Fonaments d'Enginyeria de Bioprocessos - Tema 1 (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Biotecnología - 2º curso
Asignatura Fonaments d'enginyeria de bioprocessos
Año del apunte 2014
Páginas 12
Fecha de subida 17/11/2014
Descargas 15
Subido por

Vista previa del texto

    Fonaments  d’enginyeria  de  bioprocessos   2º  CURS  DE  BIOTECNOLOIGA                                                                                     TEMA  1.  INTRODUCCIÓ       1.1  Sistemes  d’unitats                 S.I.  (Sistema  internacional)   Unitats  fonamentals:  Són  pures,  és  a  dir,  que  no  deriven  d’altes.  Per  exemple:  s  (segon),  m   (metre),  g  (gram),  etc...     Unitats  derivades:  Formades  per  la  combinació  de  fonamentals.  Per  exemple:  J  (joule),  N   (newton),  etc...     Unitats   múltiples:   Són   les   que   es   fan   servir   a   la   realitat   en   els   bioprocessos,   i   permeten   treballar   amb   ordres   de   magnitud   diferents   a   les   unitats   fonamentals:   mL,   mg,   ms,   Kg,   mm,  cm,  etc....       VIGILAR  amb  unitats  com  el  temps,  on  el  múltiple  del  segon  no  són  kS  (quilosegons),  per   exemple  3600  s  és  1  h  i  NO  3,6  ks     a)  Particularitats  del  sistema  internacional     1.  Definició  de  paràmetres         Definim  paràmetres  a  partir  de  les  unitats  (Definició)à  Definim  les  variables       -­‐>  És  la  definició  de  paràmetres  que  es  fa  servir  en  enginyeria.       O  bé  els  definim  a  partir  de  la  definició  de  variables  à  Definim  les  unitats  (Definició)           Exemple:   En   enginyeria   es   defineixen   variables   a   partir   d’unitats   o   a   partir   de   la   seva   definició:       QL  (cabal  volumètric)  =  V/t    (Les  unitats)  è  Cabal  molar  (La  variable)    mol/t         V/t   x   mol/V   =   mol/t   que   és   el   cabal   molar:   Nombre   de   mols   per   unitat   de   temps   (La   variable)       2.  Canvis  d’unitats       En  un  procés  de  producció  d’un  enzim  per  exemple,  si  inicialment  tenim  un  líquid  diem  que   tenim  (per  exemple)  una  concentració  100  mg/l,  però  un  cop  extraiem  el  líquid  ho  expressem   en  mg/Kg.       Si  ens  diuen  que  al  final  tenim  100  mg/Kg  hem  de  veure  immediatament  que  hi  ha  un  error,   ja  que  al  final  del  procés  l’enzim  està  més  concentrat,  hem  eliminat  l’aigua,  i  no  pot  ser  que   un  litre  de  l’anterior  solució  contingui  el  mateix  que  un  Kg  del  sòlid  final  (sense  aigua).     S’ha  de   vigilar   en  les  etapes  dels  bioprocessos,  en  cadascuna  de  les  etapes  treballem  amb  les   unitats   adequades,   sense   barrejar-­‐les   entre   si.   De   vegades   és   preferible   treballar   amb   unes   unitats  globals  constants  (en  un  mateix  problema).     TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     1.2  Resolució  per  mètodes  numèrics  (aproximacions)       1.2.1  Resolució  d’equacions  lineals     • Mitjançant   programes   informàtics   que   ens   permeten   resoldre   sistemes   d’equacions   lineals:  Microsoft  Office  Excel  o  Polymath.     Polymath  (Instruccions  d’ús)     Ø Exemple:  Resoldre  el  següent  sistema  d’equacions.         Pas  1:  Seleccionar  el  tipus  d’equació  (Non-­‐linear  equation  =  equació  no  lineal)                                      Visió  general  en  obrir  polymath  5.0                                       TEMA  1.  INTRODUCCIÓ        Pas  2:  Introduir  les  equacions  i  altres  paràmetres     Seleccionem  l’opció  Add  NLE.                 Escrivim  la  primera  equació,  on  x=x1  i  y=x2.  Initial  guess  posem,  per  exemple  1.  Cliquem   Done.                       Fem  el  mateix  per  a  la  segona  equació.  Però  ara  hi  posem  f(x2).  Fem  clic  sobre  la  fletxa   Solve  it...                                             TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     Pas  3:  Obtenció  de  resultats                                     Solucions  del  sistema  d’equacions.  (x1=1,414  i  x2=1)     NOTA:  Cambiar  en  Windows,  la  configuració  de  decimal  de  “coma”  a  “punt”  per  a  que  el   programa  accepti  els  decimals.  I  els  milers  de  punt  a  coma!     1.2.2  Equacions  diferencials     -­‐  On  les  fem  servir?     Principalment,  les  equacions  diferencial  les  aplicarem  a,  per  exemple,  la  cinètica  química.                                                                                                                                                                    -­‐  Es  pot  expressar  com:  X(t=0)  =  xO  =>  x(t)                 -­‐  O  bé  gràficament  com  a  gràfics  x-­‐t  :                           x             • Quin  és  el  problema  doncs?               t     Per  exemple,  ens  demanen  trobar  la  funció  que  té  com  a  equació  diferencial:             TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     Per   a   t=0   i   C=Co   (Condició   inical   és   una   dada   imprescindible   per   resoldre   aquestes   equacions)     è  Podem  trobar  la  concentració  a  temps  t  C(t=?)  o  bé  dibuixar  el  perfil  (gràfic).     Ø Exemple  1:      à  Es  podria  resoldre  a  mà  amb  el  mètode  de  separació  de  variables  (amb   paper  i  llapis).     k  =  0,5  h-­‐1    à  VIGILAR  amb  les  unitats  de  k  i  t,  han  de  ser  les  mateixes.  El  programa  no  sap   quines  unitats  són  i  no  fa  conversions  automàtiques.     C(0)  =  1M   C(1)  =  ?     Si  fem  un  cas  real:         Ja  no  podem  resoldre  l’equació  diferencial  a  mà,  necessitem  el  Polymath!     Ø Exemple  2:  Amb  polymath.            t  =  0  h    à  C(0)=1M      k  =  0,5  h-­‐1        Trobar  C(t  =  de  0  a  10)  ?        Pas  1:  Seleccionar  opció  DEQ         Add  DE:  Vigilar  de  no  barrejar  minúscules  amb  majúscules,  programa  no  fa  distinció.   Add  EE:  Un  valor  (d’una  constant),  una  fórmula,  però  mai  una  diferencial.     Pas  2:  Establir  un  límit  de  càlcul  (de  on  a  on  va  el  temps?  De  0  a  10  h  per  exemple)     Pas  3  :  Escollir  mètode  de  resolució     • Stiff:  Si  hi  ha  variacions  brusques  o  suaus  s’ha  de  fer  servir  aquest  mètode   • Per  defecte  (preestablert),  el  mètode  de  resolució  s’agafa  quan  hi  ha  variacions  suaus.    Pas  4:  Afegir  taula  i/o  gràfic  (marquem  la  casella  add  table  i/o  add  graph)         TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     Per  modificar  l’eix  y  (ampliar  o  reduir  escala:  premem  botó  dret  i  seleccionem  les  opcions  Max  Y   axis  o  Min  Y  axis).     -­‐ Si  el  que  volem  es  veure  com  evolucionen  reactiu  i  producte  (  de  vegades  ens  interessa  veure   com  evoluciona  el  producte  i  no  el  reactiu),  hem  de  fer  un  sistema  d’equacions  diferencials:         CA(t=0)  =  CAo  (condicions  de  contorn  o  inicials)   CB(t=0)  =  CBo   k   k’     Nota:  Posar  x,y,z  en  comptes  de  CA  o  CB,  per  facilitar  l’introducció  de  les  dades.    Quan  hi  ha  sistemes  farem  servir  el  mètode  STIFF.       1.2.3  Integració  numèrica       -­‐>  Integral  definida     -­‐ Ens  poden  sorgir  2  problemes:     1. Conec  f(x),  però  és  massa  complicada  de  resoldre-­‐la  analíticament  o   directament  no  es  pot  resoldre.   2. No  conec  f(x),  però  tinc  una  taula  de  valors,  necessitem  mètodes  numèrics!       a) 1º  mètode:  Els  trapezis                       Gràficament  fem:                                                      F(x)                                                                                        a                                  b          x                       TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     b) 2º  mètode:  Simpson     En  comptes  d’aproximar  la  funció  a  una  recta  (com  és  el  cas  del  mètode  del  trapezis),   l’aproximem  a  una  paràbola  (i  per  tant,  hi  ha  més  precisió  en  el  resultat  aproximat).           Ø Exemple:         X(t)   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   F(t)   1   0,8   0,5   0,2   0,15   0,13   0,126   0,117   0,11   0,10   0,01                                                                               Valors  0  i  10       Compte!  Aquí  no  s’ha  de  tenir  en  compte  extrems  (que  en  aquest  cas  coincideix  amb  els  valors   parells,  valor  x  =  10).       • 1ª  restricció  al  mètode:  Si  “h”  NO  és  constant,  MAI  podrem  aplicar  el  mètode     • 2ª   restricció   al   mètode:   El   nombre   d’intervals   ha   de   ser   parell,   i   sempre   serà   igual   a   n-­‐1   valors,  on  n  =  Nº    de  valors  de  x.     Si   la   2a   restricció   no   es   compleix,   podrem   aplicar   Simpson   en   nº   parell   d’intervals,   és   a   dir   m-­‐ 1   intervals,   on   m=   nº   intervals   imparell.   Afegirem   l’interval   que   ens   falta   pel   mètode   del   trapezi,  en  definitiva  no  podrem  aplicar  Simpson  a  tot  el  tram.     TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     PRECAUCIÓ  IMPORTANT!  :  Cal  mirar  a  l’exercici  quina  és  la  funció  que  estem  integrant:                                                               x   y   1/(y-­‐x)   1   Valor   -­‐   2   Valor   -­‐   3   Valor   -­‐   4   Valor   -­‐   5   Valor   -­‐   6   Valor   -­‐                   Aquests  valors  no  són!     Són  aquests  valors!     1.2.4  Derivació  numèrica     • Quin  és  el  problema?     § f(x)   à   f’(x)       Amb   la   solució   analítica   (amb   els   mètodes   de   derivació   que   ja   coneixem)     § Però   no   sempre   podrem   calcular   la   derivada   de   qualsevol   funció.   En   alguns   casos  podem  calcular  la  derivada  aproximant  per  la  relació  entre  increments,   si  ens  donen  la  funció  o  si  tenim  una  taula.  Però  la  millor  opció  de  totes  en   aquests  casos  seria  recórrer  a  l’aproximació  per  una  regressió.     TEMA  1.  INTRODUCCIÓ       Si  fem  els  increments  de  la  funció    o  taula  que  ens  donen  tenim:                               Com  podem  veure,  si  els  punts  es  troben  molt  separats  entre  ells,  o  entremig  hi  ha  variacions   molt  sobtades,  aleshores  l’aproximació  no  és  correcta  i  f’(x)  no  s’ajusta  a  la  funció.       Què  fem  doncs?       L’aproximació  la  fem  ajustant  x  respecte  f(x)  a  una  funció  ajustada  g(x)  (ajustant  els  punts  a  la   funció  g(x)  que  s’aproximi  a  f(x))  i  aleshores  derivant  per  trobar  g’(x),  que  serà  aproximadament   f’(x)   que   és   la   que   finalment   volíem   trobar.   A   aquest   procés   l’anomenem   interpolació   i   aproximació.     1.2.5  Interpolació  i  aproximació     • Problema?     Tenim  una  taula  de  dades  (sense  funció)  i  ens  demanen  trobar-­‐ne  la  funció  en  un  punt  que  no   apareix  a  la  taula,  o  bé  ens  demanen  trobar-­‐ne  la  derivada.     Interpolació:   g(x)   passa   forçosament   per   tots   els   punts   experimentals,   això   de   vegades   no   funciona,  perquè  en  els  punts  hi  pot  haver  errors  experimentals.     Aproximació:  g(x)  que  s’apropa  als  punts  experimentals,  els  punts  no  passen  forçosament  per   la  funció.                             TEMA  1.  INTRODUCCIÓ       • Metodologia:  Regressió  lineal     § Mètode   dels   mínims   quadrats   (   la   recta   o   funció   que   tingui   la   mínima   distància  entre  els  punts  experimentals  i  els  de  l’aproximació)       Recta  de  regressió           Recta  de  regressió                            (y    =  a  x  +  b  )               o I  si  la  funció  no  és  una  recta?     Si   hem   de   fer   una   regressió   no   lineal,   podem   fer   servir   tranquil·∙lament   Excel   que   ja   porta   incorporades  funcions  no  lineals.                         -­‐  I  si  no  tenim  opcions  a  Excel?     L’última   opció   que   ens   queda   és   fer   servir   el   polymath,   per   a   funcions   més   complicades   i   no   tant   complicades.   De   fet   amb   polymath   podrem   fer   regressions   de   qualsevol   funció   que   nosaltres  li  indiquem.  (  Però  serà  una  condició  imprescindible  tenir  una  taula  de  dades).     Els  passos  a  seguir  en  Polymath  5.0  són:       1.  Seleccionem  del  menú  inicial  l’opció  REG     2.   A   continuació   introduïm   els   valors   de   la   taula   de   dades   que   ens   han   donat   o   que  hem   de   trobar.     3.  A  la  part  inferior  de  la  finestra,  ens  apareixen  una  sèrie  d’opcions,  de  les  quals  només  ens   interessa   la   que   diu   Regression.   De   les   múltiples   opcions   i   del   que   volem   fer   dependrà   la   nostra  elecció.  Com  a  recomanació,  i  per  a  poder  fer  qualsevol  tipus  de  funció  seleccionem   l’opció  Nonlinear  i,  seguidament  Enter  model.         TEMA  1.  INTRODUCCIÓ     4.  A  l’esquerra  tenim  la  variable  independent,  i  a  la  dreta  hem  d’introduir  la  funció,  amb  les   constants   adients   (   Les   constants   fan   referència   als   valors   que   multipliquen   o   se   sumen   a   la   variable   independent).   Premem   Done   i   a   continuació   introduïm   els   valors   inicials   de   referència  (Initial  guess  que  com  a  convenció  posarem  valor  1),  i  premem  la  fletxa  situada  a   dalt  a  l’esquerra.  S’ens  obrirà  una  finestra  amb  els  valors  de  les  constants  i  el  coeficient  de   regressió   (0<R2<1)   que   ens   dirà   com   de   bona   és   la   precisió,   com   més   proper   a   1   estigui   l’aproximació  serà  més  bona.   ...