Examen Parcial Primavera 2012 (2) (2012)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuitos Lineal
Año del apunte 2012
Páginas 5
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Circuits Lineals - Examen parcial 4 de maig de 2012 a les 14h Grup 70 - Professor Orestes Mas DEPARTAMENT DE TSC P1.
Pel circuit de la figura 1, es demana: Figura 1: Circuit preparat per analitzar V o ( s) = a) [8p] Demostreu que la funció de xarxa del circuit és H ( s)= V g( s) Per calcular la funció de xarxa, obtenim última.
1 s RC .
1 1 1 1 s2 + − s+ C R RN LC ( ) V o (s ) en funció de l'excitació i dividim per aquesta El càlcul de V o (s ) el podem fer per diverses vies. A continuació apunto algunes idees ordenades per ordre de coneixements creixents: 1. Podeu aplicar el mètode nodal, plantejant KCL als nodes A i B. Noteu que les incògnites només són VA i Vx ja que per curtcircuit virtual VB=VA.
2. Podeu aplicar el mètode anterior, però us podeu estalviar una equació si veieu que Vx=2VB=2VA (o VB=VA=Vx/2). En aquest cas amb el KCL en A en teniu prou.
3. Si us adoneu que el circuit format per l'AO, RN i les dues Rx es pot modelar com una resistència negativa, tal i com s'afirma a l'apartat g), aleshores podeu substituir tot aquell subcircuit per -RN i analitzar aquest circuit més simple.
Aplicant, per exemple, el primer mètode, s'obté el següent: KCL en A: KCL en B: 1 G (V o −V g )+ V o +Cs V o+G N (V o −V x )=0 Ls G x V o +G x (V o−V x )=0 Agrupant termes i posant-ho en forma matricial queda: ( Cs+G+G N + 2 Gx )( ) ( ) Vo GVg 1 −G N ⋅ = Ls −G x V x 0 I resolent per Cramer la variable Vo obtenim: V o (s )= −G G x V g 1 −G x⋅(Cs+G +G N −2 G N + ) Ls de la qual es dedueix, després de les oportunes substitucions i arranjaments: 1 s RC H (s )= 1 1 1 1 s 2+ ( − )s+ C R RN LC Sabent que R=47Ω, RN=500Ω, L=4,7mH i C=110nF, b) [2p] Dibuixeu amb el màxim de detall possible el diagrama de pols i zeros de H(s).
Amb els valors donats a l'enunciat, la funció de xarxa queda de la següent forma: 5 H (s )= 1,934⋅10 s 2 s +1,752⋅105 +1,934⋅109 Aquesta funció clarament presenta un zero a l'origen, i també 2 pols el valor dels quals es pot trobar a partir del polinomi denominador, i que valen: p 1≃−163.404,7 p 2≃−11.837,1 En conseqüència, el diagrama de pols i zeros és: c) [2p] Doneu la forma de la resposta lliure d'aquest circuit, i calculeu la durada aproximada del règim transitori.
La resposta lliure ve donada pels pols del circuit (=pols de H(s)). Com que aquests són reals i simples la resposta lliure és una combinació de les dues exponencials associades a aquests pols: −163.404,7 t resp. lliure: A⋅e −11.837,1 t u (t)+B⋅e u (t) D'aquests 2 pols un és clarament més petit que l'altre. El més proper a l'eix imaginari (pol dominant) correspon a la constant de temps més elevada, i és el pol que marca la durada del transitori d'aquest circuit. Per conveni establim que el transitori dura unes 5 vegades el valor de la constant de temps més lenta del circuit. Aleshores: durada: 5 5 = ≃42,24 ms ∣ℜ { pol dominant }∣ 11.837 d) [4p] Suposant condicions inicials nul·les, apliqueu la tècnica del circuit asimptòtic per determinar els valors de v o (0 + ) i v o (∞) quan apliquem a l'entrada una excitació de tipus graó unitari, u (t ) .
La tècnica del circuit asimptòtic consisteix en substituir, sota certes condicions, els inductors i capacitors d'un circuit per altres elements purament resistius com ara curtcircuits, circuits oberts o fonts independents. Quan l'excitació és un graó, les conversions que cal fer són les següents: t=0+ t - Capacitor: Inductor: Font de tensió vc(0 ) (Curtcircuit si vc(0-)=0) Font de corrent ic(0-) (Circuit obert si ic(0-)=0) Circuit obert Curtcircuit Tenint en compte que les condicions inicials són nul·les tenim que en qualsevol cas un dels dos elements L o C és equivalent a un curtcircuit, ja sigui a l'origen o a infinit, cosa que fa que la tensió de sortida sigui nul·la en aquests dos casos extrems: v o (0 + )=0 , v o (∞)=0 e) [8p] Determineu l'expressió matemàtica completa de la resposta del circuit a l'excitació anterior.
Per obtenir l'expressió matemàtica de la solució, ho farem ajudant-nos de la transformació de Laplace. L'equació bàsica que cal aplicar és: V o (s )=H (s)⋅V g (s) Substituint els valors dels components a la funció de xarxa, i tenint en compte que la transformada d'un graó és 1/s, obtenim: V o (s )= 1,9342⋅10 5 s 1 ⋅ 2 5 9 s +1.7524⋅10 s+1,9342⋅10 s Observem que en aquest cas el pol a l'origen introduït per l'excitació es cancel·la amb el zero a l'origen de la funció de xarxa. Així, els pols de Vo(s) són únicament els de H(s), que ja hem calculat a l'apartat b).
Com a observació addicional, fem notar que la cancel·lació del pol de l'excitació fa que en aquest cas no hi hagi resposta forçada, aspecte que concorda amb el valor vo(t∞)=0 que havíem obtingut a l'apartat d).
Ara només queda descomposar en fraccions simples i calcular els residus: 1,9342⋅105 1,9342⋅10 5 = s 2+1.7524⋅105 s +1,9342⋅109 ( s+163.404,7)⋅(s+11.837,1) k1 k2 = + ( s +163.404,7) ( s+11.837,1) V o (s ) = En conseqüència: k 1=( s+163.404,7)⋅V o ( s)| s=−163.404,7 =−1.2762 k 2=( s+11.837,1)⋅V o (s)| s=−11.837,1=+1.2762 v o (t )=1,2762⋅( e −11.837,1t −163.404,7 t −e )⋅u(t) f) [4p] Expliqueu per quin valor de RN aquest circuit es convertiria teòricament en un oscil·lador (resposta lliure de tipus sinusoïdal de durada infinita), com seria el diagrama de pols-zeros en aquest cas i quina seria la freqüència d'oscil·lació en Hz.
Comenteu què passaria si RN< R.
Un circuit amb resposta lliure sinusoïdal sense esmorteir (durada infinita) té els pols de H(s) complexes conjugats sense part real (esmorteïment nul equival a ζ=0). En aquest cas el valor de la part imaginària és la polsació d'oscil·lació, en radians/segon.
Aquest diagrama de pols/zeros es correspon amb una funció de xarxa del tipus A . Podem aconseguir que la H(s) del nostre circuit sigui d'aquesta forma si fem s +ω2o 1 ≃7 kHz RN=R=47Ω. En aquest cas la freqüència d'oscil·lació en Hz valdrà f osc = 2 π √ LC H (s )= 2 Si RN<R, el terme en "s" del polinomi denominador de H(s) es faria negatiu, i en conseqüència el circuit tindria pols al semiplà dret, cosa que vol dir que seria un circuit inestable.
Suposem ara que canviem l'excitació graó per una altra de tipus sinusoïdal d'amplitud 4,9Vef i de freqüència variable, i sigui ZL la impedància que veu el generador Vg. Es demana: g) [4p] Justifiqueu el fet que el subcircuit format per l'amplificador operacional, les dues Rx i RN es pot modelar, entre el terminal d'entrada + de l'AO i massa, com un resistor de valor -RN.
Aquest problema està fet a classe. Gràficament es pot veure de la següent manera: el circuit sense RN equival a un amplificador no inversor d'amplificació 2, per tant, la resistència d'entrada es pot calcular com: Rin = v in v in = =−R N i in (v in −2⋅vin )/R N I expressat gràficament: ≡ ≡ h) [8p] Amb l'ajut del resultat anterior, ompliu els espais en blanc de la taula següent: • Tal com s'ha vist a l'apartat f), 1 2 π √ LC ≃7 kHz . Per tant, a 7 kHz el conjunt LC paral·lel ressona i equival a un circuit obert. Aleshores el generador "veu" una resistència igual a ZL=R-RN = 47-500 = -453.
P L= ∣V̄ L(ef )∣2 4,92 = ≃−53 mW . Com (−R N ) −453 • En aquest cas la potència transferida a ZL val • que és una potència negativa, en realitat la impedància ZL està entregant potència al generador.
A la freqüència de 12.809 Hz les impedàncies de l'inductor i el capacitor valen Z L = j 2 π f L=378,26 j , Z C =1/ j 2 π f C=−112,95 j . Si calculem el paral·lel d'aquestes 2 impedàncies i la resistència negativa queda: 1 1 1 + + =(−2+6.21 j)⋅10−3 378,26 j −112,95 j −500 1 = ≃−47−146 j Y L∣∣C∣∣− R Y L∣∣C∣∣−R = N Z L∣∣C∣∣− R N N I aquesta impedància en sèrie amb R queda ZL=47-47-146 j = -146 j (es cancel·len les parts reals i queda una impedància imaginària pura).
• La potència transferida a una impedància imaginària pura sempre val zero.
Per tant, la taula queda: freqüència (Hz) 7.000 Hz 12.809 Hz Impedància ZL Potència transferida a ZL (W) -453 (real negativa) -53mW (la càrrega entrega pot.) -146 j (imag. pura) 0W ...