Parcial 2011 Trigonometria (2014)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Fundamentos Matematicos
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 0

Descripción

Parcial 2011 trigonometria resuelto.

Vista previa del texto

Enginyeria Civil. Fonaments matem`atics 20/10/2011 Notaci´o: Sigui un triangle qualsevol de v`ertex A, B i C. Direm a, b i c als costats oposats a A, B i C, i α, β i γ als angles en els v`ertex A, B i C respectivament. Direm O al circumcentre.
Sigui un triangle de v`ertex A, B i C del que coneixem el costat a, l’angle γ i R, el radi de la circumfer`encia circumscrita. Trobeu b, c i α.
NOTA: La circumfer`encia circumscrita ´es aquella que cont´e els tres v`ertex del triangle i el seu centre ´es a la intersecci´ o de les mediatrius dels costats.
(P i Q s´on els punts mitjos dels costats a i b respectivament).
Considerem els triangles COP i COQ. Dient γ1 i γ2 als angles en C dels triangles COP i COQ respectivament:  a cos(γ1 ) = 2R  a b ⇒ b = 2R cos γ − arccos cos(γ2 ) = 2R  2R γ = γ1 + γ2 Aplicant el teorema del sinus: a b c = = = 2R sin α sin β sin γ c = 2R ⇒ c = 2R sin γ sin γ a a = 2R ⇒ α = arcsin sin α 2R Alternativament, aplicant el teorema del cosinus trobem c: c= c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) ⇒ a 2R 2 a2 + 2R cos γ − arccos c= a2 + b2 − 2ab cos(γ) − 2a 2R cos γ − arccos a 2R cos(γ) Aplicant el teorema del sinus trobem α: sin(α) sin(γ) = a c ⇒ α = arcsin a sin(γ) c   a sin(γ) α = arcsin  a2 + 2R cos γ − arccos a 2R 2 − 2a 2R cos γ − arccos a 2R  cos(γ) Enginyeria Civil. Fonaments matem`atics 20/10/2011 Notaci´o: Sigui un triangle qualsevol de v`ertex A, B i C. Direm a, b i c als costats oposats a A, B i C, i α, β i γ als angles en els v`ertex A, B i C respectivament. Direm O al circumcentre.
1) Sigui un triangle de v`ertex A, B i C del que coneixem els costats a i b, i R, el radi de la circumfer`encia circumscrita. Trobeu c, γ i α.
NOTA: La circumfer`encia circumscrita ´es aquella que cont´e els tres v`ertex del triangle i el seu centre ´es a la intersecci´ o de les mediatrius dels costats.
(P i Q s´on els punts mitjos dels costats a i b respectivament).
Considerem els triangles COP i COQ. Dient γ1 i γ2 als angles en C dels triangles COP i COQ respectivament:  a cos(γ1 ) = 2R  b a b + arccos ⇒ γ = arccos cos(γ2 ) = 2R  2R 2R γ = γ1 + γ2 Aplicant el teorema del sinus: a b c = = = 2R sin α sin β sin γ c a = 2R ⇒ c = 2R sin arccos + arccos sin γ 2R a a = 2R ⇒ α = arcsin sin α 2R b 2R Alternativament, aplicant el teorema del cosinus trobem c: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) c= ⇒ c= a2 + b2 − 2ab cos arccos a2 + b2 − 2ab cos(γ) a + arccos 2R b 2R Aplicant el teorema del sinus trobem α: sin(α) sin(γ) = a c    α = arcsin    ⇒ a · sin arccos α = arcsin a sin(γ) c a + arccos 2R a2 + b2 − 2ab cos arccos  b 2R a + arccos 2R b 2R      Enginyeria Civil. Fonaments matem`atics 20/10/2011 Notaci´o: Sigui un triangle qualsevol de v`ertex A, B i C. Direm a, b i c als costats oposats a A, B i C, i α, β i γ als angles en els v`ertex A, B i C respectivament. Direm o al incentre.
Sigui un triangle de v`ertex A, B i C del que coneixem el costat a, l’angle γ i r, el radi de la circumfer`encia inscrita. Trobeu β, α i c.
NOTA: La circumfer`encia inscrita ´es aquella que ´es tangent a cada un dels tres costats del triangle i el seu centre ´es a la intersecci´o de les bisectrius dels angles interns.
(P i Q s´on els punts de tang`encia de la circumfer`encia inscrita amb dels costats a i b respectivament).
Considerem els triangles CoP i BP o. Sabem que els angles en C i en B d’aquests triangles s´ on γ β de 2 i 2 respectivament. Dient a1 i a2 als costats CP i P B respectivament:  tan( γ2 ) = ar1  ⇒ β = 2 arctan tan( β2 ) = ar2  a = a1 + a2 a r 1 − cot γ 2 = 2 arctan r tan( γ2 ) a tan( γ2 ) − r Sabent que la suma dels angles d’un triangle sempre ´es π trobem α: ⇒ π =α+β+γ α = π − γ − 2 arctan r tan( γ2 ) a tan( γ2 ) − r Aplicant el teorema del sinus trobem c: sin(α) sin(γ) = a c ⇒ c= a sin(γ) sin π − γ − 2 arctan r tan( γ2 ) a tan( γ2 ) − r Enginyeria Civil. Fonaments matem`atics 20/10/2011 Notaci´o: Sigui un triangle qualsevol de v`ertex A, B i C. Direm a, b i c als costats oposats a A, B i C, i α, β i γ als angles en els v`ertex A, B i C respectivament. Direm o al incentre.
Sigui un triangle de v`ertex A, B i C del que coneixem els angles γ i β, i r, el radi de la circumfer`encia inscrita. Trobeu a, b, c i α.
NOTA: La circumfer`encia inscrita ´es aquella que ´es tangent a cada un dels tres costats del triangle i el seu centre ´es a la intersecci´o de les bisectrius dels angles interns.
(P i Q s´on els punts de tang`encia de la circumfer`encia inscrita amb dels costats a i b respectivament).
Considerem els triangles CoP i BP o. Sabem que els angles en C i en B d’aquests triangles s´ on γ β de 2 i 2 respectivament. Dient a1 i a2 als costats CP i P B respectivament:  tan( γ2 ) = ar1  ⇒ a=r tan( β2 ) = ar2  a = a1 + a2 1 1 + tan( γ2 ) tan( β ) 2 γ β = r cot ( ) + cot ( ) 2 2 Sabent que la suma dels angles d’un triangle sempre ´es π trobem α: π =α+β+γ ⇒ α=π−γ−β Aplicant el teorema del sinus trobem c: sin(α) sin(γ) = a c ⇒ c=r sin(γ) sin(π − γ − β) 1 1 + tan( γ2 ) tan( β ) 2 ⇒ b=r sin(β) sin(π − γ − β) 1 1 γ + tan( 2 ) tan( β ) 2 An`alogament, trobem b: sin(α) sin(β) = a b ...