Tema 1. Cinemática. (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Fonaments de Mecànica
Año del apunte 2014
Páginas 31
Fecha de subida 09/10/2014
Descargas 22
Subido por

Descripción

Teoría -con algunos ejemplos- de cinemática, perteneciente al bloque de física clásica.

Vista previa del texto

1 Cinemática 3 3 4 1.1 Magnitudes físicas 1.1.1 Magnitudes fundamentales y derivadas. Unidades 1.1.2 Análisis dimensional 1.2 Vectores 1.2.1 Magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales 1.2.2 Operaciones con vectores 1.2.3 Operaciones con componentes 1.2.4 Momento de un vector respecto a un punto y a un eje 1.2.5 Derivada e integral de una función vectorial 5 5 8 11 14 15 1.3 Cinemática en tres dimensiones 1.3.1 Vectores posición, velocidad y aceleración 1.3.2 Componentes radial y tangencial de la aceleración 1.3.3 Método de cálculo de la velocidad y aceleración 17 17 18 19 1.4 Movimientos en tres dimensiones 1.4.1 Integración de la ecuación del movimiento 1.4.2 Movimiento rectilíneo uniforme 1.4.3 Movimiento rectilíneo acelerado 1.4.4 Composición de movimientos. Tiro parabólico 20 20 21 21 22 1.5 Movimiento circular 1.5.1 Movimiento circular uniforme 1.5.2 Movimiento circular acelerado 23 23 24 1.6 Sistemas de referencia en movimiento relativo 1.6.1 Movimiento de traslación relativa: transformaciones galileanas 1.6.2 Movimiento de rotación relativa 1.6.3 Movimiento relativo respecto de la Tierra 26 26 28 29 1 2 1.1 Magnitudes físicas 1.1.1 Magnitudes fundamentales y derivadas. Unidades Las leyes de la física expresan relaciones entre magnitudes físicas, que son el conjunto de cantidades que determinan el estado de un sistema. Ejemplo de magnitudes físicas son: la longitud, el tiempo, la fuerza, la energía, la temperatura, la presión, etc.
La medida o la determinación del valor de una cierta magnitud física implica la comparación de ésta con un cierto valor de referencia que llamaremos unidad. Cuando se realiza una medición, hay que tener mucho cuidado en producir la mínima perturbación sobre el sistema que es objeto de la medida. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un objeto, lo ponemos en contacto con un termómetro y como consecuencia, se produce una transferencia de calor que modifica levemente la temperatura del objeto y, por lo tanto, afecta al valor de la magnitud que queremos determinar. Además, todas las mediciones llevan inherentes un error experimental debido a las imperfecciones del equipo y/o el proceso de medida.
El resultado experimental de una medida se expresa como una cantidad seguida de su error y las unidades utilizadas.
xm = x0 ± ε x0 unidades .
Una magnitud física expresada sin unidades no tiene ningún sentido físico. El error en la determinación de la magnitud no debe tener más cifras significativas que la propia medida x0 .
Aunque el sistema MKS está internacionalmente reconocido como el sistema de unidades estándar, existen otros sistemas de unidades, como por ejemplo: CGS → (cm g s uec) sistema cegesimal técnico → (m kp s) Antes de poder determinar el valor de una magnitud física debemos conocer la unidad en la que expresaremos el resultado. Existen magnitudes y unidades, fundamentales y derivadas. Con pocas excepciones, todas las magnitudes físicas pueden expresarse en función de un conjunto reducido de cantidades fundamentales, que en el sistema de unidades MKS son: • Magnitudes fundamentales con el símbolo correspondiente a la dimensión longitud – concepto primario (L) masa – 2ª ley de Newton (M) tiempo – concepto primario (T) corriente eléctrica – ley de Biot y Savart (I) temperatura termodinámica – ( ⊙ ) cantidad de substancia – (N) intensidad luminosa – (J) Las unidades de estas magnitudes o cantidades fundamentales son: • Unidades (MKS) L : metro (m) → distancia recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 s M : kilogramo (kg) → 5.0188 × 1025 átomos de 12C T : segundo (s) → 9,192,631,770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del 133Cs 3 I : Amperio (A) → Corriente que mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita y sección despreciable, se ejercen entre sí una fuerza de 2 × 10−7 N por metro de longitud.
⊙ : kelvin (K) → 1/273.16 de la temperatura termodinámica correspondiente al punto triple del agua.
N : mol (mol) → cantidad de substancia de un sistema que contiene tantas unidades elementales como átomos hay en 0.012 kg de carbono 12.
J : candela → intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 × 1012 Hz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 W por estero-radián.
Las unidades del resto de magnitudes (derivadas) pueden definirse a partir de las magnitudes fundamentales. Por ejemplo, F = ma → [ F ] = [ ma ] = MLT -2 ≡ Newton θ= s r → W = F ⋅r [θ ] =  s L = = M 0 L0T 0 ≡ radián  r   L  → F r [W ] = [ Fr ] = ML2T -2 ≡ Joule Un conjunto de magnitudes fundamentales independientes, definidas mediante patrones apropiados, juntamente con las definiciones adecuadas de todas las magnitudes derivadas, constituye un sistema de unidades.
1.1.2 Análisis dimensional Toda ecuación que relacione magnitudes físicas debe ser dimensionalmente homogénea.
Ejemplo: Ley de la gravitación mm' .
r2 De esta igualdad es inmediato que el segundo miembro debe tener unidades de fuerza, por lo tanto  mm' -2 G r 2  = [ F ] = MLT .
De esta ecuación se puede despejar la expresión dimensional de G MLT -2 2 [G ] = 2 L = M -1T -2 L3 .
M F = −G Los escalares sin dimensiones deben ser independientes del sistema de unidades utilizado. Por ejemplo, los argumentos de exponenciales, funciones trigonométricas, y logarítmicas no deben tener unidades.
La aplicación de una teoría física a la interpretación de un proceso determinado debe, por lo tanto, conducir a poder establecer relaciones entre las magnitudes físicas que sean dimensionalmente homogéneas. En muchos casos, un simple análisis dimensional permite obtener una aproximación fenomenológica de la expresión buscada, salvo factores numéricos que sólo podremos conocer después de aplicar de forma detallada la teoría considerada. En realidad, mediante este procedimiento 4 podemos obtener una estimación del orden de magnitud de una determinada magnitud física. Cuando se realiza un cálculo en órdenes de magnitud se toleran errores menores o iguales que diez veces el valor buscado.
Ejemplo: Periodo de oscilación P de un péndulo simple de masa m , longitud l , sometido a la aceleración de la gravedad. Después de realizar una serie de medidas experimentales, constatamos que P sólo depende de l y el valor de g . Con estas dos magnitudes podemos construir una expresión sencilla con dimensiones de tiempo, como corresponde al periodo del péndulo. Para ello, escribiremos la siguiente igualdad dimensional: 1 [ P ] = T = l a g b  = La LbT-2b → − 2b = 1 → b = − 12 2 → P ∝ (l g ) .
1 a+b=0→a = 2 Una aplicación detallada de la Mecánica Clásica nos indica que la constante de proporcionalidad vale 2π .
Ejemplo: Tamaño de un átomo de carbono. El peso atómico del carbono es AC = 12 g/mol , por lo tanto, ésa es la masa de N A = 6.023 × 1023 átomos de carbono. Teniendo en cuenta, además, que la densidad del grafito es aproximadamente de ρ = 2 g/cm3 , podemos suponer que el orden de magnitud del tamaño de un átomo viene dado por la siguiente funcionalidad: β γ 1 1 1 d ≃ N αA Aβ ρ γ → L = N −α ( MN −1 ) ( ML-3 ) → γ = − ; β = −γ = ; α = − β = − 3 3 3 1/3 1/3  A   12 × 10−3  d ≃ ≃ 2 × 10 −10 m = 0.2 nm  = 23 3   6 × 10 2 × 10   N Aρ  Esta expresión es fácil de interpretar si tenemos en cuenta que A N A = mC es la masa de un átomo de carbono. Por lo tanto, mC ρ = VC es el volumen ocupado por un átomo de carbono. Si suponemos que el sólido está formado por empaquetamiento compacto de esferas rígidas, el orden de magnitud del tamaño de una de estas esferas será del orden de la raíz cúbica de VC .
1.2 Vectores 1.2.1 Magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales Los escalares son magnitudes físicas que quedan totalmente determinados por su valor numérico expresado en unidades apropiadas. Ejemplos de magnitudes escalares son: volumen, temperatura, tiempo, masa, carga, energía, etc. Otras magnitudes requieren para su definición completa que se añada una dirección, indicada por un eje, al valor numérico. Dichas magnitudes son vectoriales en lugar de escalares. Ejemplos de magnitudes vectoriales son: desplazamiento, vector posición, velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, etc.
Para definir una magnitud vectorial se utiliza una línea recta que define una dirección en el espacio. Líneas paralelas a ésta definen la misma dirección. Sobre dicha recta podemos movernos en dos sentidos. Se fija arbitrariamente uno de los sentidos 5 como positivo y el opuesto como negativo. Bajo estas condiciones, diremos que la línea está orientada y la llamaremos eje. Sobre el eje que representa la dirección de una magnitud vectorial se indica el sentido positivo mediante una flecha, cuya longitud es igual al valor numérico de la magnitud. Resumiendo todo esto, diremos que una magnitud vectorial está definida a través de los siguientes elementos matemáticos: • Definición de vector - módulo o longitud (a) - dirección (la señalada por la recta soporte O-A) - sentido (O → A) - punto de aplicación (O) Los vectores se designan como a y se representan por un segmento orientado (ver Fig. 1.1). El módulo del vector se representa por a o bien a . Diremos que un vector a es unitario si a = 1 . Los vectores unitarios se representan por aˆ .
a A a O Figura 1.1 Definición de vector.
Tipos de vectores: I. Vectores libres: se definen a partir de su módulo, dirección y sentido (3 elementos). Ej.: presión, intensidad… II. Vectores deslizantes: se definen a partir de su módulo, dirección, sentido, recta soporte (5 elementos). Ej.: fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido.
III. Vectores localizados: se definen a partir de su módulo, dirección, sentido, recta soporte y punto de aplicación (6 elementos). Ej.: velocidad lineal.
Los vectores se pueden describir de diferentes formas: I. Gráfica (tal como se representan en la Figura 1.1) II. Coordenadas cartesianas ≡ tres ejes métricos perpendiculares, con origen y segmentos positivos y negativos definidos. Todos los vectores se representan con punto de aplicación en el origen y extremo en el punto de coordenadas ( x, y , z ) .
III. Coordenadas esféricas ≡ módulo del radio vector r , ángulo θ entre el radio vector r y el eje z , y ángulo ϕ entre la proyección de r sobre el plano xy y el eje x . Todos los vectores se representan con punto de aplicación en el origen y extremo en el punto señalado por la terna de valores ( r ,θ ,ϕ ) .
6 IV. Coordenadas cilíndricas ≡ radio polar ρ , ángulo ϕ entre el radio polar y el eje x , y coordenada z . Todos los vectores se representan con punto de aplicación en el origen y extremo en el punto señalado por la terna de valores ( ρ , ϕ , z ) .
Z z θ ϕ r ρ Y X Figura 1.2 Sistemas de coordenadas.
Normalmente, se utilizan las coordenadas cartesianas para definir los vectores.
Existen relaciones matemáticas sencillas entre las coordenadas en los tres sistemas de referencia: ρ 2 = x2 + y 2 r2 = ρ 2 + z2 = x2 + y2 + z2 x = ρ cos ϕ x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Además de las magnitudes vectoriales, también existen otras magnitudes físicas que requieren un cierto número de escalares para su completa determinación. Estas magnitudes se denominan tensores y habitualmente corresponden a representaciones matriciales de una función lineal que se aplica sobre un espacio vectorial. Entre las magnitudes tensoriales, tenemos el tensor de esfuerzos, el tensor de momentos de inercia de un sólido rígido y la constante dieléctrica en medios materiales anisótropos.
Como ejemplo de ley física donde aparece una magnitud tensorial, tenemos la ley de Ohm en medios conductores anisótropos, que establece una relación entre el vector campo eléctrico ε y el vector densidad de corriente J : J = σɶ ε  J x   σ xx σ xy σ xz   ε x    →  J y  =  σ yx σ yy σ yz   ε y  .
 J  σ    z   zx σ zy σ zz   ε z  7 1.2.2 Operaciones con vectores • Suma de dos vectores A y B . Definición gráfica: B Regla del paralelepípedo: el origen de B se desplaza al extremo de A y se traza la diagonal del paralelogramo que se forma.
A A+ B Figura 1.3. Suma gráfica de dos vectores B • Producto de un escalar por un vector. Si λ ∈ ℝ , entonces λ A es un nuevo vector de la misma dirección que A y módulo λ A . El sentido coincide con el de A si λ > 0 y contrario a éste si λ < 0 .
Observaciones: Dado A , existe un único vector − A tal que A + − A = 0 (vector nulo), al que ( ) llamaremos opuesto de A o vector recíproco.
opuesto de A ≡ − A Podemos definir la operación diferencia de vectores como: A − B = A + − B = A + ( −1) ⋅ B , ( ) lo cual gráficamente equivale a la siguiente construcción: −B A− B A− B A A+ B −B B Figura 1.4. Diferencia de vectores: regla del paralelogramo • Propiedades de las operaciones con vectores: El conjunto de vectores constituye un grupo abeliano respecto de la operación suma.
v1 + v2 es un vector (+ es una operación interna) v1 + ( v2 + v3 ) = ( v1 + v2 ) + v3 (prop. asociativa) v1 + 0 = v1 (elemento neutro) v1 + ( − v1 ) = 0 (elemento recíproco u opuesto) v1 + v2 = v2 + v1 (conmutativa) 8 Además, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares ( ℝ ) .
λ ( µ v ) = ( λµ ) v ; λ ∈ ℝ ( prop. asociativa ) λ ( u + v ) = λu + λv λ , µ ∈ ℝ (prop. distributivas) ( λ + µ ) v = λ v + µv 1v = v • ; 0v =0 Producto escalar de dos vectores A y B : Es un escalar definido por: A ⋅ B = AB cos θ B θ o A b Figura 1.5. Definición gráfica del producto escalar El producto escalar equivale al producto del módulo de uno de los vectores por ( ) la proyección del otro ob sobre el primero.
A ⋅ B = A ( B cos θ ) = Aob .
• Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa → A ⋅ B = B ⋅ A 2. Distributiva → A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C . Comprobación gráfica en 2D: ( ) ( B o ( ) = Aob + Abc B+C A ) A ⋅ B + C = Aoc = A ob + bc C = A⋅ B + A⋅C c b Figura 1.6. Demostración gráfica en 2D de la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma de vectores.
3. Ortogonalidad entre vectores → A ⋅ B = 0 ⇒ A = 0 ó B = 0 ó A ⊥ B . El producto escalar de dos vectores no nulos es igual a cero.
4. λ A ⋅ B = A ⋅ λ B = λ A ⋅ B ( ) • ( ) ( ) Producto vectorial de dos vectores A y B : es un tercer vector de módulo A × B = AB sin θ , 9 y dirección perpendicular al plano determinado por A y B , y sentido el correspondiente al avance de un tornillo que gire de A a B siguiendo el camino angular más corto (regla de la mano derecha: ver Figura 1.7).
A× B B θ A Figura 1.7. Definición gráfica del producto vectorial En realidad, A × B es igual al producto de A por la proyección de B sobre la dirección perpendicular a A ( h ) .
Figura 1.8. El módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo determinado por los dos vectores.
B h θ A • Propiedades del producto vectorial 1. A × B = − B × A (propiedad anticonmutativa) ( ( ) ) 2. A × B + C = A × B + A × C (propiedad distributiva respecto a la suma) ( ) A × B + C = Aoα = Aoβ − A βα β = A× B − A×C C α = A× B + A×C B B+C o Figura 1.9. Comprobación gráfica de la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma de vectores.
A 3. A × B = 0 → A = 0 ó B = 0 ó A B .
4. El producto de un escalar por un vector y el producto vectorial son bilineales λ A + µ B × ν C + η D = λµ A × C + λη A × D + µν B × C + µη B × D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1.2.3 Operaciones con componentes Vamos a definir las componentes de un vector r a partir de los vectores unitarios ˆi , ˆj , kˆ que están dirigidos según cada uno de los ejes cartesianos de coordenadas.
Z z r ⋅ iˆ = r cos α = x r ⋅ ˆj = r cos β = y r ⋅ kˆ = r cos γ = z γ iˆ los ejes de coordenadas.
β α ˆ k x α , β , γ ≡ ángulos formados por r con r y ˆj Figura 1.10. Definición de los ejes de coordenadas cartesianos.
Y X Notación de un vector en función de sus componentes: r ≡ ( x, y , z ) = r ( cos α ,cos β , cos γ ) ≡ x iˆ + y ˆj + z kˆ , donde cos α ,cos β , cos γ son los cosenos directores del vector r . Los cosenos directores de un vector r cumplen las siguientes propiedades: r ( cos α , cos β ,cos γ ) = = rˆ r 2 2 2 cos α + cos β + cos γ = 1 Las operaciones entre vectores también pueden definirse a partir de sus componentes.
• Suma de vectores A + B = ( Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) ( A + B ) = ( A + B ) ⋅ iˆ = A ⋅ iˆ + B ⋅ iˆ = A x x • + Bx Producto de un escalar por un vector λ A = ( λ Ax , λ Ay , λ Az ) ( λ A) = ( λ A) ⋅ iˆ = λ ( A ⋅ iˆ ) = λ A x x • Producto escalar de dos vectores A ⋅ B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz Observar que: ( iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1 iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 0 )( ) A ⋅ B = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ ⋅ Bx iˆ + By ˆj + Bz kˆ = Ax Bx + Ay B y + Az Bz , de acuerdo con las expresiones para los productos escalares de iˆ, ˆj , kˆ.
11 • Producto vectorial ˆj kˆ iˆ A × B = Ax Bx Az = ( Ay Bz − Az B y ) iˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆj + ( Ax B y − Ay Bx ) kˆ Bz Ay By Observar que: ( iˆ × ˆj = kˆ , kˆ × iˆ = ˆj , ˆj × kˆ = iˆ , por lo tanto, iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 ) ( ) ( ) ( ) A × B = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ × Bxiˆ + B y ˆj + Bz kˆ = Ax B y kˆ + Ax Bz − ˆj + Ay Bx −kˆ + ( ) Ay Bziˆ + Az Bx ˆj + Az B y −iˆ = ( Ay Bz − Az B y ) iˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆj + ( Ax B y − Ay Bx ) kˆ • Módulo de un vector ( )( ) A ⋅ A = A2 cos 0 = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ ⋅ Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ = Ax2 + Ay2 + Az2 A= • Ax2 + Ay2 + Az2 Ángulo formado por dos vectores A ⋅ B = AB cos θ A⋅ B cos θ = = AB • (A 2 x B Ax Bx + Ay By + Az Bz + Ay2 + Az2 )( Bx2 + B y2 + Bz2 ) θ Módulo de la suma de dos vectores C = A + B → C 2 = A + B ⋅ A + B = A2 + B 2 + 2 AB cos θ ( )( A ) Esta expresión es, en realidad, el teorema de Pitágoras generalizado y es equivalente al teorema del coseno.
θ B A Figura 1.11. Definición gráfica del teorema de Pitágoras generalizado.
• C Ángulos formados entre el vector suma y los vectores sumandos S × A= B×A → S ×A = B×A 1.
SA sin α = BA sin θ → S sin α = B sin θ 2. S × B = A × B → S sin β = A sin θ θ Figura 1.12. Elementos geométricos que intervienen en el teorema del seno.
A× B β B A α S 12 Combinando 1. y 2. se obtiene: S A B = = , sin θ sin β sin α que equivale al teorema del seno.
• Productos triples A × B × C = A ⋅ C B − A ⋅ B C . Comprobación: ( ) ( ) A = ( Ax , Ay , Az ) B = ( Bx , By , 0 ) ( ) elección apropiada de los ejes cartesianos C = ( 0, C y ,0 ) iˆ B × C = Bx 0 kˆ 0 = BxC y kˆ 0 ˆj By Cy iˆ ˆj kˆ A × B × C = Ax Ay Az 0 0 BxC y ( ) = Ay BxC yiˆ − Ax BxC y ˆj = Ay BxC y iˆ + Ay B yC y ˆj − Ay By C y ˆj − Ax BxC y ˆj ( ) ( ) = Ay C y B − ( Ax Bx + Ay B y ) C = A ⋅ C B − A ⋅ B C Producto mixto: iˆ ˆj kˆ A ⋅ B × C = A ⋅ Bx By Bz Cx Cy Cz ( ) ( )( − B C )) = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ ⋅ iˆ ( By C z − Bz C y ) − ˆj ( BxC z − Bz C x ) + kˆ ( BxC y y x = Ax ( By C z − Bz C y ) − Ay ( Bx Cz − BzC x ) + Az ( BxC y − By C x ) ( A⋅ B ×C ) Ax Ay Az = Bx By Bz Cx Cy Cz es el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores A, B, C , ya que B × C es un vector perpendicular al plano determinado por ellos y que tiene por módulo el área del paralelogramo base, de tal forma que A ⋅ B × C es la proyección de A sobre la dirección perpendicular a la base del ( ) paralelepípedo ( h ) , multiplicada por el área de la base.
13 A α C B h = A cos α Figura 1.13. Paralelepípedo formado por los tres vectores A, B, C .
1.2.4 Momentos de un vector respecto a un punto y a un eje Dado un punto o y un vector A con origen en el punto p , se define el momento del vector A respecto al punto o como el producto vectorial op × A , de tal forma que el vector momento M es igual a A M = op × A = r × A p El momento del vector no varía si en lugar de p se considera cualquier otro punto p ' situado sobre la recta r A que pasando por p es paralela a A .
p' Figura 1.14. Elementos geométricos del momento de un vector.
r' o En efecto: ( ) M ' = r '× A = r + pp ' × A = r × A = M , ya que pp ' A . Por lo tanto, el momento de un vector respecto a un punto o es invariante si el vector se desplaza sobre su eje de acción.
• Teorema de Varignon: El momento de la resultante de un sistema de vectores concurrentes en un punto es igual a la suma de los momentos de los vectores individuales.
Si trasladamos todos los vectores a p A1 ; A2 M = r × ∑ An = ∑ r × An = ∑ M n r p A3 Figura 1.15. Momento de un conjunto de vectores concurrentes.
o 14 El momento de un vector A respecto a un eje (recta orientada) que pasa por o se define como la proyección del momento de A respecto de o en la dirección del eje.
τˆ es el vector unitario que define el eje respecto al cual se calcula el momento de A .
M τ = τˆ ⋅ M = M cos θ .
θ M ˆ o τ r Obsérvese que mientras el momento M respecto a un punto es un vector, el momento respecto a un eje es un escalar.
A r' Figura 1.16. Momento de un vector respecto a un eje.
o' M τ no depende del punto del eje elegido para el cálculo del momento del vector A . Este hecho se puede comprobar fácilmente: ) (( ) ) ( = τˆ ⋅ ( oo '× A ) + τˆ ⋅ ( r × A) = τˆ ⋅ ( r × A) = M ( o ) ( M τ ( o ' ) = τˆ ⋅ M ( o ' ) = τˆ ⋅ r '× A = τˆ ⋅ oo '+ r × A = τˆ ⋅ oo '× A + r × A ( ), τ ) ya que oo ' τˆ y oo ' ⊥ A .
1.2.5 Derivada e integral de una función vectorial Sean Fx ( t ) , Fy ( t ) , Fz ( t ) tres funciones de la variable escalar t que en conjunto definen una función vectorial F ( t ) = ( Fx ( t ) , Fy ( t ) , Fz ( t ) ) , que a cada valor de la variable escalar t le asigna un vector. Es obvio de esta definición que toda función vectorial se puede expresar como un conjunto de tres funciones escalares. Vamos a calcular ahora la derivada y la integral de una función vectorial.
• Derivada lim F ( t + ∆t ) − F ( t ) dF ( t ) = ∆t → 0 dt ∆t = = lim ( F ( t + ∆t ) , F ( t + ∆t ) , F ( t + ∆t ) ) − ( F ( t ) , F ( t ) , F ( t ) ) x ∆t → 0 y z x y z ∆t lim  Fx ( t + ∆t ) − Fx ( t ) Fy ( t + ∆t ) − Fy ( t ) Fz ( t + ∆t ) − Fz ( t )  , ,   ∆t → 0  ∆t ∆t ∆t   dF ( t ) dF ( t ) dF ( t )  = x , y , z  dt dt   dt • Integral ∫ t2 t1 F ( t ) dt = ∑ F ( t ) ∆t = ( ∫ ∆t → 0 lim t2 t1 Fx ( t ) dt , ∫ Fy ( t ) dt , ∫ Fz ( t ) dt t2 t2 t1 t1 ) 15 Propiedades ( ) 1.
d dA dB A + λB = +λ , donde λ es un escalar.
dt dt dt 2.
d df dA fA = A+ f , donde f es una función escalar.
dt dt dt 3.
d dA dB A⋅ B = ⋅ B + A⋅ dt dt dt ( ) ( ) 4. Cuando aparecen productos vectoriales dentro de una derivada, debe respetarse el orden ya que el producto vectorial no es conmutativo.
d dA dB A× B = ×B+ A .
dt dt dt ( ) 5. El módulo del vector derivada y la derivada del módulo del vector no coinciden.
 dA dA  1 dA 1 dA A dA 2A⋅ A = A⋅ A ; = + ⋅ A = = ⋅  A⋅ dt 2 A ⋅ A  dt dt dt A dt  2A dA dA dA = , y obviamente estos dos resultados no coinciden.
dt dt dt 6. Si un vector tiene módulo constante, la derivada temporal y el vector son perpendiculares. Esto se puede verificar fácilmente utilizando el resultado del apartado anterior para la derivada del módulo de un vector respecto al tiempo.
A ≡ cte → dA A dA dA = ⋅ =0→ A⊥ .
dt A dt dt 7. Si un vector tiene dirección constante, entonces la derivada temporal y el vector son paralelos. Para verificarlo escribiremos A = AAˆ y tendremos en cuenta que dAˆ dt = 0 .
 d AAˆ   dA   = A ×  dA Aˆ  = dA A × Aˆ = 0 .
A×  = A×  dt   dt  dt  dt    ( ) ( ) 8. La integración y la derivación de una función vectorial son operaciones inversas una de la otra.
t2 dG ( t ) F t dt = G t − G t → = F (t ) .
( ) ( ) ( ) 2 1 ∫t1 dt 16 1.3 Cinemática en tres dimensiones Cinemática ≡ Estudio del movimiento de un punto material (partícula).
1.3.1 Vectores posición, velocidad y aceleración Fijado un sistema de referencia, vamos a estudiar el movimiento de una partícula respecto a él. Llamaremos vector de posición de la partícula, en el instante t , al vector r ( t ) que va desde el origen de coordenadas hasta la posición de la partícula en dicho instante.
La trayectoria de la partícula es el Z conjunto de puntos (curva) descrito por el extremo del vector posición durante ∆r el movimiento. Podemos definir el vector desplazamiento entre los r ( t + ∆t ) instantes t y t + ∆t a partir de la expresión: r (t ) ∆r = r ( t + ∆t ) − r ( t ) .
Y X Figura 1.17. Definición gráfica de los vectores posición y desplazamiento, y de la trayectoria.
Vamos a introducir, ahora, el vector velocidad que proporcionará una medida de la rapidez con la que cambia el vector posición e indicará la dirección en la que se produce dicho cambio. Empezaremos definiendo la velocidad media en el intervalo ∆t como: ∆r vm = [vm ] = LT -1 .
∆t La dirección y el sentido del vector velocidad media vienen fijados por los de ∆r . Si ∆t decrece, ∆r también se reduce, y la velocidad media tiende a un valor límite (el cociente entre dos números pequeños no tiene porque ser pequeño). Es evidente que, al disminuir ∆r , la dirección de vm tiende a ser tangente a la trayectoria en la posición r ( t ) . Por lo tanto, se define la velocidad instantánea a partir del límite cuando t tiende a cero de vm : v (t ) = lim ∆r dr ( t ) = , ∆t → 0 ∆t dt donde la dirección de v ( t ) es la de la tangente a la trayectoria en r ( t ) . Si definimos ∆s como la longitud del arco de la trayectoria entre r ( t ) y r ( t + ∆t ) , en el límite ∆t → 0 se puede suponer que dr = ds , de tal manera que se cumplirá: dr dr  ds  v = v ⋅v = ⋅ =  dt dt  dt  2 2 → v= ds .
dt 17 Z v (t ) ∆s Figura 1.18. El vector velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto r ( t ) . La v ( t + ∆t ) distancia, a lo largo de la trayectoria, entre r ( t + ∆t ) r (t ) los puntos r ( t ) y r ( t + ∆t ) se define como ∆s .
La aceleración de una partícula es una medida de la rapidez con la que cambia la Y velocidad al transcurrir el tiempo. De forma similar a como lo hemos hecho con X la velocidad, se puede definir el vector aceleración media, en el intervalo de tiempo entre t y t + ∆t , a partir de la siguiente expresión: v ( t + ∆t ) − v ( t ) ∆v ( t ) = .
∆t ∆t La aceleración instantánea se define mediante el límite: am ( t ) = a (t ) = 2 lim v ( t + ∆t ) − v ( t ) dv ( t ) d  dr ( t )  d r ( t ) = =  =  ∆t → 0 ∆t dt dt  dt  dt 2 ; [a ] = LT -2 .
1.3.2 Componentes radial y tangencial de la aceleración Sea τˆ un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto, de tal manera que se cumpla: v ( t ) = τˆ ( t ) v ( t ) dv d dτˆ dv dv ds dτˆ dv dτˆ , a= = (τˆv ) = v + τˆ = τˆ + v = τˆ + v 2 dt dt dt dt dt dt ds dt ds ds ya que =v.
dt Para ∆t suficientemente ∆s τˆ ( t ) pequeño, el arco de trayectoria ∆s se C ∆r A aproximar por el τˆ ( t + ∆t ) puede ∆τˆ correspondiente a una circunferencia τˆ ( t + ∆t ) de radio R , y por lo tanto, τˆ ⊥ R en los puntos A y C de la trayectoria, los cuales corresponden a los instantes t y t + ∆t . En el límite de ∆t → 0 , R R ∆r = ∆s ; ∆τˆ ⊥ ∆r → ∆τˆ ⊥ trayect.
Los dos triángulos de la Figura 1.19 son semejantes, ya que tienen sus α lados perpendiculares entre sí. En consecuencia, podemos escribir: B Figura 1.19. Aproximación local de la trayectoria por un arco de circunferencia 18 ∆τ ∆s dτˆ 1 = → = nˆ , 1 R ds R donde nˆ es un vector unitario perpendicular a la trayectoria y, R y B son el radio y el centro de curvatura en el punto r ( t ) , respectivamente. En general, R y B van variando a lo largo de la trayectoria. Si ahora substituimos este resultado en la ecuación que hemos obtenido antes para la aceleración, podemos deducir la expresión final de la aceleración: dv v2 ˆ a = τ + nˆ = at + an .
dt R El primer sumando es la aceleración tangencial, que da cuenta de la variación temporal del módulo de v , mientras que el segundo término es la aceleración normal, que da cuenta de la variación temporal de la dirección del vector v .
C R Z an a nˆ τˆ v at r (t ) Y X Figura 1.20. Componentes tangencial y normal de la aceleración. Radio y centro de curvatura de la trayectoria en r ( t ) .
1.3.3 Método de cálculo de la velocidad y aceleración Dado r ( t ) = x ( t ) iˆ + y ( t ) ˆj + z ( t ) kˆ , se puede obtener fácilmente los vectores aceleración y velocidad, simplemente derivando r ( t ) sucesivamente respecto del tiempo.
dr v (t ) = = xɺ ( t ) iˆ + yɺ ( t ) ˆj + zɺ ( t ) kˆ dt dv a (t ) = = ɺɺ x ( t ) iˆ + ɺɺ y ( t ) ˆj + ɺɺ z ( t ) kˆ = at + an dt A partir de estas expresiones es fácil deducir τˆ, nˆ, at , an y R mediante las siguientes ecuaciones: 19 τˆ = v v  a ⋅v  at = ( a ⋅ τˆ )τˆ =  2  v  v  a v2 an = a − at ; nˆ = n ; R = an an → Ejemplo: r ( t ) = ( t 2 , t ,1) v ( t ) = ( 2t ,1, 0 ) , a ( t ) = ( 2,0, 0 ) donde r ( t ) , v ( t ) y a ( t ) están dados en m, ms-1 y ms-2, respectivamente. De estas expresiones es fácil obtener las componentes tangencial y normal del vector aceleración.
4t  a ⋅v  at =  2  v = 2 ( 2t,1,0) 4t + 1  v    8t 2 4t 1 a n = a − at =  2 − 2 ,− 2 ,0  = 2 ( 2, −4t,0 ) 4 t + 1 4 t + 1 4 t + 1   Por último, los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria, y el radio de curvatura se obtienen a partir de: v 1 τˆ = = ( 2t,1, 0) v 4t 2 + 1 nˆ = an ( 2, −4t ,0 ) = an 16t 2 + 4 v2 = R= an 4t 2 + 1 1 16t 2 + 4 4t + 1 ( 4t = 2 + 1) 32 2 2 1.4 Movimientos en tres dimensiones 1.4.1 Integración de la ecuación del movimiento En muchos casos, el movimiento se especifica dando la aceleración en función del tiempo, a ( t ) , (determinada, por ejemplo, a partir de la 2ª ley de Newton). Si también están fijadas las condiciones iniciales del movimiento r0 = r ( t0 ) y v0 = v ( t0 ) , podemos calcular v ( t ) a partir de dv a (t ) = dt → dv = adt → ∫ → dr = vdt → t dv = ∫ a ( t ) dt → v0 Análogamente, dr v (t ) = dt v (t ) t0 r (t ) ∫ r0 t v ( t ) = v0 + ∫ a ( t ) dt .
t0 t t t0 t0 dr = ∫ v ( t ) dt → r ( t ) = r0 + ∫ v ( t ) dt 20 t  t t  t   r ( t ) = r0 + ∫  v0 + ∫ a ( t ) dt  dt = r0 + v0 ( t − t0 ) + ∫  ∫ a ( t ) dt  dt .
    t0  t0 t0  t0   En consecuencia, las condiciones iniciales r0 = r ( t0 ) y v0 = v ( t0 ) determinan toda la trayectoria, tanto para t < t0 como para t ≥ t0 . En general, para una función a ( t ) arbitraria, la trayectoria resultante es una curva en tres dimensiones.
1.4.2 Movimiento rectilíneo uniforme Un movimiento rectilíneo uniforme en tres dimensiones se caracteriza porque el vector velocidad es constante a lo largo de la trayectoria (módulo, dirección y sentido son independientes del tiempo).
dv dv v2 = 0 = τˆ + nˆ a= v2 dt dt R v = cte → → an = 0 → = 0 → R (t ) = ∞ , R dv = 0 → at = 0 dt y la trayectoria es una recta como hemos supuesto. Por lo tanto, si hacemos v ( t ) = v0 , r ( t ) = r ( t0 ) + v0 ( t − t0 ) .
Si tomamos el eje x en la dirección de v0 x ( t ) = x ( t0 ) + v0 ( t − t0 ) .
1.4.3 Movimiento rectilíneo acelerado En este caso, la trayectoria también es una recta, por lo tanto, la dirección del vector velocidad no cambia con el tiempo. Sin embargo, el módulo del vector velocidad sí es función del tiempo. En estas condiciones, tenemos que: v ( t ) = v ( t )τˆ τˆ = cte → dirección de v constante , de donde es fácil deducir que dτˆ nˆ = = 0 → R = ∞ y la trayectoria es una recta.
ds R En consecuencia la aceleración sólo tiene componente tangencial ( an = 0 ) y se puede escribir como dv a = τˆ .
dt Por lo tanto, en este caso, la aceleración a es un vector paralelo a v0 y a v , a lo largo de toda la trayectoria. La trayectoria será una recta orientada según τ en el espacio, tal como se muestra en la Figura 1.21.
Si ahora suponemos que la aceleración es constante a lo largo de la trayectoria, integrando las ecuaciones del apartado 1.4.1, obtendremos las siguientes ecuaciones de movimiento: v ( t ) = v0 + a ( t − t0 ) ; a v 1 2 r ( t ) = r0 + v0 ( t − t0 ) + a ( t − t0 ) 2 21 Estas ecuaciones corresponden a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En particular, si tomamos τˆ iˆ y adoptamos el instante en el que se inicia el movimiento como origen de tiempos ( t0 = 0 ) se tiene Z v x ( t ) = v0 x + a x t a = cte v0 z v0 1 x ( t ) = x0 + v0 x t + a x t 2 2 v0 x = v x ( t = 0 ) x0 = x ( t = 0 ) r0 v0 x v0 y Y X Figura 1.21. Movimiento rectilíneo acelerado en tres dimensiones.
1.4.4 Composición de movimientos. Tiro parabólico Vamos a particularizar las ecuaciones del movimiento del apartado 1.4.1 para el caso en que a no varía con el tiempo y t0 se elige arbitrariamente igual a cero.
v ( t ) = v0 + at 1 r ( t ) = r0 + v0t + at 2 2 Estas ecuaciones del movimiento son ecuaciones vectoriales, en las cuales puede tratarse cada componente por separado. Para el caso del vector posición tendremos, 1 x ( t ) = x0 + v x 0t + a x t 2 2 1 y ( t ) = y 0 + v y 0t + a y t 2 , 2 1 z ( t ) = z0 + v z 0 t + a z t 2 2 donde las tres componentes son parábolas (rectas, en el caso particular de que ai = 0 ).
A partir de estas ecuaciones podemos obtener fácilmente las ecuaciones del movimiento para el tiro parabólico particularizándolas para a = ( 0,0, − g ) . Las ecuaciones para las componentes del vector posición adoptan la forma sencilla, 1 x ( t ) = x0 + v x 0t ; y ( t ) = y0 + v y 0t ; z ( t ) = z0 + v z 0t − gt 2 .
2 Para encontrar la altura máxima hacemos dz v v z (t ) = = vz 0 − gt = 0 → tmax = z 0 , dt g 22 entonces zmax = z ( tmax ) = z0 + 1 v z20 2 g Z a=−g v0 z v0 r0 v0 y v0 x Y X Figura 1.22. Tiro parabólico en tres dimensiones.
1.5 Movimiento circular 1.5.1 Movimiento circular uniforme En un movimiento circular uniforme, la partícula se mueve sobre una circunferencia con velocidad constante en módulo.
v = cte ; R = cte dv v2 v2 v2 τˆ + nˆ = nˆ → a = dt R R R La aceleración tiene módulo constante y está dirigida hacia el centro de la v circunferencia (sólo tiene componente normal, dado que sólo la dirección del vector velocidad varía con el tiempo).
a ∆s v = lim ∆s = lim R∆ϕ = R dϕ = Rω ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t dt ∆ϕ a= R Figura 1.23. Movimiento circular uniforme.
ω= dϕ ≡ velocidad angular dt En el caso de un movimiento circular uniforme, la velocidad angular es constante, y se puede obtener fácilmente la ecuación del movimiento para el ángulo girado después de un cierto tiempo t .
23 dϕ ω= dt → ϕ t ϕ0 0 ∫ dϕ = ∫ ωdt → ϕ = ϕ0 + ω t El tiempo T empleado en recorrer una vuelta completa se denomina periodo y viene dado por: 2π R 2π T= = .
v ω 1.5.2 Movimiento circular acelerado Vamos a suponer, ahora, que v ≠ cte y R = cte , es decir consideraremos movimientos circulares con el módulo de la velocidad variable. La velocidad es siempre tangente a la trayectoria, por lo tanto, v τˆ v y la aceleración valdrá: dv v2 at a = τˆ + nˆ .
dt R La aceleración tiene componentes a an tangencial ( dv dt ≠ 0 ) y normal no nulas, ∆s de forma que a ya no es paralela a R como en el caso del movimiento circular uniforme. Vamos a calcular at = dv dt en R términos del ángulo recorrido después de un cierto tiempo t .
dv d ( Rω ) dω at = = =R = Rα dt dt dt .
d ω d 2ϕ α= = 2 ≡ aceleración angular dt dt Figura 1.24. Movimiento circular acelerado.
Supongamos que la aceleración angular en función del tiempo α ( t ) es una función conocida y supongamos que t0 = 0 .
∆ϕ ω t t ω0 0 0 d ω = α dt → ∫ d ω = ∫ α dt → ω = ω0 + ∫ α dt ϕ t t t   t  dϕ = ωdt → ∫ dϕ = ∫  ω0 + ∫ α dt  dt → ϕ = ϕ 0 + ω0t + ∫  ∫ α dt  dt .
0 0 00 ϕ0   Si α = cte el movimiento es circular uniformemente acelerado y las ecuaciones del movimiento son: ω = ω0 + α t 1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + α t 2 Vamos a calcular v y a en términos de α y ω .
v = vτˆ = ω Rτˆ a = α Rτˆ + ω2R2 R nˆ = α Rτˆ + ω 2 Rnˆ Sus módulos respectivos valen: 24 v = ωR a 2 = (α R ) + (ω 2 R 2 ) 2 2 → a = R α 2 + ω4 En el caso particular de un movimiento uniformemente acelerado: v = (ω0 + α t ) R , v = vτˆ a = α Rτˆ + (ω0 + α t ) Rnˆ , a = R α 2 + (ω0 + α t ) 2 4 Obsérvese que a crece con el tiempo debido a que también crece ω .
Hasta ahora hemos considerado la velocidad y aceleración angulares como escalares que verifican las siguientes relaciones: v = ω R ; at = α R ; a n = ω 2 R Sin embargo, es conveniente asignar a estas magnitudes un carácter vectorial. De acuerdo al esquema de la Figura 1.25, ω ≡ vector es perpendicular al plano del Z movimiento y se dirige en el sentido de ω = ω mˆ avance de un tornillo que gira en el mˆ v =ω×r mismo sentido que la partícula (regla de c R nˆ la mano derecha).
ϕ τˆ ω = ω mˆ = ω (τˆ × nˆ ) θ o Hay que tener en cuenta que τˆ, nˆ, mˆ es un sistema de ejes ortonormales que forman un sistema directo, es decir, τˆ × nˆ = mˆ , mˆ × τˆ = nˆ , nˆ × mˆ = τˆ .
Por lo tanto, v = vτˆ = (ω R )( nˆ × mˆ ) = (ωmˆ ) × ( − Rnˆ ) r Y X =ω×R donde, R = − R nˆ . Si el eje de giro se toma coincidiendo con el eje Z , tal como se indica en la Figura 1.25, r = oc + R Figura 1.25. Movimiento circular en tres dimensiones.
( ) v = ω × R = ω × r − oc = ω × r ya que ω oc . Este resultado sólo es válido para movimiento circular ( R = cte ) . La definición de ω es válida para cualquier orientación del plano en el que se da la trayectoria circular. También lo es la relación v = ω × r . Vamos a expresar las componentes normal y tangencial de a en términos de los vectores ω y α = d ω / dt .
Nótese que por ser la dirección de ω constante: d dω α = (ωmˆ ) = mˆ = α mˆ → α ω dt dt , at = atτˆ = (α R )( nˆ × mˆ ) = (α mˆ ) × ( − Rnˆ ) = α × R y repitiendo el razonamiento realizado anteriormente para la velocidad se obtiene: at = α × R = α × r an = an nˆ = (ω 2 R ) ( mˆ × τˆ ) = (ω 2 R )  mˆ × ( nˆ × mˆ )  ( = (ωmˆ ) × (ωmˆ ) × ( − Rnˆ )  = ω × ω × R ) 25 ( ) an = ω × ω × R = ω × ( ω × r ) = ω × v .
Observar que an es la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme ya que el vector apunta hacia el centro de rotación y tiene módulo an = ω 2 r sin ϕ = ω 2 R = v 2 / R .
1.6 Sistemas de referencia en movimiento relativo 1.6.1 Movimiento de traslación relativa: transformaciones galileanas Vamos a considerar dos observadores o y o ' en movimiento relativo de traslación.
Cada observador lleva asociado su sistema de referencia propio, constituido por unos ejes de coordenadas y un reloj. Vamos a suponer que el tiempo es universal (mecánica no-relativista) y que los relojes de los dos observadores están sincronizados, de tal manera que marcan los dos la misma hora.
Z t Z' t' r r' o Y R X o' Y' X' Figura 1.26. Sistemas de referencia en movimiento relativo Las ecuaciones de transformación entre los dos sistemas de referencia son: t' = t , r ' = r − R , por lo tanto, dr ' d ( r ( t ) ) d R ( t ) v ' (t ') = = − = v (t ) − V (t ) dt ' dt dt dv ' a ' (t ') = = a (t ) − A (t ) dt ' donde V ( t ) y A ( t ) son la velocidad y aceleración, respectivamente, del origen o ' ( ) respecto del observador o .
Es de particular interés el caso en que los dos observadores están en movimiento relativo de traslación uniforme A ( t ) = 0 ; V = cte . En este caso, R = Vt y podemos ( ) escribir el conjunto de transformaciones anteriores entre los dos sistemas de referencia en la siguiente forma: 26 t' = t r ' = r − Vt v ' = v −V a' = a Este conjunto de relaciones constituye la llamada transformación galileana entre los dos sistemas de coordenadas. Una característica muy importante de este caso pa4rticular es que los dos observadores miden la misma aceleración. Por lo tanto, la aceleración de una partícula es la misma para todos los observadores en movimiento de traslación relativo uniforme. Este tipo de sistemas de referencia se conocen como sistemas inerciales.
Ejemplo: Una barca navega contracorriente por un río. Si el agua del río estuviera en reposo, la velocidad de la barca sería de 10 km/h. La velocidad de la corriente es de 2 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la barca respecto a un observador o que se encuentra en la orilla del río? Para un observador o ' que se mueve solidario con el agua del río, la velocidad de la barca será: v ' ( barca-río ) = 10 km/h , mientras que la velocidad del observador o ' (que se mueve con la corriente) respecto a un observador que está quieto en la orilla del río es: V ( corriente ) = −2 km/h .
Esta velocidad es negativa ya que va en sentido contrario a la velocidad de la barca.
Por lo tanto, la velocidad con la que el observador o ve desplazarse la barca por el río es: v ( barca-orilla ) = v '+ V = 8 km/h Ejemplo: Un viajero en un tren, saca la mano por la ventana y deja caer una moneda. ¿Cómo ve la caída de la moneda por: a) una persona que viaja en el tren? b) ¿Una persona en el suelo? c) ¿Una persona que viaja en otro tren que se mueve en una vía paralela en sentido contrario? Respecto a un sistema de referencia fijo al suelo, podemos definir las velocidades v y u de la moneda y el tren, respectivamente, en la forma: v = ( u, − gt ) u u = ( u, 0 ) − gt a) La velocidad que ve el observador en el tren es: v ' = v − u = ( 0, − gt ) .
Para este observador la moneda cae vertical, en caída libre.
b) Un observador fijo en el suelo ve v = ( u, − gt ) y la moneda describe una parábola hacia delante antes de caer al suelo.
27 c) Un observador en otro tren que se mueve paralelamente en sentido contrario. La velocidad del segundo tren respecto a un observador en tierra es: w = ( − w,0 ) , y por lo tanto, este segundo observador ve la velocidad de la moneda transformada según la ecuación v '' = v − w = ( u, − gt ) − ( − w,0 ) = ( u + w, − gt ) .
La trayectoria que sigue la moneda también es una parábola hacia delante, pero con un alcance mayor que en el apartado b).
Obviamente, la moneda cae en el mismo sitio en los tres casos, siendo la forma de la trayectoria dependiente del sistema de referencia desde donde se observa la caída.
1.6.2 Movimiento de rotación relativa Consideremos dos observadores o y o ' que giran uno con respecto al otro, pero sin que exista movimiento de traslación entre ellos. Para simplificar la descripción del problema, vamos a suponer que o y o ' utilizan cada uno su propio sistema de referencia ligado a cada uno de ellos, pero con origen y ejes Z comunes. Así, el observador o , que utiliza el sistema de referencia XYZ , ve el sistema X ' Y ' Z ' ligado a o ' girar con velocidad angular ω kˆ . El observador o ' ve justo lo contrario; esto es, el sistema XYZ gira alrededor del eje Z con velocidad angular −ω . Sea r el vector de Z Z' posición de una partícula p . Si p está en p reposo respecto al observador o ' que está girando, entonces p describe una trayectoria ω circular con velocidad angular ω respecto al r observador o y tiene una velocidad igual a Y' ωt oo' v = ω × r . Si la partícula, además, tiene una velocidad relativa v ' respecto de o ' , entonces la Y ωt velocidad de la partícula p en relación a o es: X v = v '+ ω × r .
Podemos utilizar esta expresión de la velocidad X' para calcular la aceleración medida por o , Figura 1.27. Sistemas de ejes en movimiento de rotación relativo.
simplemente calculando la derivada temporal respecto al sistema o .
dv dv ' dr a= = +ω × , dt dt dt donde hemos utilizado el hecho de que ω no varía con el tiempo. El último término de esta expresión puede simplificarse teniendo en cuenta que dr dt = v , con lo que podremos escribir: dr ω × = ω × v = ω × ( v ' + ω × r ) = ω × v ' + ω × (ω × r ) dt 28 Para calcular ω × v ' expresaremos v ' en términos de los vectores unitarios iˆ ', ˆj ', kˆ ' que definen el sistema de ejes X ' Y ' Z ' solidario con el observador o ' ; de manera que v ' = v′x′iˆ '+ v′y ′ ˆj ' + v′z′kˆ ' dv ' dv′x′ ˆ dv′y′ ˆ dv′z′ ˆ diˆ ' djˆ ' dkˆ ' = i '+ j '+ k '+ v′x′ + v′y ′ + v′z′ dt dt dt dt dt dt dt , = a '+ v′x′ω × iˆ '+ v′y ′ω × ˆj ' = a '+ ω × v ' donde hemos utilizado el hecho de que kˆ ' no varía con el tiempo al girar o ' respecto al eje Z ' , y la relación dr dt = ω × r del movimiento circular, particularizada para los casos en que r ≡ iˆ ', ˆj ' . Juntando los dos resultados en la expresión de a se obtiene: a = a ' + 2ω × v ' + ω × (ω × r ) .
Es importante resaltar que esta igualdad sólo contiene magnitudes medidas por el observador que gira, el cual mide una aceleración diferente a la real, a , que viene dada por la ecuación: a ' = a − 2ω × v '− ω × (ω × r ) .
El segundo término de estas expresiones es la aceleración de Coriolis, mientras que el tercero es una aceleración centrípeta/centrifuga según miremos el movimiento de la partícula desde o / o ' . Para el observador o ' , estas aceleraciones son resultado del movimiento relativo entre los dos observadores y no son debidas a acciones específicas aplicadas sobre la partícula.
1.6.3 Movimiento relativo respecto de la Tierra Una de las aplicaciones más interesantes de las ecuaciones deducidas en el apartado anterior es el estudio del movimiento de un cuerpo con respecto a la Tierra. La Tierra tiene un radio R ≃ 6360 km y por lo tanto, gira a una velocidad angular de 2π rad 2π rad N ω= = = 7.272 × 10 −5 rad/s .
1 día 86400 s ω Su dirección es la del eje de rotación de la vertical Tierra y su sentido, de sur a norte.
ω 2 r cos 2 λ Consideremos un punto sobre la superficie de la Tierra. Si g 0 es la aceleración de la −ω × (ω × r ) gravedad en dicho punto si la Tierra no g0 girara ( g 0 = 9.8 ms-2 , dirigida hacia el centro r de la Tierra), entonces, el valor de la aceleración medida por un observador que λ ≡ latitud gira con la Tierra es plano ecuatorial Figura 1.28. Aceleración centrífuga en la superficie de la Tierra.
g = g 0 − ω × (ω × r ) − 2ω × v ' , donde v ' es la velocidad respecto a la superficie de la Tierra del punto considerado.
Si v ' ≤ 1000 km/h , la aceleración de Coriolis 29 es despreciable comparada con la aceleración centrífuga. Sin embargo, como vamos a ver a continuación, la aceleración de Coriolis tiene un efecto direccional importante sobre la trayectoria de los objetos en movimiento relativo a la superficie de la Tierra.
Vamos a considerar, primero, el caso en que v ' es pequeña y la aceleración de Coriolis es despreciable. En ese caso, tendremos que g ≃ g 0 − ω × (ω × r ) .
La aceleración centrifuga apunta hacia fuera, en una dirección perpendicular al eje de giro y al vector r (ver Figura 1.28). Suponiendo que la Tierra es esférica, g 0 apunta hacia el centro de la Tierra, a lo largo de la dirección de un radio. En consecuencia, la dirección de g , que señala la vertical local, se desvía ligeramente de la dirección del radio y apunta hacia un punto del eje de rotación ligeramente por debajo del centro geométrico, en el hemisferio norte (al revés en el hemisferio sur). Por ejemplo, la superficie de los líquidos en equilibrio es perpendicular a g . Sin embargo, para fines prácticos y dado que la aceleración centrípeta es pequeña respecto a g 0 , podremos suponer con buena aproximación que g sigue la dirección radial y su módulo es igual a g 0 menos la proyección de la aceleración centrípeta sobre la dirección radial. El módulo de la aceleración centrífuga vale: ω × (ω × r ) = ω 2 r cos λ = 3.34 × 10−2 cos λ ms-2 , ya que ω y r forman un ángulo de π 2 − λ y sin (π 2 − λ ) = cos λ . Proyectando este resultado sobre la dirección radial se obtiene para g g ≃ g 0 − ω 2 r cos2 λ .
Consideremos, ahora, el efecto de la aceleración de Coriolis sobre el movimiento de una partícula que se mueve a velocidad v ' respecto a la superficie de la Tierra. La ω ω N −2ω × v ' v' ω v' −2ω × v ' v ' S ω v' −2ω × v ' −2ω × v ' Figura 1.29. Efecto de la aceleración de Coriolis para un cuerpo en caída libre Figura 1.30. Efecto de la aceleración de Coriolis para un movimiento en el plano horizontal.
aceleración de Coriolis es de la forma −2ω × v ' , por lo tanto, su efecto principal es desviar la trayectoria de la partícula en dirección perpendicular a la velocidad. Por ejemplo, para un objeto en caída libre, v ' está dirigida hacia el centro de la Tierra y la 30 aceleración de Coriolis apunta hacia el este en los dos hemisferios (ver Figura 1.29). En consecuencia, su trayectoria se desviará ligeramente de la vertical, de modo que el objeto caerá en un punto al este del señalado por la vertical local.
Si la partícula se mueve en un plano horizontal (por ejemplo, siguiendo un paralelo), el efecto de la aceleración de Coriolis será desviar la trayectoria hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur, tal como se indica en la Figura 1.30. Es importante resaltar que, en este caso, la aceleración de Coriolis tiene componentes radial y paralela a la superficie. Es ésta última la que causa la desviación de la trayectoria en la superficie de la Tierra.
Si se desarrolla en la atmósfera un centro de bajas presiones, el viento fluye Radialmente hacia él. La aceleración de Coriolis desvía las moléculas de aire hacia la derecha de su trayectoria en el hemisferio norte, lo que da como resultado un movimiento en sentido antihorario. En el hemisferio sur, la rotación se da en sentido horario.
Figura 1.31. Efecto de la aceleración de Coriolis sobre la formación de borrascas Un segundo ejemplo es el del péndulo de Foucault. Se trata de un péndulo con un cable muy largo de tal manera que la amplitud de oscilación es muy pequeña y podemos suponer que el movimiento de la lenteja se da en un plano horizontal. Por efecto de la aceleración de Coriolis la trayectoria correspondiente a la oscilación del péndulo se desvía continuamente hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en le hemisferio sur.
Figura 1.32. Efecto de la aceleración de Coriolis sobre un péndulo de Foucault.
31 ...