Examen Parcial Abril 2012 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Introducción a las Comunicaciones
Año del apunte 2014
Páginas 5
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

1 ICOM 2012-04-24 Dept. Teoria del Senyal i Comunicacions Grupo 20 M.Cabrera.
Duración: 2:00 horas.
Ejercicio 1 A partir de dos procesos aleatorios estacionarios reales: x  t  , y  t  , ambos de ancho de banda igual a B Hz. y de potencia media igual a P watts, se forma el siguiente proceso paso banda: s  t   x  t  cos  2  f c  B  t  1   y t  cos  2  f c  B  t  2  Inicialmente considere que las fases 1 , 2 son parámetros deterministas. Se pide: a) Halle el equivalente paso bajo bs  t  y las componentes en fase y en cuadratura de la señal s  t  respecto a la frecuencia de referencia f c y fase genérica c  0 . Obtenga las funciones de correlación Rbs  t   , t  , Rbsbs *  t   , t  , en función de las funciones de correlación de las señales x  t  , y  t  . ¿Es bs  t  un proceso circularmente simétrico? A partir de este punto considere que las fases 1 , 2 son ambas variables aleatorias distribuidas uniformemente en [0, 2 ) y mutuamente independientes. Se pide: b) Obtenga de nuevo las funciones de correlación Rbs  t   , t  , Rbsbs *  t   , t  , en función de las funciones de autocorrelación y correlación cruzada de las señales x  t  , y  t  . ¿Es en este caso bs  t  un proceso circularmente simétrico? c) Halle la función de autocorrelación de la señal s  t  en función de las funciones de correlación de las señales x  t  , y  t  y comente si es estacionaria. Halle la función de densidad espectral de la señal s  t  en función de las densidades espectrales de las señales x  t  , y  t  y calcule su ancho de banda.
La señal s  t  se transmite por un canal ideal hc  t     t  de ruido aditivo w  t  estacionario cuya función de densidad espectral es igual a  N21  S w  f    N2  2 f  fc f  fc Se pide: d) Proponga un diagrama de bloques para el receptor que proporcione dos señales de salida por separado, una correspondiente a la demodulación de la señal x  t  y otra correspondiente a la demodulación de la señal y  t  .
e) Halle la relación de potencias señal a ruido (SNR) resultante para cada una de las dos señales de salida en función de los parámetros N1 , N2 , B, P .
f) Para conseguir que ambas salidas presenten idéntica SNR, se propone filtrar la señal s  t  previamente a su transmisión mediante un filtro de función de transferencia HT  f  pero manteniendo el nivel de potencia transmitida. Es decir, se transmite sTx  t   s  t  * hT  t  y PsTx  Ps . Proponga la función de transferencia HT  f  adecuada.
2 g) Halle de nuevo los cocientes SNR a las salidas del receptor diseñado en el apartado d) cuando la señal transmitida es sTx  t  .
_________________________________________________________________________________ cos( A)cos( B)  12 cos( A  B)  12 cos( A  B) sen( A  B)  sen( A) cos( B)  cos( A)sen( B ) sen( A)sen( B)  12 cos( A  B)  12 cos( A  B) cos( A  B)  cos( A) cos( B)  sen( A)sen( B ) sen( A)cos( B)  12 sen( A  B)  12 sen( A  B) Autocorrelación de un proceso paso-banda:    j 2 f  2t    2c  Rs (t   , t )  12 Re Rbs  t   , t  e j 2 fc  12 Re Rbsbs *  t   , t  e  c  SOLUCIÓN ABREVIADA: a) Señales Paso bajo y I&Q  j 2 f c t    x  t  e  j  2 Bt 1   y  t  e  j  2 Bt 2  bs  t   Fpb  2s  t  e   is  t    x  t  cos  2 Bt  1   y  t  cos  2 Bt  2  qs  t    x  t  sin  2 Bt  1   y  t  sin  2 Bt  2  Funciones de correlación: Rbs  t   , t   E bs  t    bs*  t    Rx   e  j  2 B   Ry   e  j  2 B   j 2 B  2 t   1 2   j 2 B  2 t   1 2   Rxy   e   Ryx   e  Rbsbs *  t   , t   E bs  t    bs  t     j 2 B  2 t    21   j 2 B  2 t    2 2   j 2 B 1 2   j 2 B 1 2  Rx   e   Ry   e   Rxy   e   Ryx   e  bs  t  no es circularmente simétrico dado que Rbsbs *  t   , t   0 b) Funciones de correlación paso bajo:  j 2 B  j 2 B Rbs  t   , t   E1 E2 Ex , y bs  t    bs*  t    Rx   e    Ry   e   Rbsbs *  t   , t   E1 E2 Ex , y bs  t    bs  t    0 bs  t  sí es circularmente simétrico dado que Rbsbs *  t   , t   0 c) Funciones de correlación paso-banda (estacionaria):      j 2 f  2 t    2c  Rs (t   , t )  12 Re Rbs  t   , t  e j 2 fc  12 Re Rbsbs *  t   , t  e  c   1 2 Re Rx   e 1 2  R   cos  2  f x  j  2 B  c  Ry   e  j  2 B  e j 2 f c   B    Ry   cos  2  f c  B    Rs ( ) Funciones de densidad espectral.
3 Ss  ( f )  14 S x ( f  f c  B)  14 S y ( f  f c  B) Bs  4 B d) Diagrama de bloques del receptor.
s t   w t   R H    f  fc 4B s t   n t      z1  t   x  t   n1  t    f 2B 2 cos  2  f c  B  t  1    f 2B z2  t   y  t   n2  t  2 cos  2  f c  B  t   2  e) SNR    SNR   f   N     SNR  Sn1  f   N1 Sn2 f 2B 1 f 2B 2 2 P 2 BN1 P 2 BN 2 f) Diseño de filtro en Tx: sTx  t   s  t  * hT  t  Ps  Rs  0   P G  HT  f    G RsTx ( )  PsTx  G2 4 1 2 G N1 2 f  fc N2 2 f  fc 2 N1 2 Rx   cos  2  f c  B    G 2 P  N1  N 2   P  G  2 N1  N 2 N2 2 Ry   cos  2  f c  B      HT  f      2 N1 N1  N 2 f  fc 2 N2 N1  N 2 f  fc  h) A la salida del receptor se obtienen ahora las señales: z1  t   2 N1 N1  N 2 x  t   n1  t  z2  t   2 N1 N1  N 2 y  t   n2  t  Por tanto: SNR1  SNR2  P B N1  N2  Exercici 2 Un sistema de comunicacions pas banda genera el senyal s(t)  Rebs(t) exp j2 fCt , on: a) El senyal equivalent pas baix ve donat per una modulació PAM: bs (t )  n a[n] pt  nT  on  R p (kT )  E p [k ] .
b) Els símbols complexes a[n] s'extreuen d'una   4  (i  1) 2  i 0   1 és una constant real.
ai    ex p j   constel.lació C ai ,1 i  4 on 4 c) a[n] és una seqüència de símbols independents i equiprobables.
d) A la sortida del canal tenim el senyal: x(t)    s(t)  w(t) , on w(t ) és un procés de soroll Gaussià blanc de DEP Sw ( f )  N0 2.
Es demana, 1) Calculi la potència transmesa ST en funció de la velocitat de símbol rs i de l'energia de pols E p .
SOL: ST  1 2 rs E p 2 aplicant les relacions R s      1 1  i Rbs    k   Ra k Rp   kT  .
Re Rbs  exp  j 2fc  T 2  0 2) Calculi l'energia de bit Eb i l'energia de símbol E S a la sortida del transmissor.
1 2 E p  bEb  log2 (M )  Eb  2 Eb , auto-explicativa.
2 3) Consideri el següent pols de conformació: p(t)  A1 sinct     A2 sinct    .
SOL: Es  ST T  3.a) Calculi el pols g(t)  p(t)  p(t) a la sortida del filtre adaptat en funció dels paràmetres A1 , A2 ,  ,  . Determini l'energia de pols E p a partir de g (t ) .
g (t )  A12  A22  SOL: E p  g (0)  sinc( )  A1 A2  sinc(  2 )  sinc(  2 ) A12  A22  2 A1 A2sinc( 2 )  efectuant el desenvolupament en freqüència amb P f    f    A1e j 2f c /   A2e j 2f c /    1  , G f   P f  i tornant al domini temporal.
2 3.b) Determini quina relació han de complir les amplituds A1, A2 i doni el valor dels paràmetres , perquè el pols p(t ) sigui un pols arrel quadrada de cosinus alçat amb factor de roll-off  1 per una velocitat de símbol rs .
SOL: A1  A2 ,   2rs ,  1 2 El mètode més directe (tot i que no rigorós) consisteix en prendre A1  A2 per poder expressar P( f )  f  com un cosinus. Identificant l'argument del cosinus i la banda de suport de   porta al resultat  anterior.
3.c) Representi gràficament el pols g (t ) calculat a l'apartat 3.a) utilitzant els paràmetres A1 , A2 ,  ,   de l'apartat 3.b) i verifiqui analíticament en el domini temporal que no presenta ISI a la velocitat de símbol rs .
SOL: per substitució analítica en els apartats anteriors i utilitzant que sincn   n quan verifiquem que g nT   E p n .
4) A la sortida del filtre adaptat en recepció en els instants òptims de sincronisme, les observacions de símbol venen donades per z[k ]  AR a[k ]  [k ] . Es demana: 5 4.a) Dibuixi el diagrama de blocs del receptor (entre x(t) i z[k ] ) i doni el valor de AR . Dibuixi la resposta en freqüència de tots els filtres del receptor especificant freqüències centrals i bandes (en termes de f c , rs ) i guanys (consistents amb el valor de AR ).
SOL: AR  H R,max H max E p on els dos factors H R, max , H max es corresponen amb els guanys en la banda de pas del filtre pas banda de recepció i del filtre pas baix ideal del desmodulador de quadratura. El diagrama de blocs és el que s'ha explicat múltiples vegades a classe de teoria. A la sortida del desmodulador de quadratura hem de posar el filtre adaptat a cadascuna de les dues branques per realitzar la observació de símbol.
4.b) Pels filtres proposats, avaluï les potències P I , PQ i la correlació creuada R I , Q dels components de fase i quadratura del soroll complexe [k ]  I [k ]  jQ[k ] .
2 2 SOL: P I  PQ  N0 H R, max H max E p , R I ,Q  0 Calculant els espectres de soroll a la sortida del desmodulador de quadratura: (1) espectre de sorolls I i Q com la suma del lòbul a +fc i a -fc de l'espectre de soroll a la sortida del filtre de recepció i centrada a banda P I  PQ   B  BT 2 T 2 base N0 H R, max 2 dóna H max 2 un espectre rectangular de nivell N0 H R, max 2 H max 2 on 2 P( f ) df ; (2) espectre creuat dels sorolls I i Q es calcula com la diferencia entre els lòbuls a -fc i +f_c (dividit per "j") i centrats a banda base, la integral d'aquest espectre en freqüència ens dóna la correlació creuada que és nul.la perque la diferència de tots dos lòbuls espectrals centrats a banda base dóna zero.
4.c) Representi la constel.lació en recepció (sense soroll) indicant clarament el valor complexe de cada punt. Si com a criteri de decisió adoptem el criteri de mínima distància de z[k ] als punts de la constel.lació en recepció, dibuixi les fronteres de les regions de decisió. Indiqui quines condicions s'han de complir perquè el criteri de mínima distància sigui òptim en termes de probabilitat d'error de símbol.
SOL: fronteres de decisió: els eixos coordenats (I,Q) desplaçats a z   en el pla complexe I-Q.
L'expressió de la constel.lació són els símbols originals escalats per H R,max H max E p on podem prendre H R,max  H max  1 . Sota símbols equiprobables i soroll Gaussià i blanc arribem al criteri de distància mínima per la decisió de símbol segons el raonament vist a classe de teoria.
4.d) Calculi l'expressió de la probabilitat d'error de símbol segons el criteri anterior i deixi-la en funció de l'energia de bit en transmissió.
p s   2Q  Q 2 SOL: E p 4 Eb  d , Q  Q  , d    2  1   2 2   2 2  Eb      1   2  N 0  ,   N0 E p  N0 4 Eb 1 2 .
d on hem suposat H R,max  H max  1 . La probabilitat d'error de símbol s'obté a partir de la probabilitat de no-error seguint procediment idèntic al vist a classe de teoria per la constel.lació QPSK, on els sorolls en els eixos I,Q són independents i de la mateixa potència i d constitueix la distància mínima de cada símbol a la frontera de decisió (la mateix en totes dues dimensions I i Q).
NOTA: la puntuació dels exercicis es basa en l'exactitud del desenvolupament. Proporcionar el resultat correcte de forma no justificada o havent comès errors en el desenvolupament no garanteix en cap circumstància la puntuació màxima o alguna puntuació de l'apartat en qüestió.
...