Lección 8 (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad de Girona (UdG)
Grado Criminología - 1º curso
Asignatura Introducción a la sociología
Año del apunte 2015
Páginas 10
Fecha de subida 12/03/2015
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

Conceptos elementales de la Teoría de Juegos INTRODUCCIÓN La teoría de juegos es una de las ramas de la teoría de la decisión. En concreto, se encarga del estudio de las decisiones en contextos estratégicos, es decir, contextos en los que la utilidad esperada depende de la propia decisión y de la decisión que tome(n) otro(s).
La teoría parte de dos supuestos: • En primer lugar, los individuos que interactúan tienen conocimiento de las reglas del juego, de las alternativas de acción disponibles y de las consecuencias de las mismas.
• En segundo lugar, los individuos escogerán racionalmente, es decir, de manera CONTENIDO que maximicen su utilidad.
Introducción .............................. 1 ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA Los elementos que se considera que forman parte de la decisión son los siguientes: • Un conjunto de estados del mundo (S) exhaustivos (no hay más estados posibles) y exclusivos (uno implica que no se den los demás).
• Un conjunto de acciones (A) • Un conjunto de consecuencias (C), habiendo una para cada par de S y A.
• Una ordenación de preferencias P sobre las consecuencias.
Con estos elementos, la situación de interacción estratégica se representa de varios modos. Aquí veremos sólo la forma de representación llamada “normal”. Los juegos en forma “normal” son aquellos en los que la decisión de cada agente se toma sin conocimiento de la decisión que ha tomado el otro. No hay, por tanto, una secuencia de decisiones en la que la decisión de uno sea conocida por el siguiente. A efectos prácticos, podemos pensar en los juegos en forma normal como juegos en los que la decisión de ambos es simultánea.
Elementos básicos de la teoría ................................. 1 Las matrices de pagos................ 2 Eliminación iterada de estrategias dominadas .......... 2 El equilibrio de Nash ................. 5 Cómo identificar un equilibrio .............................. 5 Equilibrio óptimos y subóptimos de Pareto ............... 7 Juegos típicos ............................ 8 LAS MATRICES DE PAGOS Los juegos en forma normal se representan mediante “matrices de pagos” como esta: Luís Pedro C D A 3,3 0,5 B 5,0 1,1 Aquí vemos que hay dos jugadores (Pedro y Luís). Cada jugador tiene un conjunto de acciones o estrategias posibles. Una estrategia es un plan de acción. En el caso de los juegos en forma normal, que se caracterizan por una única decisión del agente, hablamos de estrategia como equivalente a la decisión que toma el agente. Aquí, Pedro puede escoger entre A y B, y Luís ha de escoger entre C y D.
En este caso, hay cuatro estados del mundo posibles: (A,C), (A,D), (B,C) y (B,D). Los agentes tienen un orden de preferencias según el cual, cada uno de estos estados del mundo puede situarse en un ranking del más preferido al menos preferido. Los números representan esa preferencia (los números más altos suponen una mayor preferencia).
En la matriz, los “pagos” representan esa preferencia. En cada casilla, los pagos de la izquierda siempre corresponden a lo que obtendría el jugar de filas (Pedro) en ese estado del mundo, y los de la derecha, lo que obtendría el jugador de columna (Luís).
ELIMINACIÓN ITERADA DE ESTRATEGIAS DOMINANADAS Aunque la situación en la que se encuentran los agentes es una situación estratégica, en algunas ocasiones la estructura de los pagos conduce a un tipo de decisión paramétrica, pues en realidad no se tiene en cuenta qué es lo que se espera que haga el otro. Esto se produce cuando el jugador tiene razones suficientes como para preferir una estrategia en lugar de otra independientemente de lo que vaya a hacer el otro.
Luís Pedro C D A 3,3 0,5 B 5,0 1,1 Por ejemplo: Pedro ha de elegir entre la estrategia A y la B. Él no sabe si Luís escogerá C o D, pero en realidad, en este caso, puede tomar su decisión sin considerarlo. Vemos a continuación por qué: Si Luís escoge C, ¿cuál sería la estrategia que daría mejores pagos a Pedro? La estrategia B, porque con ella Pedro gana 5, y con la A sólo ganaría 3 (recuerda que los pagos de Pedro son los de la izquierda en cada casilla, y los de Luís los de la derecha).
Si Luís escoge D, ¿cuál sería la estrategia que daría mejores pagos a Pedro? La estrategia B, porque con ella Pedro gana 1, y con la A ganaría 0.
2 Un agente racional y autointeresado nunca escogerá una estrategia dominada. A efectos prácticos, por tanto, la fila o la columna de una estrategia dominada podría “borrarse” del juego. En la medida en que se asume que los agentes son racionales, pero también que esperan de los demás racionalidad, se supone que cada jugador sabe cuáles son sus estrategias dominantes, pero también cuáles son las estrategias dominantes de su oponente.
Al proceso mediante el cual se van eliminando del juego las estrategias dominadas lo llamamos eliminación iterada de estrategias dominadas (EIED en adelante).
Si observas la matriz, verás que Luís también tiene una estrategia dominante: D.
Una estrategia x domina a una estrategia y si: • Los pagos con x nunca son menores que los que se obtienen con y. Y, • Por lo menos en una ocasión el pago con x es mayor que el de y.
Cuando en el proceso de “borrado” de estrategias dominadas nos quedamos con una única casilla, podemos decir que esa es la solución del juego. La teoría de juegos considera que ese estado del mundo es el estado al que llegarán agentes racionales que tengan ese orden de preferencias. Establece, además, que ese es el estado del mundo al que deben llegar si quieren ser (individualmente) racionales.
Volviendo al ejemplo: si en el caso de Pedro, B dominaba a A, y en el caso de Luís, D dominaba a C, entonces es obvio que la solución del juego es (1,1), que son los pagos que se obtienen cuando Pedro escoge B y Luís escoge D.
Otro ejemplo: Luís Pedro D E F A 5,4 5,2 7,3 B 3,2 9,5 4,7 C 4,1 10 , 7 4,9 Podemos comenzar el proceso de EIED, por ejemplo, con Luís.
Luís se preguntará si D domina a E, si E domina a D, si D domina a F, si F domina a D, si D domina a F, y si F domina a D.
¿Domina D a E? Si Pedro escoge A, D da mejores resultados que E (un pago de 4 en lugar de uno de 2, recuerda que los pagos de Luís son los de la derecha). Sin embargo, si Pedro escoge B, D da peores resultados que E (un pago de 2 en lugar de uno de 5). Como en este punto ya se ha incumplido la definición de lo que es una estrategia dominante, no hace falta seguir comparando con lo que pasaría si Pedro escoge C, y ya podemos decir que D no domina a E. De hecho, este mismo razonamiento también señala que E no domina a D.
HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS Como ocurre con todas las teorías, el origen histórico de la Teoría de Juegos es difícil de determinar, pues existen antecedentes que se remontan incluso al sigo XVIII.
Sin embargo, suele considerase que el origen de la teoría tal como la conocemos hoy está en los trabajos de John Von Newman en los años 20 del siglo pasado, y en la posterior elaboración que Newman realizó junto con Oskar Morgenstern en el libro de 1944 Theory of Games and Economic Behavior. En los años 50, John F.
Nash realizó una de las aportaciones principales a la teoría de juegos: el concepto de equilibrio. Aunque en esta década ya comenzaron las aplicaciones en el terreno de la ciencia política, el salto de la teoría más allá de las matemáticas la economía se produjo sobre todo en los 70, cuando John Maynard Smith aplicó fructíferamente la teoría en el campo de la biología.
Actualmente, la teoría se emplea en prácticamente todas las ciencias de la vida y el comportamiento.
Desde su irrupción en las ciencias sociales, distintos autores han sido galardonados con un Premio Nobel por su contribución al desarrollo y aplicación de la teoría de juegos: En 1994 se concedió el Nobel de Economía a Selten, Harsanyi y Nash.
En 2005, se concedió a Schelling y Aumann.
En 2012, se concedió Shapley y Roth.
¿D domina a F? Si Pedro escoge A, D da mejores resultados que F (un pago de 4 en lugar de uno de 3). Sin embargo, si Pedro escoge B, D da peores resultados que F (un pago de 2 en lugar de uno de 7). D, por tanto, no domina a F. Este mismo razonamiento también señala que F no domina a D.
¿Domina E a F? No, porque si Pedro escoge A, E da peores resultados que F (un pago de 2 en lugar de uno de 3).
3 VARIANTES DE LA TEORÍA DE JUEGOS En esta introducción sólo estamos viendo los juegos en forma “normal” y de una única tirada.
Sin embargo, la Teoría de Juegos ha avanzado mucho en el análisis de realidades más complejas Por ejemplo, lo modelos secuenciales incorporar el hecho de que los agentes pueden decidir uno tras otro, con una información sobre las decisiones anteriores que puede ser completa o incompleta.
En estos casos, la lógica de la s i t u a c i ó n c a m b i a considerablemente, y el procedimiento para identificar los equilibrios es diferente al que se presenta aquí.
Otra de las variantes incorpora la posibilidad de que los agentes interactúen iteradamente, es decir, de manera repetida en el tiempo. También en este caso, los equilibrios posibles son distintos.
¿Domina F a E? La respuesta es que sí. Si Pedro escoge A, F da más pagos que E. Si Pedro escoge B, F da más pagos que E. Y si Pedro escoge C, F da más pagos que E. Es decir, escoja lo que escoja Pedro, Luís siempre habrá obtenido más pagos si ha elegido F.
Esto significa que podemos “borrar” la estrategia E del juego.
Entonces el juego queda así: Luís Pedro D F A 5,4 7,3 B 3,2 4,7 C 4,1 4,9 Pasemos a ver si Pedro tiene estrategias dominantes.
¿Domina A a B? Si Luís escoge D, Pedro obtienen más con A que con B (5, en lugar de 3).
Si Luís escoge F, Pedro obtiene más con A que con B (7, en lugar de 4). Por tanto, A domina a B. Esto supone que podemos “borrar” la estrategia B.
Entonces el juego queda así: Luís Pedro D F A 5,4 7,3 C 4,1 4,9 Y seguimos con Pedro, que aún no ha comparado todas sus estrategias.
¿Domina A a C? Si Luís escoge D, Pedro obtienen más con A que con C (5, en lugar de 4).
Si Luís escoge F, Pedro obtiene más con A que con B (7, en lugar de 4). Por tanto, A domina a C. Esto supone que podemos “borrar” la estrategia C.
Entonces el juego queda así: Luís Pedro A D F 5,4 7,3 Si Luís espera que Pedro sea racional, sabe que Pedro nunca escogerá ni B ni C. Además, Luís sabe que, si él mismo es racional, nunca escogerá E. Por tanto, Luís “sabe” que Pedro escogerá A, y él tan sólo tiene que comparar los pagos que obtendría con D y con F. Como puedes ver, Luís obtiene más con D que con F (4, en lugar de 3). Así, por tanto, podría borrarse de esta matriz la estrategia F, y el resultado del juego sería (5,4): Pedro escogerá A y Luís escogerá D.
4 LA IMPORTANCIA DE LA COMUNICACIÓN EL EQUILIBRIO DE NASH Mediante el procedimiento de EIED no siempre ocurre que hallemos una solución al juego. Es decir, no siempre podemos ir borrando hasta quedarnos con una única casilla (compruébalo, por ejemplo, tratando de aplicar la EIED a un dilema del gallina).
Así, un equilibrio de Nash es una combinación de estrategias en la que cada estrategia es la mejor respuesta a la otra.
¿Cómo podemos entonces esperar que se resuelvan estos juegos? Una respuesta la dio el matemático John Nash.
El concepto de equilibrio de Nash se basa, a su vez, en el concepto de “best reply” o “mejor respuesta”. Una mejor respuesta se define como aquella estrategia que proporciona resultados mejores que todas las demás estrategias posibles frente a una estrategia dada del rival.
John F. Nash. Premio Nobel de Economía CÓMO IDENTIFICAR UN EQUILIBRIO Veamos un ejemplo: Luís Pedro C D A 3,3 1,5 B 5,1 0,0 Como puedes ver, no existen estrategias dominantes, de modo que no podemos hallar una solución mediante la EIED.
En un caso así, la teoría de juegos afirma que los jugadores acabarán en algún equilibrio.
Un modo fácil de determinar qué es un equilibrio consiste en ir marcando las mejores respuestas de cada estrategia en relación cada una de las estrategias del rival.
Pedro pensará: “si Luís escoge C, lo mejor que puedo hacer (mi mejor respuesta) sería B (porque con B se obtienen 5 y con A, 3)”. B, por tanto, es el “best reply” a C. Lo marcamos.
Luís Pedro C D A 3,3 1,5 B 5,1 0,0 En los “juegos en forma normal” que estamos presentando, los agentes que interactúan no pueden comunicarse. Deciden sin saber qué decisión ha tomado o tomará su oponente, y sólo disponen del supuesto de que su oponente actuará racionalmente.
Pero, ¿cambiaría la situación si se permitiera la comunicación entre agentes? La respuesta es que depende de la situación de interacción en que se encuentre.
Piensa, por ejemplo, en un Dilema del Prisionero. La posibilidad de comunicación no altera la situación, pues en ausencia de un mecanismo para vigilar la aplicación de los acuerdos, una vez acordado un pacto de cooperación, los dos agentes siguen tentados por la no cooperación. La predicción teórica es que, aunque los agentes se comuniquen y pacten cooperar, su estrategia dominante seguirá siendo la no cooperación, por lo que no c ooperarán. Sin em bargo, distintos estudios experimentales han mostrado que la frecuencia de la cooperación mutua sí se incrementa cuando se hace posible la comunicación entre los participantes. Evidentemente, y a pesar de lo que sostiene la teoría, los agentes no siempre emprenden la estrategia que maximiza su utilidad.
Otros juegos tienen una estructura tal que la comunicación permitiría alcanzar equilibrios óptimos. Por ejemplo, el juego del seguro. En este tipo de interacciones, ninguno de los agentes tendría interés en romper la promesa de cooperación, por lo que un pacto verbal parece suficiente como para asegurar que los agentes evitan el equilibrio subóptimo y se coordinan en el óptimo.
5 TEORÍA DE JUEGOS Y ACCIÓN COLECTIVA En el campo de las ciencias sociales, una de las aplicaciones fundamentales de la Teoría de Juegos está en el estudio de la acción colectiva. En Sociología, se entiende por acción colectiva aquella sumatoria de acciones individuales orientadas a una finalidad común que es inalcanzable individualmente. La decisión de participar en una acción colectiva como una manifestación, una huelga, una recaudación de fondos para la Después Pedro pensará: “si Luís escoge D, lo mejor que puedo hacer (mi mejor respuesta) es A (porque con A obtengo 1, y con B obtendría 0)”. A, por tanto, es el “best reply” de D.
Lo marcamos.
Luís Pedro C D A 3,3 1,5 B 5,1 0,0 Por su parte, Luís pensará “si Pedro escoge A, lo mejor que puedo hacer es escoger D (porque D me supone 5, y C sólo 3)”. D, por tanto, es el “best reply” a A. Lo marcamos.
resistencia, etc. es generalmente estratégica: depende de nuestras expectativas respecto de la participación de los demás.
Si la estructura de la interacción es equivalente a un Dilema del Prisionero, la predicción de la teoría es que la acción colectiva fracasará. En este juego, la estrategia dominante es la no cooperación. Si la expectativa del individuo es que pocos participen, decidirá no participar porque su presencia no evitará el fracaso de la acción colectiva. Si su expectativa es que participen muchos, también decidirá no participar porque su presencia es innecesaria. Éste es el conocido problema del free-rider: todos los individuos prefieren que sean los demás quienes asuman el coste de la participación.
Luís Pedro C D A 3,3 1,5 B 5,1 0,0 Y luego pensará: “si Pedro escoge B, lo mejor que puedo hacer es escoger C (porque C supone 1, y D supondría 0)”. C es el “best reply” a B. Lo marcamos.
Luís Pedro C D A 3,3 1,5 B 5,1 0,0 Siempre que en una casilla estén los dos pagos marcados, eso es un equilibrio de Nash.
Aquí, por tanto, hay dos equilibrios: (5,1) y (1,5).
Si este mismo ejercicio lo hacemos con un dilema del prisionero, podemos comprobar que no siempre que una estrategia es “best reply” de otra, esta otra lo es de la primera: Si marcamos en un dilema del prisionero las estrategias que son “best reply” vemos lo siguiente: Luís Pedro C D A 3,3 0,5 B 5,0 1,1 Sólo (1,1) es un equilibrio de Nash.
B, por ejemplo, es el “best reply” de C, pero C no es el “best reply” de B. Por eso (5,0) no es un equilibrio.
Un equilibrio es una situación tal que ningún agente tienen ningún motivo por el que desviarse unilateralmente de la estrategia que ha escogido. Es decir, estando en un equilibrio, nadie tiene razones para cambiar de estrategia..
6 Si, en el último ejemplo, Pedro y Luís están en (1,1), Pedro no tendría interés en cambiar de B a A, porque supondría pasar a ganar 0 en lugar de 1. Y Luís no tendría interés en pasar de D a C, porque supondría pasar a ganar 0 en lugar de 1.
Un principio que siempre se cumple es el siguiente: un equilibrio de Nash siempre “sobrevivirá” a la EIED, lo que no significa que todas las combinaciones de estrategias que sobrevivan sean un equilibrio de Nash. Dicho de otro modo, borrando filas y columnas de estrategias dominadas nunca borraríamos un equilibrio de Nash. Por tanto, si un juego tiene solución a través de la EIED, podemos estar seguros de que esa combinación de estrategias era el único equilibrio de Nash del juego.
NASH EN HOLLWOOD La vida del matemático John F.
Nash fue llevada al cine en la película “Una mente maravillosa”.
Curiosamente, la película contiene un gazapo importante. La escena que representa cómo se le ocurrió a Nash su concepto de equilibrio identifica como equilibrio un escenario que no lo es.
Puedes ver la escena aquí: http://www.youtube.com/watch? v=McCfESmKHI0 La viñeta de la izquierda te ayudará a ver por qué la solución que se le ocurre a Nash en la película no es un equilibrio.
EQUILIBRIOS ÓPTIMOS Y SUBÓPTIMOS DE PARETO Un óptimo de Pareto es un estado del mundo (una combinación de estrategias) tal que no existe la posibilidad de mejorar los pagos de al menos un jugador sin perjudicar los de otro.
En Teoría de Juegos se habla de equilibrios que son óptimos o subóptimos (en el sentido paretiano). Un equilibrio es un óptimo de Pareto si no existe ningún otro escenario (ninguna “casilla” de la matriz de pagos) al que pudiera pasarse para mejorar los pagos de algún jugador sin perjudicar los de otro jugador. Y al contrario, un equilibrio es subóptimo si existe otro escenario en el que los pagos de uno o más jugadores son superiores y ninguno es inferior.
Por ejemplo, en el Dilema del Prisionero: Luís Pedro C D A 3,3 0,5 B 5,0 1,1 Vemos que el equilibrio (1,1) es subóptimo, pues existe otro escenario (3,3) al que podría “pasarse” mejorando los pagos de algunos (en este caso, de los dos jugadores) sin perjudicar los pagos de ninguno.
Aquí, por tanto, la racionalidad individual conduce a un resultado subóptimo.
Sin embargo, en el Juego del Privilegio: Luís Pedro C D A 4,4 2,3 B 3,2 1,1 Vemos que el equilibrio (4,4) es un óptimo de Pareto porque no pueden mejorarse los pagos de ningún jugador sin perjudicar los de otro (de hecho, en este caso, ningún pago puede ser mejorado).
Podemos hablar también de “dominanción paretiana” al comparar dos estados del mundo (dos casillas). Así, por ejemplo, en el Dilema del Prisionero, aunque el equilibrio es subóptimo, pareto-domina a la casilla B-D (0,5), porque si pasáramos del equilibrio a esa casilla Luís saldría ganando (pasaría de 1 a 5) pero a costa de que Pedro perdiera (pasaría de 1 a 0). Igualmente, el equilibrio “pareto-domina” a la casilla B-C.
7 JAMES DEAN Y EL DILEMA DEL GALLINA Uno de os juegos típicos es el conocido como “dilema del gallina”. El origen de este nombre está en la película Rebelde sin causa, de Nicolas Ray y protagonizada por James Dean.
En una escena de la película, Dean y su contrincante se retan a un juego. Ambos conducirán en dirección a un acantilado y el primero que gire el volante será el “gallina” que pierda la competición. Como puedes comprobar, el escenario preferido para Dean es aquel en el que el contrincante da el volantazo antes que él, pero esperar a ese momento le sitúa ante el riesgo de que ninguno lo haga y ambos caigan al acantilado.
JUEGOS TÍPICOS La estructura de algunos juegos es recurrente: aparece en situaciones muy diversas de la vida social. Estas estructuras han ido ganándose un nombre a lo largo del tiempo, de manera que los investigadores que emplean la Teoría de Juegos suelen referirse a determinadas situaciones sociales por el nombre del modelo que las representa. Así, una situación x “es un Dilema del prisionero”, o una situación y es un “juego del seguro”.
En estos juegos, las preferencias de los dos agentes son idénticas, y por tanto el juego es simétrico. Se entiende que las estrategias disponibles son “cooperar” (emprender una acción costosa) y “no cooperar” (abstenerse de emprender la acción costosa).
A continuación podrás ver algunos de esos juegos típicos y su estructura.
EL DILEMA DEL PRISIONERO Como morir es el escenario menos deseado, alguno escogerá in extremis ser un gallina antes que morir. La cuestión es quién lo hará. La teoría señala dos equilibrios (o bien Dean es el gallina, o bien lo será su contrincante) pero no puede ayudarnos en determinar cuál de los dos se producirá.
El Dilema del Prisionero tiene la siguiente forma: Como puede apreciarse en la ilustración que sigue, otra variante del juego se realiza con los dos coches circulando en sentido opuesto en una misma trayectoria.
U(NC,C) > U(C,C) > U(N,N) > U(C,NC) Cooperar No cooperar Cooperar 3,3 1,4 No cooperar 4,1 2,2 Como puedes ver, el orden de preferencias de los dos jugadores es: Siendo U(NC,C) la utilidad obtenida por el agente cuando él no coopera y el otro sí; U(C,C) la utilidad obtenida cuando ambos cooperan; U(N,N) la utilidad obtenida cuando ninguno coopera; U(C,NC) la utilidad obtenida por el agente cuando él coopera y el otro no.
El nombre del juego no debe confundiros. Esta situación estratégica no tiene nada que ver con presos ni declaraciones ante la policía (aunque ese sea el origen del nombre del juego—ver XXXXX-). En realidad, cualquier situación de interacción en la que los agentes tengan un orden de preferencias U(NC,C) > U(C,C) > U(N,N) > U(C,NC) es un Dilema del Prisionero.
El Dilema del Prisionero tiene una solución obtenida mediante EIED (y, por tanto, un equilibrio de Nash): (N,N), es decir, ninguno de los dos cooperará.
El Dilema del Prisionero es la típica situación en la que la racionalidad individual conduce a una irracionalidad colectiva, pues como puedes ver, el equilibrio de Nash es un subóptimo de Pareto: ambos preferirían estar en el escenario de la cooperación mutua, pero la racionalidad les conduce a un resultado peor.
8 DILEMA DEL GALLINA El Dilema del Gallina tiene la siguiente forma: Cooperar No cooperar Cooperar 3,3 2,4 No cooperar 4,2 1,1 Como puedes ver, el orden de preferencias de los dos jugadores es: U(NC,C) > U(C,C) > U(C,NC) > U(NC,NC) El Dilema del Gallina no tiene solución obtenida mediante EIED, pero sí dos equilibrios de Nash: (NC,C) y (C,NC). Ambos son óptimos de Pareto. Es decir, la teoría predice que alguno de los agentes cooperará, pero es incapaz de prever cuál de los dos lo hará.
JUEGO DEL SEGURO El Juego del Seguro tiene la siguiente forma: Como puedes ver, el orden de preferencias de los dos jugadores es: Cooperar No cooperar Cooperar 4,4 1,3 No cooperar 3,1 2,2 U(C,C) > U(NC,C) > U(NC,NC) > U(C,NC) El Juego del Seguro no tiene solución obtenida mediante EIED, pero sí dos equilibrios de Nash: (C,C) y (N,N). Sin embargo, (C,C) es óptimo de Pareto , de manera que la predicción es que los agentes deberían ser capaces de coordinarse en el equilibrio óptimo.
JUEGO DEL PRIVILEGIO El Juego del Privilegio tiene la siguiente forma: Cooperar No cooperar Cooperar 4,4 2,3 No cooperar 3,2 1,1 Como puedes ver, el orden de preferencias de los dos jugadores es: U(C,C) > U(NC,C) > U(C,NC) > U(NC,NC) El Juego del Privilegio tiene solución obtenida mediante EIED, (y, por tanto, un equilibrio de Nash): (C,C) Además, el equilibrio es un equilibrio óptimo de Pareto.
9 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Francisco José León Medina Despacho 223 Unidad de Sociología—Departamento de Empresa Facultad de ciencias Económicas Universitat de Girona Correo electrónico: francisco.leon@udg.edu • Aguado Franco, J. C. (2007): Teoría de la decisión y de los juegos. Delta publicaciones, Madrid, 2007.
• Binmore, K. (2007): La teoría de juegos. Una breve introducción. Alianza Textos.
Economía.
• Carmichael, F. (2005): A guide to game theory. Pearson Education.
• Davis, M. D. (1997): Introducción a la teoría de juegos. Alianza Editorial, Madrid.
• Dixit, A. y Nalebuff, B. (2008): El arte de la estrategia. Antoni Bosh Editor, 2010.
• Gardner, R. (1994): Juegos para empresarios y economistas. Antoni Bosh Editor, 1996.
• Gibbons, R. (1992): Un primer curso de teoría de juegos. Antoni Bosch Editor, 1997.
• Osborne, M. J. (2003): An Introduction to Game Theory. Oxford University Press.
• Sánchez-Cuenca, I. (2004): Teoría de juegos. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas.
...