SOLOW-SWAN (2012)

Apunte Español
Universidad Universidad de Girona (UdG)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Macroeconomía
Año del apunte 2012
Páginas 96
Fecha de subida 23/05/2014
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Todo sobre el método Solow

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Tema I: el modelo neoclásico de crecimiento de Solow-Swan I.1. Introducción • ¿Por qué crecen las economías?. La opinión popular acostumbra a dar tres tipos de respuestas a esta pregunta: 1. La economía crece porque los trabajadores tienen cada vez más instrumentos, más máquinas y, en definitiva, más capital con los que trabajar 2. La clave del crecimiento, pues, será la inversión por parte de las empresas.
3. El tercer punto, es la educación de la población: hoy somos capaces de producir mucho más que hace cien años porque los trabajadores de hoy en día están mucho más cualificados.
4. Y por último, encontramos el progreso tecnológico.
• En este sentido, será frecuente leer en la prensa que los gobiernos que buscan el progreso de sus países deben promover el ahorro y la inversión nacional, la educación de la población y las actividades de la Investigación y Desarrollo (I + D).
• Los modelos de crecimiento que se encuentran en la literatura económica tienen una estructura de equilibrio general.
• Por una parte están las familias, que poseen activos financieros y trabajo que generan rentas o ingresos. Las familias utilizan parte de estos ingresos para consumir y ahorran el resto.
• Por otra parte están las empresas, que alquilan el trabajo y el capital de las familias y los combinan con una tecnología para producir unos productos que luego venden a las familias.
• En tercer lugar están los mercados, que reúnen a las familias y las empresas. En estos mercados, los empresarios compran o alquilan el trabajo a un precio que llamamos salario y alquilan el capital que poseen las familias a cambio de unas rentas o dividendos.
• En estos mercados las familias compran los bienes producidos por las empresas. Los precios que pagan las empresas por los factores de producción y los precios que pagan las familias por lo bienes vendidos por las empresas los “deciden” los mercados de tal manera que todas las ofertas y demandas de la economía se igualen.
I.2. Los fundamentos del modelo neoclásico de Solow-Swan • Comencemos por la identidad de la renta nacional. Denotaremos con Yt el Producto Interior Bruto (PIB) de un país en el año t, que es la cantidad de producto o galletas producidos durante ese año. El PIB es utilizado de cuatro formas diferentes. Una parte la compran las familias para su propio consumo privado, que denotamos con la letra Ct.
• Otra parte la compran las empresas y esto es lo que llamamos inversión, It. La tercera parte la compra el gobierno (el gasto público) y lo denotamos con la letra Gt. Finalmente, el resto de las galletas se exporta al extranjero en lo que se llama exportaciones netas, NXt. Esta identidad nacional puede escribirse como Yt = Ct + It + Gt + NXt [1.1] • El término de la izquierda de esta identidad se puede interpretar como la oferta de la economía, mientras que los términos de la derecha son los cuatro componentes de la demanda agregada. El comportamiento de los diferentes componentes de [1.1] es muy complejo y no se puede estudiar todo a la vez.
Es por ello que los economistas intentan aislar lo que creen que es más importante.
• En este modelo inicial, intentaremos estudiar el papel de la inversión en capital físico como motor fundamental del crecimiento a largo plazo y nos preguntamos si el gobierno podría aumentar la tasa de crecimiento si consiguiera aumentar la tasa de inversión nacional.
• Esta pregunta tiene mucho sentido si miramos datos internacionales: mientras los países del este de Asia, que han experimentado tasas de crecimiento enormes, tienen tasas de inversión superiores al 20% (por ejemplo, la tasa de inversión media entre 1960 y 1990 fue de 22’9% en Hong Kong, 24’6% en Taiwán, 32’6% en Singapur).
• La mayor parte de los países africanos con crecimiento casi nulo invierten menos del 10% del PIB (por ejemplo, la tasa de inversión durante el mismo periodo fue de 5’7% en Etiopía, 4’7% en Uganda, 3’7% en Chad). Por lo tanto, no parece descabellado relacionar la inversión en capital físico con el crecimiento económico.
• Para ver el papel de la inversión es necesario aislarla de los demás aspectos de la economía, aspectos que quizá también sean importantes. Lo hacemos a continuación.
I. Simplificaciones iniciales: una economía cerrada y sin gobierno.
• Para empezar, simplificaremos el análisis imaginando que nuestra economía es cerrada en el sentido de que no hay exportaciones netas, NXt = 0, y que no hay movimientos de capitales, por lo que la economía en su conjunto no puede pedir prestado y, en consecuencia, todo lo ahorrado se debe invertir dentro del propio país.
• Segundo, imaginaremos que el gobierno no gasta nada, Gt = 0. Estos dos supuestos son poco realistas por cuanto sabemos que en los países más ricos el gobierno es el responsable de más del 50% del gasto nacional. También sabemos que las economías modernas exportan gran parte de su producción e importan gran parte de su consumo.
• Algunos países tienen déficit en su cuenta corriente (NXt < 0), mientras que otros tienen superávit (NXt > 0). Lo que raramente sucede es que la balanza por cuenta corriente sea exactamente cero.
• Tras estos dos supuestos iniciales, observamos que la identidad nacional se reduce a: Yt = Ct + It [1.2] • Por lo tanto, cuando la economía está cerrada y no hay gasto público, el producto nacional se distribuye entre consumidores y inversores.
Observar que el consumo de los dos lados de [1.2] obtenemos que el ahorro (la producción o renta no se consume) es igual a la inversión: Yt – Ct = St = It • Donde St es el ahorro. Por lo tanto, en una economía cerrada sin gasto público, el ahorro de las familias es igual a la inversión o la demanda de las empresas.
II. La función de producción neoclásica II.a. los factores de producción • La oferta o producción de una economía, Yt, se obtiene con la combinación de tres inputs o factores fundamentales. El primer factor de producción es el factor trabajo: para producir galletas es necesario que haya cocineros que las preparan.
• En la vida real hay muchos tipos de trabajo y de trabajadores. En este modelo sencillo, supondremos que todos los trabajadores son idénticos y la suma de todos ellos se indicará con la letra, Lt. Es decir, Lt, será la cantidad de trabajadores de nuestra economía en el momento t.
• El segundo factor de producción fundamental es el capital, Kt. El concepto de capital estará relacionado con las máquinas u otros utensilios físicos que utilizan las empresas en el proceso de producción (este concepto incluirá edificios, estructuras, instrumentos, ordenadores, material electrónico, etc.).
• El tercer factor de producción no es tan tangible como los dos primeros. Se trata de la tecnología: ningún cocinero puede producir galletas sin tener una receta o fórmula que le indique como combinar capital y trabajo en las proporciones precisas.
• Esta fórmula es lo que llamamos tecnología o conocimiento. El nivel de tecnología se indicará con la letra At. Este factor puede ser mayor o menor dependiendo de cada país y momento del tiempo.
• Es importante resaltar una diferencia fundamental que distingue los bienes capital y trabajo y lo que llamamos conocimiento o tecnología y es que los primeros son bienes rivales, mientras que la tecnología NO es rival.
• El concepto de rivalidad es muy importante.
Se dice que un bien es rival si no puede ser utilizado por más de un usuario a la vez.
• Si un bien puede ser utilizado por mucha gente al mismo tiempo se dice que es no rival.
• Por ejemplo, una fábrica de galletas en Barcelona utiliza un determinado horno, el mismo horno no puede ser utilizado a su vez en una fábrica en Madrid. Por lo tanto, el horno (y el capital en general) es un bien rival.
• Observar que no se puede decir lo mismo de la receta que se utiliza para producir galletas: la misma fórmula puede ser utilizada simultáneamente por las fábricas de Barcelona y Madrid. La tecnología, pues, es un bien no rival.
• El capital, K, el trabajo, L, y la tecnología, A, se pueden mezclar para producir bienes finales, Y. Representaremos estas combinaciones a través de una función de producción como la siguiente: Yt = F(Kt, Lt, At) [1.3] • Vemos que la producción de esta economía puede aumentar o crecer si aumenta K, si aumenta L o si aumenta A.
II.b. Propiedades de la función de producción neoclásica.
Por funciones de producción neoclásicas entendemos aquellas funciones matemáticas que representan combinaciones de los factores capital, trabajo y tecnología, y que satisfacen las siguientes tres propiedades: 1. La función de producción presenta rendimientos constantes a escala. Esto quiere decir que si doblamos la cantidad del factor trabajo y del factor capital, la cantidad de producto se dobla. Si multiplicamos K y L por una constante arbitraria, Λ, entonces la producción también se multiplica por la misma constante: F(ΛK,ΛL,A) = ΛF(K,L,A) • Matemáticamente, esta propiedad se conoce con el nombre de homogeneidad de grado uno.
• Se ha notado que solo se ha multiplicado L y K por esta variable y no la tecnología. La razón por la que este supuesto es razonable es el principio de réplica.
• Imaginemos que tenemos una fábrica en Barcelona que combina K máquinas con L trabajadores y una fórmula , At, para producir Y galletas. Debería ser cierto que si construimos otra fábrica idéntica en Madrid con el mismo número de máquinas, K, el mismo número de trabajadores, L, y la misma fórmula, A, deberíamos producir la misma cantidad de galletas.
• Es decir, si replicamos la fábrica en otro sitio (si “doblamos” K y L), deberíamos ser capaces de replicar la producción (deberíamos doblar Y). La razón por la que no hace falta doblar A es que la misma fórmula se puede utilizar en Barcelona y en Madrid, dado que la fórmula es un bien no rival. Por lo tanto, el supuesto de rendimientos constantes a escala, donde por escala entendemos el capital y el trabajo (y no la tecnología), parece ser razonable.
2. El segundo supuesto que caracteriza la función de producción neoclásica es que la productividad marginal de todos los factores de producción es positiva, pero decreciente.
Otra manera de decir lo mismo es que la tecnología presenta rendimientos decrecientes del capital y del trabajo cuando éstos se consideran por separado.
• A medida que añadimos trabajadores adicionales, sin cambiar el stock de capital, la producción aumenta, pero lo hace tanto menos cuantos más trabajadores tengamos ya trabajando: el aumento en el número de cocineros hará que se molesten entre ellos de manera que, a pesar de que cada cocinero adicional aumenta la producción de galletas, el aumento es menor cuantos más cocineros haya ya trabajando.
3. El tercer supuesto que debe satisfacer una función de producción neoclásica, F(·), se refiere a un conjunto de requerimientos llamados condiciones de Inada. Éstas exigen que la productividad marginal del capital se aproxime a cero cuando el capital tiende a infinito y que tienda a infinito cuando el capital se aproxima a cero.
II.c. La función de producción Cobb-Douglas.
• Una función de producción bastante sencilla que satisface las propiedades neoclásicas es la función Cobb-Douglas, donde 0 < α < 1.
Yt = AtKtαLt1-α • La función de producción debería tener la dos propiedades siguientes: A. Renta del capital = (Producto marginal del capital) * K = αY B. Renta del trabajo = (Producto marginal del trabajo) * L = (1 – α)Y.
• Donde α es una constante que mide la fracción de la renta que se queda el capital.
• Cobb demostró que tal función de producción existía y tomaba la forma Y = AKαL1-α [1.4] • Esta función de producción pasó a llamarse Cobb-Douglas. Se puede comprobar que el producto marginal del capital es αAKα-1L1-α y que si multiplicamos este producto marginal por K se obtiene αL .
• También se puede comprobar que el producto marginal del trabajo es y que si multiplicamos este producto por L obtenemos (1 – α)AKαL-α • . La participación del trabajo es 1 – α, que (1 – α)Y es constante.
también • Comprobamos que la función de producción Cobb-Douglas es neoclásica: presenta rendimientos a escala constantes: A(ΛK)α(ΛL)1-α = ΛAKαL1-α = ΛY • También vemos que los productos marginales del capital y del trabajo son positivos: δY/δK = αAKα – 1L1 – α > 0 δY/δL = (1 – α)AKαL-α > 0 • Y que las segundas derivadas son negativas con lo que los productos marginales son decrecientes: δ2Y/δK2 = α(α – 1)Akα – 2L 1 – α < 0 δ2Y/δL2 = (1 – α)(-α)AKαL-α-1 < 0 • Finalmente, los límites requeridos por las condiciones de Inada se cumplen: limK  ∞ δY/δK = αAKα – 1L1-α = 0 limK  0 δY/δK = αAKα – 1L1-α = ∞ limL  ∞ δY/δL = (1 – α)AKαL-α = limL  0 δY/δL = (1 – α)AKαL-α = 0 ∞ III. Supuestos adicionales.
Utilizando la función de producción neoclásica, podemos reescribir [1.2] como F(Kt, Lt, At) = Ct + It [1.5] III.a. Tasa de ahorro constante.
La razón por la que las familias consumen es que les gusta hacerlo. Ahora bien, siguiendo el modelo de Solow-Swan se supone que las familias simplemente consumen una fracción constante de su renta o producto.
• Es decir, si nuestras familias productoras producen Y galletas, supondremos que ahorran una fracción s y consumen el resto (1 – s). Por lo tanto, el consumo agregado C, se puede escribir como: Ct = (1 – s)Yt [1.6] • Donde el término s es la tasa de ahorro (la fracción de la renta que los consumidores ahorran), una constante. Al ser una fracción, se debe cumplir que s es un número entre cero y uno (0 < s < 1).
• Si substituimos [1.6] en [1.5], obtenemos sYt = It • En palabras: al igual que el consumo agregado, la inversión agregada es una fracción de la renta nacional. Como en una economía cerrada sin gasto público, el ahorro y la inversión coinciden, la tasa de ahorro es también la tasa de inversión.
III.b. Tasa de depreciación constante.
A diferencia del consumo, la razón que lleva a las empresas a invertir (es decir, a comprar parte del producto nacional) no es que a las empresas les guste utilizar los bienes que compran, sino que la inversión sirve, bien para aumentar el stock de maquinaria disponible para una futura producción (esto se llama inversión neta), bien para reemplazar las máquinas que se deterioran en el proceso productivo (es la depreciación).
• Utilizando términos de contabilidad nacional, la inversión bruta (la cantidad de output adquirido por las empresas, It, es igual a la inversión neta (el aumento neto en el stock de maquinaria o capital) más la depreciación. Si denotamos el aumento de capital como K = dk/dt, (la barra significa incrementos de la variable a medida que avanza el tiempo), tenemos: It = Kt + Dt [1.7] • Donde Dt es la depreciación. Para simplificar nuestro análisis, supondremos que en cada momento del tiempo, una fracción constante de las máquinas, δ, se deteriora por lo que la depreciación total es igual a la tasa de depreciación δ multiplicada por la cantidad de máquinas existente: δKt.
• Esto nos permite escribir [1.7] como It = Kt + δKt. El supuesto de depreciación constante también nos indica que las máquinas son siempre productivas mientras no se deterioran.
• Si substituimos It en [1.5] y utilizamos el supuesto de una tasa de ahorro constante [1.6], obtenemos F(Kt, Lt, At) = Ct + It = (1 – s)F(Kt, Lt, At) + Kt + δKt • Si ahora ponemos el término K en lado izquierdo y colocamos todos los demás en el lado derecho, esta igualdad se puede reescribir como Kt = sF(Kt,Lt,At) – δKt [1.8] • Si estudiamos detenidamente la ecuación [1.8], veremos que nos dice algo interesante: si conociéramos los valores de K, L, A en el momento t, dado que s y δ son constantes conocidas, la ecuación [1.8] nos diría cual es el aumento del stock de capital durante el siguiente instante.
• El aumento en la cantidad de capital, a su vez, nos generaría un aumento o crecimiento de la producción.
• Esta ecuación, por lo tanto, es potencialmente útil y va a ser el fundamento sobre el que construiremos el modelo de crecimiento. Para ello debemos simplificar todavía un poquito más.
III.c. Población igual a trabajo y tasa constante de crecimiento de población.
• La tasa de crecimiento que nos interesa es la tasa de crecimiento del PIB, del consumo o del capital por persona y no la tasa de crecimiento del PIB, del consumo o del capital agregados.
• La razón es que nadie dice que un país sea rico porque produce mucho: más bien se considera que un parís es rico si sus habitantes, en promedio, producen mucho.
Por ejemplo, uno tiende a creer que Suiza es un país mucho más rico que la India aunque, en realidad, la producción agregada de la India es mucho mayor que la de Suiza.
• La razón por la que decimos que Suiza es más rica es que la producción por habitante o per cápita es muy superior: una vez dividimos todo lo producido en la India por los cerca de 800 millones de habitantes que tiene, vemos que toca a muy poco por habitante.
Ejercicio • Realizar otro ejemplo como el de India y Suiza.
Y plantear alternativas de crecimiento económico para un país cualquiera.
• Para simplificar la notación, supondremos que la población de la economía es equivalente a la cantidad de trabajadores, Lt. Es un supuesto poco realista ya que sabemos que hay muchos habitantes en todas las economías que no trabajan en la producción de lo que llamamos PIB: niños, ancianos, etc.
• A pesar de que sabemos que existen estos colectivos que no trabajan en la producción de Y, seguiremos con el supuesto simplificador según el cual la variable L no solamente representa el factor trabajo sino también a la población total. Esto nos permitirá concentrarnos en el papel que juega la inversión en el capital físico.
• Si utilizamos la equivalencia entre trabajo y población y dividimos los dos lados de [1.8] por Lt encontramos que Kt/Lt = s[F(Kt,Lt,At)/Lt] – δ(Kt/Lt) [1.9] • A partir de ahora utilizaremos la letras minúsculas para denotar el equivalente de la letra mayúscula expresado en términos per cápita. En otras palabras, si Kt es el stock de capital agregado, kt será el stock de capital per cápita, kt = Kt/Lt.
• De forma similar definimos el consumo per cápita ct = Ct/Lt, y la producción per cápita, yt = Yt/Lt. Obsérvese que si la función de producción, F(·), es neoclásica, presenta rendimientos constantes a escala, por lo que se cumple que F(ΛK,ΛL,A) = ΛF(K,L,A), donde Λ es una constante arbitraria.
• Si damos a la constante el valor de Λ = 1/L, esta condición se puede escribir como: y = Y/L = 1/LF(K,L,A) = F(1/LK,1/Lk,A) = F(k,1,A) = f(k,A) [1.10] • Donde hemos definido f(k,A) = F(k,1,A). Es decir, la producción per cápita es una función del capital per cápita y la tecnología. En el caso de la función de producción CobbDouglas, esto se puede ver claramente dado que y = Y/L =1/LAKαL1-α = A(K/L)α(L/L)1-α = Akα(1)1-α [1.11] • Un supuesto adicional es que la población crece a una tasa exógena y constante que denotaremos con la letra n. Es decir, definimos n como L/L = n.
• Utilizando este último supuesto, podemos calcular la tasa de crecimiento del capital por persona como kt = (KtLt – LtKt)/Lt2 = Kt/Lt – (Lt/Lt)Kt/Lt = Kt/Lt – nkt [1.12] • Recordad que k es exactamente (K/L) = d(K/L)/dt.
• Si sustituimos el término K/L de [1.9] en [1.12] y utilizamos [1.10] obtenemos kt = sf(kt, At) – δkt – nkt [1.13] III.d. Nivel tecnológico constante.
El último supuesto que haremos antes de analizar la solución del modelo es importante porque nos ayudará a descubrir uno de los problemas centrales del modelo neoclásico de crecimiento.
• Como el objetivo es analizar el papel de la inversión en capital como determinante de la tasa de crecimiento económico, será útil prescindir de todas las fuentes alternativas de crecimiento potencial. Una de estas fuentes es el progreso tecnológico.
• Si el objetivo es ver si se puede crecer para siempre simplemente invirtiendo una fracción constante de la producción, será útil suponer que la tecnología no crece. Este supuesto se materializa algebraicamente en At = A [1.14] • Donde A es una constante.
• Sustituyendo [1.14] en [1.13] obtenemos una ecuación muy importante llamada la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan.
kt = sf(kt, A) – (δ + n)kt [1.15] • Si la tecnología es Cobb-Douglas, entonces la ecuación fundamental de Solow-Swan se escribe como: kt = sAktα – (δ + n)kt [1.16] • Dado el stock de capital per cápita existente en la economía en el momento t, la ecuación fundamental de Solow-Swan nos revela cuál será el incremento del stock de capital per cápita en el próximo instante, kt.
• Observar que una vez conozcamos el incremento del stock por persona sabremos cuál será el stock de capital en el siguiente instante. En consecuencia, la ecuación fundamental de Solow-Swan nos indica cuál será el incremento del stock de capital per cápita en el próximo instante, y así sucesivamente hasta infinito.
• Dicho de otro modo: la ecuación [1.15] nos describe cómo evolucionará el stock de capital per cápita desde hoy hasta el fin de los tiempos. De ahí la importancia de esta ecuación.
III.e. Interpretación de [1.15].
La ecuación [1.15] tiene una simple interpretación económica: el stock de capital por persona aumenta con la diferencia entre el ahorro bruto de la economía y el término (δ + n)k. Cuando aumenta la tasa de ahorro (que, recordar, en una economía cerrada es igual a la tasa de inversión), ,la inversión agregada aumenta.
• Como la inversión sirve para aumentar la cantidad de máquinas, el stock de capital aumenta, por lo que el primer término de [1.15] es fácil de entender. El término δk también es de fácil compresión: cuanto mayor es la fracción de máquinas que se deprecia en un momento dado, δ, menor es el aumento en el stock de capital por persona (y por esto el término δk aparece con signo negativo en [1.15]).
• El término nk puede parecer un poco más difícil de entender pero es igualmente sencillo.
Imaginemos por un instante que s = 0. El primer término de la derecha de [1.15] es igual a cero y la inversión es cero. La ecuación [1.15] nos dice que el stock de capital PER CÁPITA disminuye por dos razones: la primera es que una fracción del capital se deteriora o deprecia a cada momento.
• La segunda razón por la que el stock de capital PER CÁPITA decrece si no se invierte nada es que el número de cápitas o personas aumenta. Esto es lo que refleja el término nk.
Ejercicio • Relacionar las diferentes variables de la ecuación fundamental de Solow-Swan con la realidad económica de un país.
1.3. Análisis del estado estacionario • La ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan nos indica el aumento del stock de capital por persona como función de algunas constantes (A, s, δ o n) y del stock de capital existente, k. hay que resaltar que la ecuación se cumple en cada momento del tiempo, desde el momento inicial (hoy) hasta infinito.
• Existe, pues, una ecuación como [1.15] para cada momento del tiempo aunque, para simplificar, aquí sólo escribamos una. Para simplificar la notación a partir de ahora eliminamos los subíndices t.
• Una manera sencilla de analizar las predicciones del modelo es con un gráfico.
• En el gráfico anterior se presentan las diferentes funciones que caracterizan el modelo de Solow-Swan. Como todas ellas son funciones del capital, ponemos k en el eje horizontal.
• La primera función importante es la de producción, f(k).
• Como se trata de una función neoclásica, f(k), es siempre creciente (el producto marginal del capital es positivo) y es cóncava (existen rendimientos decrecientes del capital).
• Además, la función de producción es vertical cuando el capital es cero (la condición de Inada requiere que el producto marginal del capital, que la pendiente de f(k), sea infinito cuando k se aproxima a cero).
• La pendiente se vuelve horizontal cuando k se acerca a infinito (ésta es la condición de Inada para el capital que dice que el producto marginal del capital se aproxima a cero cuando el capital va hacia infinito).
• Todas estas propiedades se pueden comprobar tomando la función de producción Cobb-Douglas, y = Akα. Obsérvese que la derivada de esta función con respecto a k es y’ = αAkα-1 = αA/k1 – α.
• Esta derivada es positiva para todos los niveles de capital positivos. También vemos que esta derivada es infinita cuando k es cero.
• Según la ecuación de Solow-Swan, el aumento de capital per cápita es igual a la diferencia entre dos funciones. Para hacer el análisis más ameno, bautizaremos la función sf(k) como curva de ahorro, y la función (δ + n)k como curva de depreciación.
• La función sf(k) es proporcional a la función de producción dado que s es una constante. Por lo tanto, la curva de ahorro también es creciente, cóncava, vertical en el origen y asintóticamente horizontal.
• Como la tasa de ahorro es un número menor que uno, la función sf(k) es proporcionalmente inferior a f(k). Es por ello que en el gráfico anterior aparece por debajo de la función de producción.
• Finalmente, la función (δ + n)k en una línea recta que pasa por el origen y que tiene una pendiente constante e igual a δ + n.
• Lo primero que hay que notar de las curvas descritas es que, cuando k = 0, la función sf(k) y la función (δ + n)k son iguales a cero por lo que se cruzan en el origen.
• El punto k = 0 implica que no hay producción ni economía.
• Este punto no es interesante económicamente y vamos a ignorarlo.
• La pendiente de la curva de ahorro va decreciendo a medida que k aumenta. Como sabemos que la pendiente sf(k) va cayendo hacia cero, sabemos que existe un valor k de donde las curvas de ahorro e inversión se cruzan. Dado que, después de este punto, la pendiente de la función sf(k) sigue decreciendo mientas que (δ + n)k sigue siendo una línea recta, las dos curvas no se vuelven a cruzar más.
• En resumen, si ignoramos el origen, las curvas de ahorro y depreciación deben necesariamente cruzarse una vez y solamente una.
• El punto k* donde las dos curvas se cruzan se llama estado estacionario.
• Si la economía se encuentra en el punto k*, entonces la curva de depreciación es igual a la curva de ahorro.
• La ecuación fundamental de Solow-Swan nos dice que cuando sf(k) es igual a (δ + n)k , entonces k’ = 0 y el capital no aumenta.
• Si la economía se encuentra en k*, entonces se quedará en este punto para siempre. El stock de capital, k* que tiene esta propiedad se llama el stock de capital de estado estacionario.
• La intuición económica es la siguiente: la economía ahorra e invierte una fracción constante, s, de la cantidad producida. Esta inversión se utiliza para aumentar el stock de capital y para reemplazar el capital depreciado.
• Cuando la economía tiene un stock de capital k*, la cantidad producida, f(k*), es tal que si ahorramos la fracción, s, obtenemos una cantidad de inversión que es justamente la necesaria para reemplazar el capital depreciado.
• Es decir, una vez reemplazado el capital depreciado, no quedan recursos para incrementar el stock de capital, por lo que éste permanece al mismo nivel, k*.
• La economía no consigue aumentar el stock de capital y permanece con el mismo stock hasta el final de los tiempos.
• Es fácil encontrar una fórmula para k* si la función de producción es Cobb-Douglas: basta con poner k’ = 0 en [1.15’]: sA(k*)α = (δ + n)k* .Despejando obtenemos una expresión para el stock de capital de estado estacionario: K* = (sA / δ + n)1/1 – α [1.16] • Como el stock de capital per cápita de estado estacionario es constante, el PIB per cápita (que es una función de k) también es constante, por lo que γy* = 0.
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