de las submatrices de las matrices de las barras en el sistema general.
1 2 [𝐾11 ]+ [𝐾11 ] 1 [𝐾12 ] 2 [𝐾13 ] 0 0 1 [𝐾21 ] 1 [𝐾22 ]+ 3 4 [𝐾22 ]+ [𝐾22 ] 0 3 [𝐾24 ] 4 [𝐾25 ] 2 [𝐾31 ] 0 2 [𝐾33 ] 0 0 0 3 [𝐾42 ] 0 3 [𝐾44 ] 0 0 4 [𝐾52 ] 0 0 4 [𝐾55 ] Para el siguiente paso, nos disponemos a estudiar el vector fuerza. Este vector nos indica las cargas en cada uno de los nudos de la estructura.
Las cargas que no tenemos aplicadas en los nudos, deberemos trasladarlas a los nudos de los extremos de la barra dónde se encuentran aplicadas.
Por lo que introducimos la propia estructura en el programa Cype acorde a nuestras medidas y, las cargas a las que esta se encuentra sometida, observando barra por barra las reacciones en cada una de las barras, las cuales emplearemos para calcular las reacciones totales en la estructura.
Esta es nuestra estructura introducida en Cype, como observamos la carga distribuida la hemos introducido en los ejes de la barra 1-2, para observar de una mejor manera el estudio de las reacciones.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que observamos las reacciones obtenidas por barra y las indicamos a continuación; indicamos que hemos estudiado barra por barra individual, fuera de la estructura, comportándose cada una como empotrada-empotrada.
Barra 1-2: 201.71 KN.m 201.71 KN.m 84.065 KN 84.065 KN Barra 2-4: 10.552 KN 22.73 KN.m 6.701 KN 22.73 KN.m 10.552 KN 6.701 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 1-3: 8.805 KN 9.29 KN.m 9.606 KN 9.29 KN.m 9.606 KN 8.805 KN Por lo que dichas fuerzas de las reacciones debemos dibujarlas en la estructura total en modo de acción, no dé reacción, junto con las reacciones en los apoyos que es lo que deseamos calcular: 84.065 KN 84.065 KN 10.552 201.71KN KN.m 9.29 KN.m 201.71 KN.m 25 KN 22.73 KN.m 201.71 6.701 KN 9.606 KN 201.71 KN.m 8.805 KN 6.701 KN M3 8.805 KN 22.73 KN.m 9.29 KN.m R3x R4x 9.606 KN 10.552 KN R4y R3y Por lo que ahora colocamos las fuerzas en forma de matriz, y éstas irán ordenadas según los nudos, por lo que quedaría de tal forma: {F} DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 9,61 -75,26 -192,42 10,55 -90,77 224,44 R3x-9,606 R3y-8,805 M3+9,29 R4x+10,552 R4y-6,701 -22,73 0 -25,00 0 A continuación, introducimos los desplazamientos y giros en cada uno de los nudos, dependiendo del movimiento que podría tener cada uno de ellos: {∆} ∆1x ∆1y Ѳ1 ∆2x ∆2y Ѳ2 0 0 0 0 0 Ѳ4 ∆5x ∆5y DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Ѳ5 Por lo que ya nos encontramos dispuestos a poder calcular la matriz desacoplada.
Dicha matriz nos permite resolver primero las incógnitas de los desplazamientos. La dimensión de dicha matriz define la cantidad de incógnitas que tenemos.
En primer lugar, incorporamos la operación que debemos realizar entre las matrices de fuerzas, desplazamientos y la matriz ensamblada: {𝐹} = [𝑘] 𝑥 {𝛥} Ahora en la matriz ensamblada, vamos realizando las operaciones de las filas de la matriz de 15 x 15 por la columna de desplazamientos, pudiendo tachar los elementos que nos van a salir 0, creando un sistema de únicamente 10 x 10 ecuaciones correspondientes a las incógnitas de los desplazamientos.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Como podemos observar hemos quitado las filas y columnas que eran 0 y las que nos introducían nuevas incógnitas, es decir, las reacciones en cada apoyo.
Por lo que ya nos encontramos con un sistema compatible de 10x10 ecuaciones que se puede resolver sencillamente, y a partir del cual obtendremos los desplazamientos en cada uno de los nudos.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que resolvemos dicho sistema y obtenemos los desplazamientos en cada uno de los nudos, siendo éstos los resultados obtenidos: 0,0592 ∆1x 0,0539 ∆1y -0,0339 Ѳ1 0,0787 ∆2x -0,0513 0.0139 = ∆2y Ѳ2 -0,0279 Ѳ4 0,0658 ∆5x -0,0259 ∆5y 0.0142 Ѳ5 “Desplazamientos medidos en metros y giros en radianes.” Por lo que comparamos dichos resultados con los obtenidos con Cype para comprobar que nuestros resultados han salido correctamente (indicar que según Cype el eje X es el eje Y, el eje Y se corresponde con el eje Z): Como podemos observar, los valores obtenidos mediante Cype y los obtenidos a partir del cálculo matricial realizado por nosotros son muy cercanos, debido a que Cype emplea el método matricial como método de cálculo de las estructuras.
A su vez, después de haber obtenido los desplazamientos en cada uno de los nudos, nos podemos disponer a extraer las reacciones en los apoyos, obteniendo los siguientes valores: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES R3x -84.625 R3y 58.336 M3 = CURSO 2016/2017 233.02 R4x 63.551 R4y 148.115 Observamos que obtenemos unos resultados muy cercanos a los de Cype: Es norma que obtengamos unos valores muy cercanos, por no decir iguales, debido a que Cype emplea, como comentamos antes, el método matricial para la resolución A continuación, nos disponemos a calcular las reacciones en extremo de barras, éstos son calculados en los ejes locales de las barras, y lo realizaremos del siguiente modo: 𝑃𝑥𝑖 𝑃𝑦𝑖 𝐾𝑖𝑖𝐶 𝑀𝑖 = [ 𝑃𝑥𝑗 𝐾𝑗𝑖𝐶 𝑃𝑦𝑗 { 𝑀𝑗 } ∆1x ∆1y 𝐾𝑖𝑗𝐶 ] 𝑥 Ѳ1 ∆2x 𝐾𝑗𝑗𝐶 ∆2y { Ѳ2 } Esto lo realizaremos para cada una de las barras, obteniendo así las acciones en cada una de ellas, a las cuales deberemos luego añadirle las reacciones que hemos obtenido anteriormente.
A partir de ellos extraeremos las sumas de los dos estados, tanto el de fijación como el de las acciones de las barras, que sumados, nos permite calcular las leyes y diagramas de cada una de las barras.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Siendo las operaciones siguientes para cada una de las barras y con sus correspondientes resultados: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 PX1 76056,37 13684,70 0,00 -76056,37 -13684,70 0,00 0,0592 PY1 -11,94 66,35 492,81 11,94 -66,35 492,81 0,0539 -87,27 485,02 4803,28 87,27 -485,02 2401,64 -76056,37 -13684,70 0,00 76056,37 13684,70 0,00 PY2 11,94 -66,35 -492,81 -11,94 66,35 -492,81 -0,0513 M2 -87,27 485,02 2401,64 87,27 -485,02 4803,28 0,0139 PX1 170664,49 -156440,00 0,00 -170664,49 156440,00 0,00 0,0592 PY1 1224,94 1336,31 4423,21 -1224,94 -1336,31 4423,21 0,0539 2988,84 3260,61 14390,16 -2988,84 -3260,61 7195,08 -170664,49 156440,00 0,00 170664,49 -156440,00 0,00 PY3 -1224,94 -1336,31 -4423,21 1224,94 1336,31 -4423,21 0 M3 2988,84 3260,61 7195,08 -2988,84 -3260,61 14390,16 0 M1 PX2 M1 PX3 = = DIEGO GONZÁLEZ POLO X X -0,0339 0,0787 -0,0339 0 GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 PX2 -86370,71 -140229,01 0,00 86370,71 140229,01 0,00 0,0592 PY2 555,64 -342,23 2238,35 -555,64 342,23 2238,35 0,0539 1905,85 -1173,86 10236,73 -1905,85 1173,86 5118,37 86370,71 140229,01 0,00 -86370,71 -140229,01 0,00 PY4 -555,64 342,23 -2238,35 555,64 -342,23 -2238,35 0 M4 1905,85 -1173,86 5118,37 -1905,85 1173,86 10236,73 -0,0279 PX2 202909,53 36509,19 0,00 -202909,53 -36509,19 0,00 0,0592 PY2 -226,70 1259,93 3507,65 226,70 -1259,93 3507,65 0,0539 -621,15 3452,21 12814,60 621,15 -3452,21 6407,30 -202909,53 -36509,19 0,00 202909,53 36509,19 0,00 PY5 226,70 -1259,93 -3507,65 -226,70 1259,93 -3507,65 0 M5 -621,15 3452,21 6407,30 621,15 -3452,21 12814,60 -0,0279 M2 PX4 M2 PX5 = = DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA X X -0,0339 0 -0,0339 0 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que obtenemos los siguientes resultados para cada una de las barras propuestas, obteniendo los siguientes esfuerzos en extremo de barra: Barra 1-3: Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 88.42 KN 64.63 KN.m 36.31 KN 36.31 KN 242.06 KN.m 88.42 KN Reacciones obtenidas anteriormente al estudiar las reacciones en los nudos, pero esta vez lo deberemos realizar en los ejes locales de la barra 6.49 KN 7.08 KN 9.29 KN.m 5.94 KN 6.49 KN 45 KN.m 5.94 KN 6.49 KN α =42.51º 9.29 KN.m 6.49 KN 7.08 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que realizamos la suma de ambos estados, dando como resultado el siguiente: 87.28 KN 73.92 KN.m 23.33 KN 45 KN.m 23.33 KN 232.77 KN.m 87.28 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁04.88 = −87.28 (𝐾𝑁) 𝑉04.88 = 23.33 (𝐾𝑁) 𝑀02.44 = 23.33 𝑥 𝑋 + 73.92 (𝐾𝑁. 𝑚) 4.88 𝑀2.44 = 23.33 𝑥 𝑋 + 73.92 + 45 = 23.33 𝑥 𝑋 + 118.92 (𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 87.28 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: Cuyos valores máximos y mínimos son: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 CORTANTES: 23.33 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 FLECTORES: 73.92 KN 130.84 KN 232.77 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que podemos pasar a la siguiente barra para realizar los mismos estudios: Barra 1-2: Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 38.076 KN.m 13.42 KN 43.46 KN 13.42 KN 76.72 KN.m 43.46 KN Reacciones obtenidas anteriormente al estudiar las reacciones en los nudos, pero esta vez lo deberemos realizar en los ejes locales de la barra 14.62 KN 201.71 KN.m 82.78 KN 201.71 KN.m 14.62 KN α = 10.02º 82.78 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que realizamos la suma de ambos estados, dando como resultado el siguiente: 58.08 KN 239.78 KN.m 96.2 KN 128.98 KN.m α = 10.02º 35.43 KN 80.23 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁014.62 = 35.43 + 11.5 𝑥 sin 10.02 º 𝑥 𝑋 = 35.43 + 2 𝑥 𝑋 (𝐾𝑁) 𝑉014.62 = 80.23 − 11.5 𝑥 cos 10.02 º 𝑥 𝑋 = 80.23 − 11.32 𝑥 𝑋 (𝐾𝑁) 𝑋 2 = −5.66 𝑥 𝑋 2 + 80.23 𝑥 𝑋 − 128.98 (𝐾𝑁. 𝑚) 𝑀014.62 = 80.23 𝑥 𝑋 − 128.98 − 11.5 𝑥 cos 10.02 º 𝑥 𝑋 𝑥 Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 64.65 KN 35.43 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 6 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Cuyos valores máximos y mínimos son: CORTANTES: 85.26 KN 80.23 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: Con sus valores máximos y mínimos: FLECTORES: 160.15 KN.m 128.98 KN.m 156.99 KN.m DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: Barra 2-4: Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 119.04 KN.m 159.11 KN 16.80 KN 13.42 KN 159.11 KN 22.73 KN.m DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Reacciones obtenidas anteriormente al estudiar las reacciones en los nudos, pero esta vez lo deberemos realizar en los ejes locales de la barra 8.98 KN 5.70 KN 5.53 KN α = 31.63º 22.73 KN.m 3.51 KN 8.98 KN 5.53 KN 22.73 KN.m 5.70 KN 25 KN 3.51 KN Por lo que realizamos la suma de ambos estados, dando como resultado el siguiente: 159.289 KN 0.732 KN 96.317 KN.m 25.782 KN 25 KN 159.289 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁07.269 = −159.289 (𝐾𝑁) 𝑉03.634 = 25.782 (𝐾𝑁) 7.269 𝑉3.634 = 25.782 − 25 = 0.782 (𝐾𝑁) 𝑀03.634 = 25.782 𝑥 𝑋(𝐾𝑁. 𝑚) 7.269 𝑀3.634 = 25.782 𝑥 𝑋 − 25 𝑥 (𝑥 − 3.634) = 0.782 𝑥 𝑋 + 90.85 (𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 10 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 AXILES: 159.289 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: Cuyos valores máximos y mínimos son: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 11 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 CORTANTES: 0.782 KN 25.782 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: Con sus valores máximos y mínimos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 12 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 FLECTORES: 96.53 KN.m 93.69 KN.m Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 13 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 2-5: En este caso solamente disponemos de un solo estado, extraído a partir de estudiar los esfuerzos en extremo de barra.
Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 4.33 KN 134.86 KN.m 24.702 KN 4.33 KN 24.702 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁05.480 = −4.33 (𝐾𝑁) 𝑉05.480 = 24.702 (𝐾𝑁) 𝑀05.480 = 24.702 𝑥 𝑋 − 134.86 (𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 4.33 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 14 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: CORTANTES: 24.702 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 15 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 FLECTORES: 134.86 KN.m Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 16 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 OBTENER LAS LEYES Y DIAGRAMAS DE LA FIGURA ACORDE A DOS DESPLAZAMIENTOS DE DOS NUDOS En este caso que nos disponemos a estudiar, no encontramos ninguna carga a la que se encuentre sometida la estructura, por lo que podemos decir con total exactitud que la matriz de rigideces de la estructura permanecerá constante.
La única variación que contendremos serán ambos desplazamientos de los apoyos de la estructura, siendo los siguientes: M3 R3x R4x 0.15 m 0.1 m M3 R3y M3 M3 R4y M3 Por lo que en este caso volveremos a emplear la matriz de rigidez de la estructura anteriormente usada para calcular el apartado 1: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 17 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 100961,57 2901,57 -74856,46 -13456,67 -87,27 -100961,5 109183,19 3745,63 -13456,67 -2488,65 485,02 87,27 -485,02 2401,64 -2988,84 201491,1 114418,24 126634,65 114418,24 106694,54 2988,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -3260,61 7195,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -69223,96 1700,69 -35709,07 199742,81 -621,15 -1047,50 -35709,07 -7705,24 3452,21 4835,03 621,15 -3452,21 6407,30 2901,57 3745,63 19193,45 -74856,4 -13456,67 87,27 317786,21 118389,70 1166,81 0,00 0,00 0,00 -43186,94 -13456,6 -2488,65 -485,02 118389,70 123134,02 1919,69 0,00 0,00 0,00 -69223,96 -87,27 485,02 2401,64 1166,81 1919,69 27287,95 0,00 0,00 0,00 -1700,69 112940,13 1047,50 -126634,6 114418,24 -2988,84 0,00 0,00 0,00 126634,65 114418,24 -2988,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 114418,2 106694,54 -3260,61 0,00 0,00 0,00 106694,54 114418,24 -3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2988,84 3260,61 7195,08 0,00 0,00 0,00 -2988,84 -3260,61 14390,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -43186,94 -1700,69 0,00 0,00 0,00 43186,94 69223,96 -1700,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1047,50 0,00 0,00 0,00 69223,96 112940,13 1047,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4835,03 0,00 0,00 0,00 -1700,69 1047,50 9670,06 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 621,15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 199742,81 35709,07 621,15 0,00 0,00 0,00 -3452,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 35709,07 7705,24 -3452,2 0,00 0,00 0,00 6407,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 621,15 -3452,21 12814,6 -69223,96 -69223,96 112940,13 1700,69 -1047,50 -35709,07 199742,81 -35709,07 -7705,24 -621,15 DIEGO GONZÁLEZ POLO 3452,21 GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Siendo estas dos por lo tanto las columnas correspondientes a la del vector desplazamiento y a la del vector fuerza de la estructura en esta ocasión: 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Como podemos observar toda la columna de fuerzas únicamente está formada por las reacciones que tiene la estructura en este caso, debido a que no existe ninguna fuerza exterior en este caso salvo el descenso de apoyo.
∆1x ∆1y Ѳ1 En el lado derecho nos encontramos con la columna de los desplazamientos y giros en cada uno de los nudos, en la que podemos observar que disponemos de las mismas incógnitas que en el apartado anterior, salvo que en este caso en el nudo 3 hemos incorporado el descenso de apoyo de 0.15 m y en el nudo 4 hemos incorporado el desplazamiento hacia la derecha de 0.1 m.
0,00 ∆2y Ѳ2 0,00 R3x -0,15 R3y 0,00 M3 0,10 R4x 0,00 R4y Ѳ4 0,00 ∆5x 0,00 ∆5y 0,00 Ѳ5 0,00 Por lo que nos podemos disponer a realizar la siguiente operación: DIEGO GONZÁLEZ POLO ∆2x GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Para facilitar mejor las cosas, eliminamos las filas pertenecientes a las reacciones de los apoyos y obtenemos un sistema de 10 ecuaciones con 10 incóngitas, quedándonos una matriz de 10x10 correspondiente a la matriz desacoplada: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Debemos de tener cierto ojo con algunos de los términos que eliminamos, debido a que en algunas de las filas no se anulas, sólo que no van multiplicados por ninguna variable; por lo tanto, en dicho sistema en vez de igualarlo a “0”, lo igualamos a los valores fijos de los desplazamientos multiplicados por los elementos de la matriz, quedando de la siguiente forma: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 100961,57 2901,57 -74856,46 -13456,67 -87,27 0,00 0,00 0,00 0,00 109183,19 100961,57 3745,63 -13456,67 -2488,65 485,02 0,00 0,00 0,00 0,00 87,27 -485,02 2401,64 0,00 0,00 0,00 0,00 1166,81 1700,69 201491,11 2901,57 3745,63 19193,45 -74856,46 -13456,67 87,27 317786,21 118389,70 -13456,67 -2488,65 -485,02 -87,27 485,02 2401,64 1166,81 0,00 0,00 0,00 1700,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 DIEGO GONZÁLEZ POLO 118389,70 123134,02 -621,15 4318,693847 ∆1y Ѳ1 ∆2x = -1047,50 1919,69 27287,95 4835,03 621,15 -3452,21 6407,30 170,0688353 Ѳ2 -1047,50 4835,03 9670,06 0,00 0,00 0,00 170,0688353 Ѳ4 621,15 0,00 199742,81 35709,07 621,15 -3452,21 0,00 35709,07 7705,24 6407,30 0,00 621,15 -3452,21 3452,21 GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3452,21 x ∆1x 1919,69 -35709,07 199742,81 -35709,07 -7705,24 -621,15 -35709,07 199742,81 -35709,07 -7705,24 17162,73651 16004,18043 489,0912048 6922,395817 ∆2y 0 ∆5x -3452,21 0 ∆5y 12814,60 0 Ѳ5 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Después de realizar la operación, obtenemos los resultados del desplazamiento y giro de cada uno de los 5 nudos: -0,0108 = ∆1x -0,1618 = ∆1y 0,0074 = Ѳ1 -0,0574 = ∆2x 0,0969 = 0,0246 = ∆2y m Ѳ2 Rad 0,0259 = Ѳ4 -0,0812 = 0,2295 = ∆5x m ∆5y m 0,0246 = Ѳ5 m m Rad m Rad m 10,83827268 mm → 161,8250291 mm → 7,369646578 mRad → 57,35009338 mm → 96,89022415 mm → → 24,58486058 mRad → 25,87648426 mRad → -81,2078414 mm → 229,4860129 mm → 24,58486058 mm Por lo que ahora comparamos con los valores obtenidos en Cype para corroborar que ha sido realizado correctamente la comprobación: Debemos indicar, que al igual que en anterior apartado, hemos introducido los descensos y desplazamientos de los apoyos en una sobrecarga Q1.
Por lo que podemos observar que se han realizado correctamente los cálculos mediante el método matricial.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 A su vez, hemos realizado el cálculo de las reacciones en los apoyos obteniendo los siguientes resultados: -2,524956081 R3x -2,459649538 R3y -17,92547872 M3 2,524956081 R4x 2,459649538 R4y Observamos que las reacciones obtenidas coinciden de forma muy cercana con las obtenidas en el programa Cype: Por lo que nos disponemos a calcular los esfuerzos en extremo de barra, y a su vez, leyes y diagramas para cada una de las barras: Barra 1-3: Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 2.52 KN 35.38 KN.m 2.46 KN 2.46 KN 17.92 KN.m 2.52 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que después de realizar el único estado podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁04.88 = 2.52(𝐾𝑁) 𝑉04.88 = 2.46 (𝐾𝑁) 𝑀04.88 = 2.46 𝑥 𝑋 − 35.38 (𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 2.52 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 CORTANTES: 2.46 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 FLECTORES: 35.38 KN 17.92 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que podemos pasar a la siguiente barra para realizar los mismos estudios: Barra 1-2: Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 3.1 KN 6.41 KN.m 1.946 KN 1.946 KN 35.38 KN.m 3.1 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁014.62 = 3.1 (𝐾𝑁) 𝑉014.62 = −1.946 (𝐾𝑁) 𝑀014.62 = −1.946 𝑥 𝑋 + 35.38 (𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 3.1 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Cuyos valores máximos y mínimos son: CORTANTES: 1.946 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 6 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Con sus valores máximos y mínimos: FLECTORES: 6.41 KN.m 35.38 KN.m Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Como podemos observar los resultados obtenidos son completamente muy cercanos a los obtenidos en el programa Cype.
OBTENER LAS LEYES Y DIAGRAMAS DE LA FIGURA ACORDE A DOS INCREMENTOS DE TEMPERATURA EN LA BARRA S-T DE 30º Y 150ºC En primer lugar, debemos conocer qué tipo de esfuerzos somete el incremento de temperatura a la estructura, en nuestro caso, al contener una diferencia de temperaturas en las fibras extremas de la viga de la estructura, podemos saber que obtendremos dos tipos de esfuerzos: axil y cortante en dicha barra donde contenemos el incremento de temperatura.
El cálculo del valor de dichos esfuerzos lo realizaremos del siguiente modo: Axiles: (ΔTs+ΔTi)+ ΔTs (ΔTs+ΔTi)+ (ΔTs+ΔTi)- ΔTc (ΔTs+ΔTi)- Flectores: (ΔTs-ΔTi)+ (ΔTs-ΔTi)+ (ΔTs-ΔTi)- (ΔTs-ΔTi)- Estos esfuerzos que hemos generado se tratan de acciones que causan los incrementos de temperatura sobre la barra.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que nos disponemos a calcular el valor de dichos axiles y cortantes a partir de las siguientes expresiones: 𝑵=𝑬𝒙𝑨𝒙𝜶𝒙 𝜟𝑻𝒔 + 𝜟𝑻𝒊 𝟐 𝑴=𝑬𝒙𝑰𝒙𝜶𝒙 𝜟𝑻𝒔 − 𝜟𝑻𝒊 𝒉 Dónde: h-> se corresponde con la separación entre fibras.
𝑵 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙 𝟓𝟑𝟖𝟎 𝒙 𝟏. 𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟓 𝒙 𝟏𝟓𝟎 + 𝟑𝟎 = 𝟏𝟐𝟎𝟏. 𝟔𝟑 𝑲𝑵 𝟐 𝑴 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙 𝟖𝟑𝟔𝟎 𝒙 𝟏. 𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟓 𝒙 𝟏𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 = 𝟖𝟒. 𝟐𝟔 𝑲𝑵. 𝒎 𝟑𝟎𝟎 Por lo que observamos que en el programa Cype se han generado dichas acciones sobre la barra: Por lo que, con dichos valores de acciones, los incorporamos en las barras: Barra 2-5: En este caso solamente disponemos de un solo estado, extraído a partir de estudiar los esfuerzos en extremo de barra.
Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 1183.3 KN 84.26 KN.m 84.26 KN.m 212.07 KN 1183.3 KN 212.07 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 1-2: Acciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 84.26 KN.m 1183.3 KN 212.07 KN 1183.3 KN 84.26 KN.m 212.07 KN Las acciones en ambas barras son iguales, debido a que se encuentran sometidas a los mismos esfuerzos de incremento de temperatura y, a su vez, hemos supuesto un empotramiento en los extremos de cada una de las barras.
Por lo que después de todo esto, nos disponemos a calcular los desplazamientos generados en cada uno de los nudos, y a su vez, las reacciones producidas en la estructura: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 10 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 -1201,63 201491,11 100961,57 2901,57 -74856,46 -13456,67 -87,27 -213,30 109183,19 100961,57 3745,63 -13456,67 -2488,65 485,02 19193,45 87,27 -485,02 2401,64 -2988,84 84,26 2901,57 3745,63 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ∆1x 3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ∆1y -3260,61 7195,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ѳ1 317786,21 118389,70 1166,81 0,00 0,00 0,00 -43186,94 -69223,96 1700,69 -35709,07 199742,81 -621,15 ∆2x -2488,65 -485,02 118389,70 123134,02 1919,69 0,00 0,00 0,00 -69223,96 112940,13 -1047,50 -35709,07 -7705,24 3452,21 ∆2y 485,02 2401,64 1166,81 1919,69 27287,95 0,00 0,00 0,00 -1700,69 1047,50 4835,03 621,15 -3452,21 6407,30 Ѳ2 -2988,84 0,00 0,00 0,00 126634,65 114418,24 -2988,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 106694,54 114418,24 -3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -74856,46 -13456,67 0,00 -13456,67 0,00 -87,27 R3y 2988,84 87,27 0,00 R3x 114418,24 126634,65 114418,24 106694,54 114418,24 126634,65 = 114418,24 106694,54 0,00 X -3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -2988,84 -3260,61 14390,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 M3 2988,84 3260,61 7195,08 R4x 0,00 0,00 0,00 -43186,94 -69223,96 -1700,69 0,00 0,00 0,00 43186,94 69223,96 -1700,69 0,00 0,00 0,00 0,00 -69223,96 112940,13 1047,50 0,00 0,00 0,00 69223,96 112940,13 1047,50 0,00 0,00 0,00 0,00 -1047,50 4835,03 0,00 0,00 0,00 -1700,69 1047,50 9670,06 0,00 0,00 0,00 Ѳ4 621,15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 199742,81 35709,07 621,15 ∆5x R4y 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1201,63 0,00 0,00 0,00 -35709,07 199742,81 212,30 0,00 0,00 0,00 -35709,07 -7705,24 -3452,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 35709,07 7705,24 -3452,21 ∆5y -84,26 0,00 0,00 0,00 -621,15 3452,21 6407,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 621,15 -3452,21 12814,60 Ѳ5 1700,69 Por lo que ahora podemos reducir la matriz del sistema a una 10x10, eliminando las columnas y las filas referentes a los valores de 0, al igual que en el apartado 1.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 -1201,63 201491,11 100961,57 2901,57 -74856,46 -13456,67 -87,27 -213,30 109183,19 100961,57 3745,63 -13456,67 -2488,65 485,02 19193,45 87,27 -485,02 2401,64 -2988,84 84,26 2901,57 3745,63 114418,24 126634,65 114418,24 106694,54 2988,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ∆1x 3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ∆1y -3260,61 7195,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ѳ1 87,27 317786,21 118389,70 1166,81 0,00 0,00 0,00 -43186,94 -69223,96 1700,69 -35709,07 199742,81 -621,15 ∆2x -2488,65 -485,02 118389,70 123134,02 1919,69 0,00 0,00 0,00 -69223,96 112940,13 -1047,50 -35709,07 -7705,24 3452,21 ∆2y 485,02 2401,64 1166,81 1919,69 27287,95 0,00 0,00 0,00 -1700,69 1047,50 4835,03 621,15 -3452,21 6407,30 Ѳ2 -2988,84 0,00 0,00 0,00 126634,65 114418,24 -2988,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -3260,61 0,00 0,00 0,00 106694,54 114418,24 -3260,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -2988,84 -3260,61 14390,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -74856,46 -13456,67 0,00 -13456,67 0,00 -87,27 114418,24 126634,65 = 114418,24 106694,54 X 2988,84 3260,61 7195,08 0,00 0,00 0,00 -43186,94 -69223,96 -1700,69 0,00 0,00 0,00 43186,94 69223,96 -1700,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -69223,96 112940,13 1047,50 0,00 0,00 0,00 69223,96 112940,13 1047,50 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1700,69 -1047,50 4835,03 0,00 0,00 0,00 -1700,69 1047,50 9670,06 0,00 0,00 0,00 Ѳ4 1201,63 0,00 0,00 0,00 -35709,07 199742,81 621,15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 199742,81 35709,07 621,15 ∆5x 212,30 0,00 0,00 0,00 -35709,07 -7705,24 -3452,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 35709,07 7705,24 -3452,21 ∆5y -84,26 0,00 0,00 0,00 -621,15 3452,21 6407,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 621,15 -3452,21 12814,60 Ѳ5 Por lo que los desplazamientos en cada uno de los nudos son los siguientes: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES m 3.9003452693 mm ∆1y m -3.54185862 mm = Ѳ1 Rad 0,0051 = ∆2x m 5.123569926 mm -0,0032 = ∆2y m -3.29478411 mm -0,00022 = Ѳ2 Rad -0.22468592 mRad 0,0012 = Ѳ4 Rad 1.2817031671 mRad 0,0057 = ∆5x m 5.79421211 mm -0,0071 = ∆5y m -7.15144377 mm -0,00084 = Ѳ5 m -0.84971638 mm -0,0039 = ∆1x -0,0035 = 0,0017 CURSO 2016/2017 1.7501413034 mRad Y las reacciones obtenidas en la estructura las siguientes: -11,71077846 R3x -1,336678009 R3y -13,52379115 M3 11,71077846 R4x 1,336678009 R4y Observamos si tanto los desplazamientos como las reacciones de la estructura nos coinciden con los valores obtenidos en Cype: Y los desplazamientos de los nudos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 0 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que se cumple completamente y con valores muy cercanos a los obtenidos en Cype, por lo que podemos realizar la suma de los estados de acción y reacción de cada una de las barras y poder establecer las leyes y diagramas de las mismas.
Barra 1-3: Reacciones obtenidas anteriormente al estudiar las reacciones en los nudos, pero esta vez lo deberemos realizar en los ejes locales de la barra 6.31 KN 60.57 KN.m 5.94 KN 9.639 KN 5.94 KN 9.639 KN α =42.51º 13.48 KN.m 6.31 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁04.88 = −6.31 (𝐾𝑁) 𝑉04.88 = 9.639 (𝐾𝑁) 𝑀04.88 = 9.639 𝑥 𝑋 − 60.57(𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 6.31 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 2 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Cuyos valores máximos y mínimos son: CORTANTES: 9.639 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: FLECTORES: 60.37 KN 13.53 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Por lo que podemos pasar a la siguiente barra para realizar los mismos estudios: Barra 1-2: Reacciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 21.89 KN.m 0.12 KN 1213.21 KN 0.12 KN 23.56 KN.m 1213.21 KN DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Reacciones obtenidas anteriormente al estudiar las reacciones en los nudos, pero esta vez lo deberemos realizar en los ejes locales de la barra 1201.63 KN 84.26 KN.m 84.26 KN.m α = 10.02º 1201.63 KN Por lo que realizamos la suma de ambos estados, dando como resultado el siguiente: 11.58 KN 62.37 KN.m 0.12 KN 60.7 KN.m 11.58 KN α = 10.02º 0.12 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁014.62 = 11.58(𝐾𝑁) 𝑉014.62 = 0.12(𝐾𝑁) 𝑀014.62 = 0.12 𝑥 𝑋 + 60.7(𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 6 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 AXILES: 11.58 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: Cuyos valores máximos y mínimos son: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 CORTANTES: 0.12 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: Con sus valores máximos y mínimos: FLECTORES: 62.37 KN.m 60.7 KN.m DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: Barra 2-4: Reacciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 7.7 KN 62.37 KN.m 8.56 KN 7.7 KN 8.56 KN Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁07.269 = 7.7 (𝐾𝑁) 𝑉03.634 = −8.56 (𝐾𝑁) 𝑀03.634 = −8.56 𝑥 𝑋(𝐾𝑁. 𝑚) DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: AXILES: 7.7 KN Obteniendo un valor muy cercano a Cype, indicamos que Cype tiene su propio criterio de signos: Cuyos valores máximos y mínimos son: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 10 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 CORTANTES: 8.56 KN Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: Con sus valores máximos y mínimos: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 11 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES FLECTORES: CURSO 2016/2017 62.37 KN.m Obteniendo unos valores cercanos a los de Cype: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 12 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 Barra 2-5: Reacciones en las barras: (se realizan en el sistema de referencia local de la barra) 1201.63 KN 84.24 KN.m 84.24 KN.m 0.05 KN 1201.63 KN 0.05 KN Reacciones obtenidas anteriormente al estudiar las reacciones en los nudos, pero esta vez lo deberemos realizar en los ejes locales de la barra 1201.63 KN 84.26 KN.m 84.26 KN.m 1201.63 KN Suma de ambos estados otorgando las reacciones totales: Da lugar a un estado prácticamente en equilibrio y nulo de reacciones.
Por lo que después de realizar la suma de ambos estados podemos sacar las leyes de esta barra: 𝑁05.480 = 0(𝐾𝑁) 𝑉05.480 = 0 (𝐾𝑁) 𝑀05.480 = 0(𝐾𝑁. 𝑚) Obtenidas las leyes, nos disponemos a obtener los diagramas de dicha barra: DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 13 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES CURSO 2016/2017 AXILES, CORTANTES Y FLECTORES: Todos tienen un valor nulo, por lo que no hay leyes ni diagramas en esta barra.
Como se puede observar en Cype, obtenemos los mismos resultados.
DIEGO GONZÁLEZ POLO GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 14 ...

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