Tema 6: Successions i sèries de nombres reals (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 2
Subido por

Descripción

Successions de nombres reals, Sèries de nombres reals, Sèrie geomètrica

Vista previa del texto

Tema 6: Successions i sèries de nombres reals 6.1 Successions de nombres reals Què és una successió? Una successió de nombres reals és un conjunt infinit de nombres, ordenats tal que segueixen alguna regla de formació. La denotarem per {an}nDN.
Exemples: 1) 2,4,6,8,10,12,14...
2) 1,2,3,4,5,6,7,8...
3) 1, , , , ...
Cada element que forma la successió s’anomena terme de la successió i es denota per ai, on i és la posició que ocupa.
Exemples: 1) 2,4,6,8,10,12,14...
on a1  2 , a 2  4 , a3  6 , a 4  8 ...
2) 1,2,3,4,5,6,7,8...
on a1  1 , a 2  2 , a3  3 , a 4  4 ...
on a1  1 , a 2  3) 1, 1 1 1 1 , , , ...
2 3 4 5 1 1 1 , a3  , a 4  ...
2 3 4 Què és el terme general? El terme general d’una successió és una expressió que relaciona cada terme de la successió amb la posició que ocupa. És a dir, ens indica què fa la successió, quina norma o regla de transformació segueix.
79 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) 2,4,6,8,10,12,14... on 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.... on 3) 1, 1 1 1 1 , , , ....
2 3 4 5 on a1  2 , a 2  4 , a3  6 ...
a1  1 , a 2  2 , a3  3 ...
a1  1 , a 2  1 1 , a3  ...
2 3 Terme general: a n  2n Terme general: a n  n Terme general: a n  1 n De successions n’hi ha moltes, entre d’altres, les progressions i, en particular, les progressions geomètriques.
Progressions geomètriques Què són les progressions geomètriques? Les progressions geomètriques són un tipus de successions, tal que per passar d’un terme al següent el que fem és multiplicar per un nombre real. Aquest nombre s’anomena la raó i el denotarem per r.
Per tant, la raó de la successió {an}nDN serà r = 2 i la raó de la successió {bn}nDN serà 1 r .
3 Així doncs, direm que la successió {an}nDN i {bn}nDN són progressions geomètriques 1 de raó 2 i , respectivament .
3 Una progressió geomètrica tindrà la forma següent: {an}nDN = aи rn on a pot ser un nombre real qualsevol i la raó r està elevada a n.
A més, la seva construcció, com hem vist, segueix la relació següent: an+1 = rи an 80 Matemàtiques II Exemples: 1) 2) 2 3 progressió geomètrica de raó r  .
1 4 progressió geomètrica de raó r  .
3) an=( 5 )n+1 = 5 и( 5 )n progressió geomètrica de raó r  5 .
Convergència de successions El concepte convergència de successions fa referència a cap a quin valor s’aproxima la successió quan ens fixem amb els termes de la cua.
Una successió que té límit a l’infinit, finit s’anomena successió convergent, una que té límit a l’infinit, infinit, s’anomena successió divergent; i, a més a més, una successió de números reals és oscil·lant si i només si no és convergent ni divergent. És a dir, donada una successió {an}nDN: Si Si Si és convergent.
o bé és divergent.
és oscil·lant.
Exemples: 1) és convergent 2) és divergent 3) és oscil·lant Observem que aquesta última successió an=!¦  ¦  ¦ ^ és, efectivament, VOBTVDDFTTJØPTDJMrMBOU KBRVFQSFOFMTWBMPSTJ¦BMUFSOBEBNFOU 81 Llúcia Mauri Masdeu 6.2 Sèries de nombres reals Què és una sèrie? De manera intuïtiva podem dir que una sèrie de nombres reals és la suma dels infinits termes d’una successió {an}nDN. La denotarem per: on el símbol -(anomenat sumatori) indica sumar i, a sota i sobre s’indica des de, i fins a quin subíndex s’ha de realitzar la dita suma.
Tenint en compte que una successió té un nombre de termes infinit, aprendrem a sumar sumes infinites.
la suma dels n primers termes d’una successió. Aquesta Denotarem per Sn és una successió, anomenada successió de sumes parcials.
Per tant: Per sumar infinits termes d’una successió en diem sèrie i per sumar una és quantitat finita de termes en diem suma parcial de n termes. Per tant, el una sèrie.
En el cas en què la successió {an}nDN és una progressió geomètrica (n’hi ha d’altres), hi ha fórmules per calcular aquestes sumes parcials, sense haver de sumar un a un cada terme.
Si el sumatori és finit: Si el sumatori és infinit: i r&1 i "r"1 .
.
Per a la resta de casos, la suma és infinita o no es pot calcular.
Exemples: 1) 2) 3) (No es pot calcular amb la fórmula) 4) 82 Matemàtiques II Convergència de sèries t Una sèrie -an és convergent si .
t Una sèrie -an és divergent si .
Teorema: (Condició necessària de convergència) Si la sèrie -an és convergent, llavors .
Atenció: El recíproc d’aquest teorema no és cert! (Per tant: Si tindrem que -an no és convergent.) Propietats Sigui {an}nDN i {bn}nDN dues successions convergents, llavors: t t on kDR.
6.3 Sèrie geomètrica En la vida quotidiana ens veiem immersos en un cúmul de situacions de préstecs, inversions... En totes aquestes situacions s’utilitzen les progressions, i en particular les progressions geomètriques, d’aquí la importància d’aquesta eina matemàtica.
La utilitat de la sèrie geomètrica es reflecteix clarament amb el càlcul de capitalitzacions i amb el càlcul d’amortitzacions.
Anomenarem sèrie geomètrica a la suma infinita dels termes d’una progressió geomètrica; és a dir: és una sèrie geomètrica si {an}nDN és una progressió geomètrica Convergència d’una sèrie geomètrica Com hem vist per determinar si una sèrie és convergent o divergent, hem de calcular el límit de la successió de sumes parcials de n termes: 83 Llúcia Mauri Masdeu ­ a1 °1 − r 1− rn ° lím S n = lím a1 ⋅ = ®± ∞ n → +∞ n → +∞ 1− r ° no existeix ° ¯ ½ si r < 1 ° ° si r ≥ 1 ¾ si r ≤ −1° ° ¿ Per tant, la sèrie geomètrica sols és convergent per r  1 . En el cas que r * 1 la sèrie és divergent i, per tant, el seu valor és infinit i per r  1 no es pot calcular.
Càlcul del valor d’una sèrie geomètrica Si la sèrie geomètrica sols és convergent per r  1 ; llavors, solament podrem calcular el seu valor per a aquests casos.
La fórmula per calcular el valor d’una sèrie geomètrica és la següent:  Nota: Aquesta fórmula engloba les definides anteriorment per a Sk, però cal anar amb compte quan les condicions són de la r i la n.
Exemples: 1) 2) 3) Sembla lògic que la suma de l’exemple 1) i de l’exemple 3), ha de ser l’exemple 2): 84 Matemàtiques II Aplicació econòmica Exemple: Ingressem en un banc 30.000 euros (capital inicial), el banc ens paga un interès compost anual del 4%. És a dir, cada any obtenim un 4% de beneficis sobre el capital invertit. Quin capital obtenim al cap de cinc anys? Fórmula del capital que obtindrem C n , en invertir un capital inicial C = 30.000 euros al r = 0,04 de tipus d’interès compost anual. Durant n = 5 anys.
Cn=C(1+r)n C1=C(1+r) C2=C1(1+r)=C(1+r)2 C3=C2(1+r)=C(1+r)3 C4=C3(1+r)=C(1+r)4 C5=C4(1+r)=C(1+r)5 A C5=C(1+r)5 = 30000 и(1'04)5 = 36499'59 euros Fixem-nos que és una progressió geomètrica de raó 1 + r; així doncs, cada terme (anualitat) l’obtindrem a partir de Cn+1=Cn(1+r) C1=30000 и(1+0,04) = 31200 C2=31200 и(1+0,04) = 32448 C3=32448 и(1+0,04) = 33745,92 C4=33745,92 и(1+0,04) = 35095,76 C5=35095,76 и(1+0,04) = 36499,59 85 ...