SFE_2.5 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

2.5 Xocs d’esferes dures. Calculeu el nombre de col·lisions per unitat de temps i unitat de volum en un gas d’esferes dures, suposant que la distribuci´o de velocitats ´es de tipus Maxwell-Boltzmann.
Soluci´ o: |~u1 ~u2 ~u2 |dt b ~u1 b + db Considerem un gas format per dos tipus de part´ıcules: tipus 1 i tipus 2. El nombre de part´ıcules amb velocitat entre ˛ui i ˛ui + d˛ui en l’entorn d’un punt donat, ˛r, ´es dni (˛r, ˛ui , t) = fi (˛r, ˛ui , t)d˛ui d˛ri , (0.237) amb i = 1, 2. Per no perdre generalitat, donat que en principi ens trobam fora de l’equilibri, he considerat que la funci´o distribuci´o dep`en del temps (i en conseq¨ u`encia, ni tamb´e). En aquest problema volem contar el nombre de col·lisions per unitat de temps i volum, i de teoria, sabem que totes les propietats d’una col·lisi´o queden determinades per el par` ametre d’impacte i el m`odul de la velocitat relativa; Per tant, ens interessa posar el nostre problema en funci´o d’aquestes variables.
Comencem per contar quantes col·lisions t´e una part´ıcula tipus 1 a velocitat ˛u1 quan hi incideixen part´ıcules tipus 2 amb velocitat compresa entre ˛u2 i ˛u2 + d˛u2 i par`ametre d’impacte entre b i b + db. Fixam l’origen de coordenades en el sistema de refer`encia de la part´ıcula tipus 1; D’acord amb la figura adjunta, el nombre de col·lisions ser`a proporcional al nombre de part´ıcules tipus 2 que es trobin a l’interior de l’escor¸ca del cilindre, la qual t´e per volum: 2fibdb|˛u1 ≠ ˛u2 |dt5 , per tant 1æ2 dNxocs = 2fibdb|˛u1 ≠ ˛u2 |dtf2 (˛r, ˛u2 , t)d˛u2 .
(0.238) Si volem fer el recompte per totes les part´ıcules tipus 1 que hi ha en un cert volum dV amb velocitat entre ˛u1 i ˛u1 +d˛u1 , cal multiplicar per la probabilitat de trobar part´ıcules 5 Assumim que l’interval de temps dt satisf` a dues propietats: aquest ´es molt m´es gran que el temps mig d’una col·lisi´ o, i molt m´es curt que el temps de relaxaci´ o del gas (de fet, aquest u ´ltim punt ´es clau per al final poder suposar v` alida la distribuci´ o de Maxwell Boltzmann). A m´es a m´es, assumim tamb´e que el sistema ´es pr` acticament homogeni en l’espai, i.e., si ˛ u ´es la velocitat t´ıpica d’una part´ıcula, la distribuci´ o en el punt ˛r + ˛ udt pren un valor molt pr` oxim a la distribuci´ o en ˛r.
47 tipus 1 amb tal velocitat. Se segueix, 1æ2 dNxocs = 2fibdb|˛u1 ≠ ˛u2 |dtf2 (˛r, ˛u2 , t)d˛u2 f1 (˛r, ˛u1 , t)d˛u1 dV.
(0.239) En aquest u ´ltim pas hem fet la “hip` otesi de caos molecular”, hem considerat que no hi ha correlaci´ o alguna entre les part´ıcules de tipus 1 i les part´ıcules de tipus 2.
Matem` aticament, ho hem imposat quan hem considerat que les funcions f1 i f2 s´on independents entre si. De (0.239), al voltant del punt ˛r tenim: 1æ2 dNxocs = 2fiŸbdb|˛u1 ≠ ˛u2 |f2 (˛r, ˛u2 , t)d˛u2 f1 (˛r, ˛u1 , t)d˛u1 , dtdV (0.240) on hem introdu¨ıt un factor Ÿ per tenir en compte els “efectes d’indistingibilitat”, aquest val 1 si ambd´ os tipus de part´ıcules s´on diferents i val 1/2 si s´on iguals (sin´o, en el cas que consider´essim les part´ıcules indistingibles, estar´ıem fent un doble recompte). Tal i com ja hem fet en el problema anterior, considerem el seg¨ uent canvi de variables: ˛u1 = ˛uCM + m2 ˛u, m1 + m2 ˛u2 = ˛uCM ≠ m1 ˛u, m1 + m2 (0.241) on ˛u = ˛u1 ≠ ˛u2 i ˛uCM ´es la velocitat del centre de masses de les part´ıcules (ja varem veure que aquest canvi preserva l’element de volum hexadimensional). Llavors, 1æ2 dNxocs = 2fiŸbdb|˛u|f2 (˛r, ˛u2 [˛u, ˛uCM ], t)f1 (˛r, ˛u1 [˛u, ˛uCM ], t)d˛ud˛uCM .
dtdV (0.242) Fins aqu´ı, el resultat al que hem arribat ´es completament gen`eric, v`alid per qualsevol funci´ o de distribuci´ o. Ara, considerem que el gas es troba en una situaci´o molt pr`oxima a l’equilibri de manera que ens val la distribuci´o de Maxwell-Boltzmann. Havent considerat el canvi anterior, aquesta resulta ser (normalitzada a fli , per unitat de volum): fi (˛u, ˛uCM ) = fli Per tant 3 ai fi 43/2 - - 2 m2,1 ˛ u 1 +m2 ≠ai -˛ uCM ± m e f2 (˛r, ˛u2 [˛u, ˛uCM ], t)f1 (˛r, ˛u1 [˛u, ˛uCM ], t) = fl2 fl1 , mi , i = 1, 2.
2kB T amb ai = 3Ô m2 m1 2fikB T 43 ≠ e m2 +m1 |˛ uCM |2 2kB T (0.243) ≠ 2kµ T |˛ u |2 e B , (0.244) essent µ la massa redu¨ıda. Substituint en (0.242) es t´e 1æ2 dNxocs = 2fiŸbdb|˛u|fl2 fl1 dtdV 3Ô m2 m1 2fikB T 43 ≠ e m2 +m1 |˛ uCM |2 2kB T ≠ 2kµ T |˛ u |2 e B d˛ud˛uCM .
(0.245) Aquesta u ´ltima expressi´ o representa el nombre de col·lisions que tenen les part´ıcules de tipus 1 amb velocitat entre ˛u1 i ˛u1 + d˛u1 contra part´ıcules de tipus 2 amb velocitat compresa entre ˛u2 i ˛u2 + d˛u2 i par`ametre d’impacte entre b i b + db6 . Calculem primer 6 Estrictament, ´es el nombre de col·lisions que tenen les part´ıcules 1 contra les 2 amb velocitat relativa entre ˛ ui˛ u + d˛ u, velocitat del centre de masses entre ˛ uCM i ˛ uCM + d˛ uCM i par` ametre d’impacte entre b i b + db, per` o mirant el canvi de variables que hem fet, veiem que ´es equivalent al que acabo de dir.
48 la integral sobre ˛uCM . Passant a esf`eriques, 3Ô 4 ⁄ Œ 1æ2 m +m1 2 m2 m1 3 dNxocs ≠ µ |˛ u |2 ≠ 2 u = 2fiŸbdbfl2 fl1 |˛u|e 2kB T d˛u4fi u2CM e 2kB T CM duCM , dtdV 2fikB T 0 (0.246) on la integral sobre les coordenades angulars l’hem pogut calcular directament. Se segueix Ô 3 3Ô 4 43/2 1æ2 m2 m1 3 dNxocs fi 2kB T ≠ 2kµ T |˛ u|2 B = 2fiŸbdbfl2 fl1 d˛u4fi |˛u|e dtdV 2fikB T 4 m2 + m1 (0.247) 3 43/2 1 µ ≠ 2kµ T |˛ u|2 = Ÿfl2 fl1 Ô bdb|˛u|e B d˛u.
2fi kB T Per integrar sobre ˛u tamb´e passam a coordenades esf`eriques. Novament, la integral sobre les coordenades angulars es pot calcular directament. Integrant tamb´e sobre el par`ametre d’impacte, 3 4 ⁄ ⁄ 1æ2 Œ dNxocs 1 µ 3/2 Œ ≠ µ u2 = Ÿfl2 fl1 Ô bdb4fi u3 e 2kB T du dtdV 2fi kB T 0 0 ⁄ Œ Ô 3 µ 43/2 ⁄ Œ ≠ µ u2 = Ÿfl2 fl1 8fi bdb u3 e 2kB T du.
kB T 0 0 (0.248) Fins al moment, no hem considerat per res que el gas estigui constitu¨ıt per esferes dures. Si consideram el model d’esferes dures, tal com vaig explicar en el problema 2.3, si ‡ Ø b hi ha col·lisi´ o, mentre que si ‡ < b no n’hi ha. Per aquesta ra´o, podem introduir una theta de Heaviside: ◊(‡ ≠ b). De (0.248), 3 4 ⁄ ⁄ 1æ2 Œ Ô dNxocs µ 3/2 Œ ≠ µ u2 = Ÿfl2 fl1 8fi ◊(‡ ≠ b)bdb u3 e 2kB T du dtdV kB T 0 0 ⁄ Œ Ô 3 µ 43/2 ⁄ ‡ ≠ µ u2 = Ÿfl2 fl1 8fi bdb u3 e 2kB T du kB T 0 0 3 4 3 4 Ô µ 3/2 ‡ 2 1 2kB T 2 = Ÿfl2 fl1 8fi .
kB T 2 2 µ (0.249) Ordenant-ho una mica, s’arriba a 1æ2 dNxocs = fi‡ 2 Ÿfl2 fl1 dtdV Û 8kB T .
fiµ (0.250) De moment, hem considerat un gas format per dos tipus d’esferes dures (del mateix di`ametre). Posem per cas que m1 = m2 = m, µ = m/2, fl1 = fl2 = fl, Ÿ = 1/2.
Finalment, tenim que el nombre de col·lisions per unitat de temps i volum en un gas d’esferes dures ´es: Û dNxocs = fi‡ 2 fl2 dtdV 4kB T fim (0.251) Anteriorment, varem calcular el valor esperat del m`odul de la velocitat d’una part´ıcula que segueix la distribuci´ o de Maxwell-Boltzmann (vegeu (0.181)). Varem trobar que ÈuÍ = 49 Û 8kB T .
fim (0.252) Si comparam amb el resultat que acabam d’obtenir en aquest problema, veiem que el nombre de col·lisions per unitat de temps i volum en un gas d’esferes dures es pot escriure com dNxocs 1 = Ô fi‡ 2 fl2 ÈuÍ.
(0.253) dtdV 2 50 ...