Examen Final Enero 2011 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura ALED
Año del apunte 2013
Páginas 2
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

` Algebra Lineal i Equacions Diferencials 7 de gener 2011.
Publicaci´o notes provisionals: 19 de gener.
Departament de Matem` atica Aplicada IV Periode d’al.legacions: Fins el 21 de gener.
Notes definitives: 25 de gener.
Professors: R.Cubarsi, J.Ferran, J.Mart´ı, D.Mitsche, M.C.Mu˜ noz, X.Mu˜ noz, N.Rom´an, G.S´aez.
Instruccions addicionals: • Temps: 3 hores.
• Justifiqueu les respostes i detalleu-ne els c`alculs.
1. (3 p.) Sigui φ : R3 → R3 l’aplicaci´ o lineal que en bases can`oniques t´e matriu associada   2 −2 1 2 0  A= 1 1 −1 1 i sigui ψ : R3 → R2 l’aplicaci´ o lineal definida per ψ(v1 ) = (2, 3), ψ(v2 ) = (0, 2) i ψ(v3 ) = (4, 4) on v1 = (1, 1, 0), v2 = (−1, 0, 1) i v3 = (1, 1, 1).
(a) Proveu que B = {v1 , v2 , v3 } ´es una base de R3 . Si un vector u ∈ R3 t´e coordenades (a, b, c) en la base can` onica, quines s´ on les seves coordenades en la base B? (b) Trobeu la matriu associada a ψ en les bases can`oniques.
(c) Trobeu la matriu associada a ψ ◦ φ en les bases can`oniques i doneu dimensions i bases del seu nucli i de la seva imatge. Digueu si ψ ◦ φ ´es injectiva, exhaustiva o bijectiva.
(d) Doneu les antiimatges de (2, 3) per ψ ◦ φ (si n’existeix alguna).
2. (1p.) Responeu a les seg¨ uents q¨ uestions: (a) Sigui F un subespai vectorial d’un espai E i siguin u1 , u2 ∈ E amb u1 , u2 ∈ F . Podem afirmar que u1 + u2 ∈ F ? En cas afirmatiu demostreu-ho i, en cas contrari, doneu un contraexemple.
(b) Siguin f, g dos endomorfismes de Rn tals que f ´es exhaustiva i g ´es injectiva. Podem afirmar que f ◦ g ´es injectiva? En cas afirmatiu demostreu-ho i, en cas contrari, doneu un contraexemple.
  1 1 0 o C) 3. (3,5 p.) Sigui A =  a + b 1 −b  una matriu on a, b ∈ R, i sigui φ ∈ EndK (K3 ) (amb K = R ´ 1 1 0 l’endomorfisme que en base can` onica t´e per matriu associada la matriu A (a) Sabem que −x(x2 − 2x − a + 1) ´es el polinomi caracter´ıstic de A. Per a quins valors de a, b la matriu A ´es C-diagonalitzable? Per a quins valors ´es R-diagonalitzable? (b) Per a a = b = 1 determineu una base B de R3 respecte de la qual la matriu de φ sigui diagonal per blocs amb un bloc 1 × 1 i un bloc 2 × 2. Trobeu la matriu associada a φ en base B.
(c) Per a a = b = 1 doneu una matriu fonamental del sistema d’equacions   diferencials x (t) = Ax(t), i 1 calculeu la soluci´ o general del sistema complet x (t) = Ax(t) +  −1 .
1 4. (2,5 p.) Sigui L[y] = y − 2y + y. Es demana: (a) Trobeu la soluci´ o general de l’equaci´ o L[y] = 0. Si y(t) ´es la soluci´o que satisf`a y(0) = 1 i y (0) = 0, quant val y(2)? (b) Trobeu la soluci´ o general de l’equaci´ o L[y] = tet .
(c) Trobeu la soluci´ o particular de l’equaci´ o L[y] = u(t−3) que satisf`a les condicions inicials y(0) = y (0) = 0.
Quina ´es la soluci´ o general de l’equaci´ o? +∞ f (t) F (s) = e−st f (t) d t 0 1 1 s tn n! sn+1 eat 1 s−a (s > a) tn eat n! (s − a)n+1 (s > a) cos bt s s2 + b2 sin bt b s2 + b2 eat cos bt s−a (s − a)2 + b2 (s > a) eat sin bt b (s − a)2 + b2 (s > a) (Heaviside) u(t) 1 s u(t − a) e−as s (delta de Dirac) δ(t) 1 δ(t − a) e−as +∞ f (t) F (s) = f (t)e−st dt 0 λf (t) + µg(t) λF (s) + µG(s) f (t) sF (s) − f (0) f (k) (t) sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f (0) − · · · − f (k−1) (0) t F (s) s f (τ ) d τ 0 f (αt) 1 F α (α > 0) s α eat f (t) F (s − a) tf (t) −F tk f (t) (−1)k F (k) +∞ f (t) t u(t − a)f (t − a) = F (s) d s s 0 f (t − a) 0≤t<a t≥a e−as F (s) t (convoluci´ o) (f f (u)g(t − u) du g)(t) = 0 L(f g) (s) = (F G)(s) ...