Examen Final Tardor 2012 (2014)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2014
Páginas 5
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

Senyals i Sistemes ETSETB-UPC Examen final 9 de gener de 2013 Duració: 3h • Entregui cada exercici per separat • No es permet l'ús de cap tipus de material auxiliar • Les notes provisionals es publicaran abans del 23-I. Un cop publicades es donarà un marge de quatre dies per presentar al·legacions Antoni Gasull, Asunción Moreno, Josep Salavedra, Elisa Sayrol, Sisco Vallverdú ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercici 1 Es defineix la funció de correlació creuada, o simplement funció de correlació, entre dos senyals reals 𝑥𝑥(𝑡𝑡) i 𝑦𝑦(𝑡𝑡) com: ∞ 𝑟𝑥𝑦 (𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝜏) 𝑦𝑦(𝜏) 𝑑𝜏 −∞ En el cas particular de que 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) es coneix com a funció d’autocorrelació. Es demana: a) Obtingui la correlació 𝑟𝑥𝑦 (𝑡𝑡) pel cas 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡𝑡) i 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑢(𝑡𝑡 − 1).
b) De les següents igualtats demostri la que és correcte 1) 𝑟𝑥𝑦 (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 2) 𝑟𝑥𝑦 (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(−𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 3) 𝑟𝑥𝑦 (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(−𝑡𝑡) c) Donades les transformades de Fourier, 𝑋(𝑓) i 𝑌(𝑓), de dos senyals reals qualssevol, obtingui 𝑅𝑥𝑦 (𝑓), la transformada de Fourier de la correlació. Es pot dir que �𝑅𝑥𝑦 (𝑓)� = |ℱ{𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡)}|? d) Quina característica o paràmetre d’un senyal 𝑥𝑥(𝑡𝑡) mesura la seva funció d’autocorrelació a l’origen, 𝑟𝑥𝑥 (0)? e) Demostri que la transformada de Fourier, 𝑅𝑥𝑥 (𝑓), de la funció d’autocorrelació és real i positiva. A partir d’això analitzi si té algun efecte sobre l’autocorrelació la introducció d’un retard en el senyal 𝑥𝑥(𝑡𝑡).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercici 2 L’esquema de la figura 1 permet generar senyals periòdics y1 (t) y2 y 2 (t) 1 x −1 x 0 (t) x x(t) y3 y 3 (t) 1 cos(2πf 0 t) x y4 y 4 (t) x y5 y 5 (t) x Figura 1 Suposant que x 0 (t) = 1, es demana: 𝑦𝑦1 (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑦𝑦2 (𝑡𝑡) = � 1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≥ 0 −1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) < 0 1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≥ 0 𝑦𝑦3 (𝑡𝑡) = � 0, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) < 0 𝑦𝑦4 (𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≥ 0 0, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) < 0 𝑦𝑦5 (𝑡𝑡) = |𝑥𝑥(𝑡𝑡)| a) Dibuixi cadascun dels senyals y i (t) i indiqui quin és el període en cada cas (en funció de 𝑓0 ) b) Trobi la transformada de Fourier i el desenvolupament en sèrie de Fourier de y 2 (t) c) Trobi la transformada de Fourier de y5 (t ) i representi-la de manera aproximada d) Doni una possible freqüència de mostratge pel senyal y1 (t ) . En aquest cas, quin filtre h(t) li permetria recuperar el senyal previ al mostratge? (justifiqui la resposta) e) Si es vol mostrejar els senyals de sortida y 2 (t ) i y5 (t ) , compari els filtres antialiasing que faria servir en cada cas? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercici 3 Consideri el sistema de la figura 2, amb ℎ[𝑛]𝑠𝑠 𝑔[𝑛] la resposta impulsional de dos sistemes lineals i invariants, i els conversors analògic-digital (AD) i digital-analògic (DA) ideals.
x(t) AD fm x[n] z[n] g[n] h[n] y[n] DA fm y(t) ho[n] cos(2πFan) Figura 2 ℎ[𝑛] = � 1 √2 𝑛 � cos(2𝜋𝐹𝑜 𝑛) · 𝑢[𝑛] ; 𝐹𝑜 = 1 4 𝐺(𝑧) = 𝑇𝑍{𝑔[𝑛]} = 1 − 𝑧 −2 ; sent 𝑔[𝑛] un sistema causal Si el senyal d’entrada és 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = −2cos(2𝜋𝑓1 𝑡𝑡) + 3 cos(2𝜋𝑓2 𝑡𝑡), amb 𝑓1 = 1𝑘𝐻𝑧, 𝑓2 = 3𝑘𝐻𝑧 i 𝑓𝑚 = 8𝑘𝐻𝑧 a) Analitzi la invariància del sistema digital complet, 𝑦𝑦[𝑛] = 𝑇{𝑥𝑥[𝑛]} b) Trobi 𝐻(𝑧) = 𝑇𝑍{ℎ[𝑛]} i representi el seu diagrama de pols-zeros (nota: cos(2𝜋𝐹𝑜 𝑛) = 𝑒 𝑗2𝜋𝐹𝑜 𝑛+𝑒 −𝑗2𝜋𝐹𝑜 𝑛 2 ) c) Trobi 𝐻(𝐹) i representi el seu mòdul al quadrat, especificant els valors de màxims i mínims, així com les freqüències a les que es produeixen d) Trobi la resposta freqüencial corresponent a ℎ𝑜 [𝑛] i representi el seu mòdul (o mòdul al quadrat) 𝑓 e) Si 𝐹𝑎 = 2 , trobi 𝑦𝑦[𝑛] i 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑓𝑚 Consideri ara que es disposa de la seqüència 𝑥𝑥[𝑛] obtinguda de la discretització de 0.5 segons del senyal 𝑥𝑥(𝑡𝑡). Es demana: Trobi 𝑋(𝐹), la transformada de Fourier de 𝑥𝑥[𝑛] (recordi que 𝑓𝑚 = 8000𝑚𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠/𝑠𝑠) i representi aproximadament el seu mòdul g) Fent la transformada discreta de Fourier, 𝑋[𝑘] amb N=5000 punts, trobi el valor de 𝑘, en l’interval 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁/2, on es troba el màxim de |𝑋[𝑘]| i el valor d’aquest màxim h) Si es vol trobar una bona aproximació de 𝑦𝑦[𝑛] a partir de la transformada discreta de Fourier inversa de 𝑌[𝑘], calculada com 𝑌[𝑘] = 𝑍[𝑘] · 𝐻𝑜 [𝑘], discuteixi quin és el mínim valor de N que es pot fer servir per calcular les transformades i) Escrigui les instruccions per implementar el sistema de la figura 2 amb Matlab f) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Senyals i Sistemes ETSETB-UPC Examen final 9 de gener de 2013 Duració: 3h • Entregui cada exercici per separat • No es permet l'ús de cap tipus de material auxiliar • Les notes provisionals es publicaran abans del 23-I. Un cop publicades es donarà un marge de quatre dies per presentar al·legacions Antoni Gasull, Asunción Moreno, Josep Salavedra, Elisa Sayrol, Sisco Vallverdú ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercici 1: a) rxy (t) = u(−t − 1) + e−(t+1) u(t + 1) b) rxy (t) = x(t) ∗ y(−t) c) 1) R xy (f) = X(f) ∙ Y(−f) 2) Sí (aplicar propietat de simetria –hermiticitat– de la transformada) d) Ex e) 1) R xx (f) = |X(f)|2 .
2) No té cap efecte el retard.
Exercici 2: a) 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇3 = 𝑇4 = 2 · 𝑇5 = 1/𝑓𝑜 b) 𝑌2 (𝑓) = ∑∞ 𝑖=−∞ 𝑎𝑖 𝛿(𝑓 − (2𝑠𝑠 − 1)𝑓𝑜 ); 𝑎𝑖 = 𝑦𝑦2 (𝑡𝑡) = ∑∞ 𝑖=1 2𝑎𝑖 cos(2𝜋(2𝑠𝑠 − 1)𝑓𝑜 𝑡𝑡); c) 𝑌5 (𝑓) = ∑∞ 𝑖=−∞ 𝑏𝑖 𝛿(𝑓 − 2𝑠𝑠𝑓𝑜 ); 𝑏𝑖 = 2 (−1)𝑖−1 𝜋(2𝑖−1) 2 𝜋(4𝑖 2 −1) (−1)𝑖−1 d) 𝑓𝑚 ≥ 2𝑓𝑜 , ℎ(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑐(𝑓𝑚 𝑡𝑡) e) Els dos senyals tenen amplada de banda infinita. Si es volen deixar passar els harmònics superiors a 0.01 del màxim, per 𝑦𝑦2 es triarà 𝑠𝑠 ≈ 50, i per 𝑦𝑦5 es triarà 𝑠𝑠 ≈ 5, i per tant, les amplades de banda del filtre antialiasing son: 𝐵2 ≈ 100𝑓𝑜 i 𝐵5 ≈ 10𝑓𝑜 Exercici 3: a) Sistema NO invariant b) 𝐻(𝑧) = 1 1+0.5𝑧 −2 Dos zeros a l’origen: 𝑧1 = 𝑧2 = 0 Dos pols imaginaris: 𝑝1 = 𝑝2∗ = c) 𝐻(𝐹) = 1 1+0.5𝑒 −𝑗4𝜋𝐹 |𝐻(𝐹)|2 = 𝑗 √2 4 5 + 4 cos(4𝜋𝐹) Mínims a 𝐹 = ⋯ − 0.5, 0, 0.5 … amb valor 4 5 Màxims a 𝐹 = ⋯ − 0.25, 0.25 … amb valor 4 1−𝑒 −𝑗4𝜋𝐹 d) 𝐻𝑜 (𝐹) = 1+0.5𝑒 −𝑗4𝜋𝐹 |𝐻𝑜 (𝐹)|2 = 8 1 − cos(4𝜋𝐹) 5 + 4 cos(4𝜋𝐹) e) 𝑦𝑦[𝑛] = 2 cos�2𝜋𝐹𝑦 𝑛� , 𝑎𝑚𝑏 𝐹𝑦 = 1 4 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 2 cos�2𝜋𝑓𝑦 𝑡𝑡� , 𝑎𝑚𝑏 𝑓𝑦 = 2𝑘𝐻𝑧 1 8 f) 𝐿 = 4000, 𝐹1 = , 𝐹2 = 𝑋(𝐹) = − sin�𝜋𝐿(𝐹 − 𝐹1 )� sin�𝜋(𝐹 − 𝐹1 )� + 3 8 𝐿−1 (𝐹−𝐹1 ) 2 𝑒 −𝑗2𝜋 − sin�𝜋𝐿(𝐹 + 𝐹1 )� sin�𝜋(𝐹 + 𝐹1 )� 3 sin�𝜋𝐿(𝐹 − 𝐹2 )� −𝑗2𝜋𝐿−1(𝐹−𝐹2 ) 3 sin�𝜋𝐿(𝐹 + 𝐹2 )� −𝑗2𝜋𝐿−1(𝐹+𝐹2 ) 2 2 𝑒 + 𝑒 2 sin�𝜋(𝐹 − 𝐹2 )� 2 sin�𝜋(𝐹 + 𝐹2 )� g) 𝑘𝑚𝑎𝑥 = 1875 |𝑋[𝑘𝑚𝑎𝑥 ]| = 6000 h) 𝑁 ≥ 𝐿 + 𝐿ℎ𝑜 − 1 ≈ 4019 , amb 𝐿 = 4000 𝑠𝑠 𝐿ℎ𝑜 ≈ 20 i) 𝐿−1 (𝐹+𝐹1 ) 2 𝑒 −𝑗2𝜋 Les instruccions bàsiques son: >> fm=8000; F1=1/8; F2=3/8; Fa=F2; % Paràmetres inicials Senyals i Sistemes ETSETB-UPC Examen final 9 de gener de 2013 Duració: 3h • Entregui cada exercici per separat • No es permet l'ús de cap tipus de material auxiliar • Les notes provisionals es publicaran abans del 23-I. Un cop publicades es donarà un marge de quatre dies per presentar al·legacions Antoni Gasull, Asunción Moreno, Josep Salavedra, Elisa Sayrol, Sisco Vallverdú ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- >> L=fm/2; n=0:L-1; % Longitud del senyal digital >> x=-2*cos(2*pi*F1*n)+3*cos(2*pi*F2*n); % Senyal digital entrada >> z=x.*cos(2*pi*Fa*n); % Senyal modulat >> b=[1 0 -1]; a=[1 0 0.5]; % Coeficients filtre IIR Ho(z) >> y=filter(b,a,z); % Senyal filtrat de sortida ...