Limites y continuidad (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 73
Fecha de subida 29/09/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

Anààlisi M Mateemàttica I Límits i Continuïtat Anààlisi M Mateemàttica I Límit d’una funció en un punt • Comencem per introduir la idea de límit d’una funció en un punt del seu domini.
• Sigui l un valor del rang i c un valor del domini, si es compleix que quan els valors de la variable x són propers de d c, els l valors l d la de l funció f ió f(x), f( ) prenen valors l propers de l, direm que la funció té el límit l quan x ss’apropa apropa a c i escriurem lim f ( x)  l x c Anààlisi M Mateemàttica I Límit d’una funció • Es molt important notar que en la idea de límit no intervé el valor de la funció en el punt c, c f(c).
f(c) • Es a dir, no importa que la funció no estigui definida en c, ni si esta definida, quin és el valor que pren la funció. El que en realitat importa és com està definida la funció f a prop de c i si aquests va valors o s só són p propers ope s de l Anààlisi M Mateemàttica I Límit d’una funció Anààlisi M Mateemàttica I Límits laterals • Ens podem apropar al valor c tan per la dreta com per l’esquerra, es a dir, prenent valors més grans que c o bé valor més petits que c • Això dona lloc als dos límits laterals lim f ( x) x c lim f ( x) x c • Si la funció té límit s’ha de verificar que tots els límits siguin iguals lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) x c x c x c Anààlisi M Mateemàttica I Límit en un punt • Definició: Límit en un punt.
punt Sigui f una funció de variable real definida com a mínim en un conj nt de la forma (c  p, c)  (c, c  p ) conjunt • La funció f té límit l en el punt c, es a dir lim f ( x)  l x c • Si i només si, per a qualsevol ε>0, podem trobar un δ>0 tal que si 0<|x-c|<δ, 0<|x c|<δ es compleix que |f(x)-l|<ε Anààlisi M Mateemàttica I Límit en un punt Per a qualsevol   0 hi ha un   0  lim f ( x)  l   tal que si 0  x  c   aleshores x c   f ( x)  l   Anààlisi M Mateemàttica I Límit en un punt • En general, general el valor δ necessari per a que es compleixi la condició depèn del valor que prengui ε. En E generall com més é petit tit sigui i i ε més é petit tit haurà de ser δ Límit en un punt Anààlisi M Mateemàttica I • Per P exemple, l provem que lim(3 x  5)  1 x 2 • Donat un ε>0, hem de trobar el valor de δ que fa que els valors l de d x, tals t l que 0<|x-2|<δ 0 | 2| δ satisfan ti f que (3 x  5)  1  3x  6   • La relació anterior és equivalent a  3x  6  3 x  2    x  2  3 • Per tant, només cal fer δ=ε/3.
Límit de f constant Anààlisi M Mateemàttica I • Tenim que, que per a la funció constant f(x) f(x)=aa lim a  a x c • En efecte, efecte sigui ε>0 hem de trobar un δ>0 tal que si 0  xc   aa  0  • En aquest q cas sempre p es verifica q que ||a-a|=0<ε | i per tant podem prendre per a δ>0 qualsevol valor positiu Límit de f(x)=x f(x) x Anààlisi M Mateemàttica I • Provem ara que lim x  c x c • Prenem un valor ε>0, hem de trobar un valor δ>0 tal que si 0  xc   xc  • Per tant en aquest cas només cal fer δ=ε Anààlisi M Mateemàttica I Limits de funcions Límit de f(x)=|x| f(x) |x| • Tenim que Anààlisi M Mateemàttica I lim x  c x c • Fixem un valor ε>0, aleshores hem de trobar un valor δδ>00 tal que si s 0  xc   x  c  • Notem qque la desigualtat g triangular g ens ppermet afirmar que x  c  xc • Aleshores només cal fer δ=ε, ja que si 0  xc   x  c  Anààlisi M Mateemàttica I Límit d’una funció en un punt • La definició de límit es pot formular de maneres diferents que poden ser més útils en moments determinats. Val a dir que les expressions següents són equivalents lim f ( x)  l lim  f ( x)  l   0 lim f ( x)  l  0 lim f (c  h)  l x c x c x c h 0 Anààlisi M Mateemàttica I Límits Laterals • Definició: Límit per l’esquerra. Sigui f una funció definida com a mínim en un interval de la forma (c-p,c) Per a qualsevol   0 hi ha un   0  lim f ( x)  l   tal qque si c    x  c aleshores x c  f ( x)  l    Anààlisi M Mateemàttica I Límits Laterals • Definició: Límit per la dreta. Sigui f una funció definida com a mínim en un interval de la forma (c,c+p) Per a qualsevol   0 hi ha un   0  lim f ( x)  l   tal que si c  x  c   aleshores x c  f ( x)  l    Anààlisi M Mateemàttica I Límits laterals • Els límits laterals ens permeten esbrinar si un límit existeix.
existeix Sigui la funció • Demostrem q que 1, x  0 f ( x)    1, x  0 lim f ( x) • No eexisteix istei x 0 Anààlisi M Mateemàttica I Límits Laterals • La funció es constant en cada una de les seves branques. Així doncs tenim que lim f ( x)  1, x 0 lim f ( x)  1 x 0 • Com els límits laterals són ó dif diferents t no f ( x) existeix el límit lim x 0 Anààlisi M Mateemàttica I Unicitat del límit • Teorema (Unicitat del límit): El límit d’una punt, si existeix, és únic.
funció en un p Si lim f ( x)  l , i lim f ( x)  m  l  m x c x c • Suposem que l≠m. Aleshores podem fer ε=|l-m|/2 i com li m f ( x )  l x c • Hi ha h d’haver d’h un valor l δl>00 tal t l que sii 0<|x-c|<δ 0 | | δl aleshores |f(x)-l|<|l-m|/2=ε Unicitat del límit Anààlisi M Mateemàttica I • De la mateixa manera com lim f ( x)  m x c • Hi ha d’haver un valor δm>0 tal que si 0<|x-c|<δm aleshores |f(x)-m|<|l-m|/2=ε • Si prenem el valor δ com el més petit de δl i δm , es complirà a l’hora que Si 0  x  c    f ( x)  l  l m 2 , i f ( x)  m  l m 2 Unicitat del límit Anààlisi M Mateemàttica I • De manera que es compleix que l  m  l  f ( x)  f ( x)  m  l  f ( x)  f ( x)  m  f ( x)  l  f ( x)  m  l m 2  lm 2  l m • I per tant tenim i una contradicció di i i s’ha h de d complir que l=m.
Anààlisi M Mateemàttica I Operacions amb límits • Teorema: Si es compleix que li f ( x)  l , i lim lim li g ( x)  m x c x c • Aleshores a ) lim  f ( x)  g ( x)   l  m x c b) lim  f ( x)    l ,    x c c) lim  f ( x) g ( x)   lm x c Operacions amb límits Anààlisi M Mateemàttica I • a) Sigui ε>0, ε>0 hem de trobar un δ>0 tal que si 0  x  c   , aleshores ( f ( x)  g ( x)  (l  m)   • Notem N que es compleix l i que ( f ( x)  g ( x)  (l  m)  ( f ( x)  l )  ( g ( x)  m)  f ( x)  l  g ( x)  m • Ara bé, f i g tenen límits respectius l i m, per tant fixat ε/2, podem trobar valors δl>0 i δm>0 de manera que si 0  x  c   l tenim f ( x)  l   / 2 si 0  x  c   m tenim g ( x)  m   / 2 Operacions amb límits Anààlisi M Mateemàttica I • Ara bé, si prenem δ>0 com el més petit dels δl>0 i δm>0 podem escriure que Si 0  x  c   , aleshores ( f ( x)  g ( x)  (l  m)  f ( x)  l  g ( x)  m   /2 /2   • El que completa l t la l demostració d t ió Anààlisi M Mateemàttica I Operacions amb límits • b) S S’han han de considerar els casos α=0 i α≠0.
α≠0 El cas α=0 correspon a la funció constant αf(x)=0, que ja sabem que té límit.
límit • Si α≠0 tenim que ε/|α|>0. Com que la funció f té límit, una vegada fixat el valor ε/|α|>0 sabem que hi ha un valor δ>0 tal que sii 0  x  c   aleshores l h f ( x)  l   /  • De l’última desigualtat es dedueix que  f ( x)  l     f ( x)   l   Operacions amb límits • c) Volem demostrar que si fixem ε>0, ε>0 podem trobar Anààlisi M Mateemàttica I un valor δ>0 tal que si 0  x  c    f ( x) g ( x)  lm l  • Ara bé, bé f i g són contínues i es compleix si 0  x  c  1 tenim f ( x)  l  1 si 0  x  c   2 tenim g ( x)  m   2 • Ara bé b com f ( x)  f ( x)  l  l Operacions amb límits Anààlisi M Mateemàttica I • Es compleix que f ( x)  f ( x)  l  l  f ( x)  l  l  1  l  M • I com tenim la relació f ( x) g ( x)  lm  m( f ( x)  l )  f ( x)( g ( x)  m) • En aplicar la desigualtat triangular un altra vegada f ( x) g ( x)  lm  m f ( x)  l  f ( x) g ( x)  m  m 1  M  2 Operacions amb límits Anààlisi M Mateemàttica I • Ara com ε1 i ε2 són arbitraris, podem escollir   1   2 m     ,    2   2 M    • Tindrem que si δ=min{δ1, δ2} f ( x) g ( x)  lm  m 1  M  2   m 2 m   M 2M  Anààlisi M Mateemàttica I Límits de Polinomis • Notem que el teorema anterior ens permet enunciar el resultat següent li x  c , k   lim k k x c • Ja que g(x)=xk no és més que el producte de la funció f(x) f(x)=xx multiplicada per ella mateixa k vegades Anààlisi M Mateemàttica I Límits de Polinomis • El resultat anterior amb el valor del límit de la funció suma ens permet enunciar també el resultat següent lim Pn ( x)  lim  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0  x c x c  P(c)  an c n  an 1c n 1    a1c  a0 • Es a dir les funcions polinòmiques tenen límit quan x→c, essent c un número real Límit de la funció recíproca Anààlisi M Mateemàttica I • Teorema: Si 1 1 lim g ( x)  m, i m  0, aleshores lim  x c x c g ( x ) m • Notem en primer lloc que g ( x)  m 1 1   g ( x) m g ( x) m • Ara com g és contínua si fixem ε=|m|/2>0 podem trobar un valor δ1>0 tal que si si 0  x  c  1 aleshores g ( x)  m  m / 2 Límit de la funció recíproca Anààlisi M Mateemàttica I • Ara bé si m 1 2   g ( x)  g ( x) m 2 • De manera que g ( x)  m 1 1 2    2 g ( x)  m g ( x) m g ( x) m m • Considerem ara el valor ||m||2ε/2>0.
Anààlisi M Mateemàttica I Límit de la funció recíproca • Com g és contínua podem trobar un valor δ2>0 tal que si 2 si 0  x  c   2 aleshores g ( x)  m  m  / 2 • Ip prenent el valor δ=min{δ { 1, δ2} tenim qque 1 1 2 si 0  x  c   , aleshores   2 g ( x)  m   g ( x) m m Anààlisi M Mateemàttica I Límit de la funció quocient • Teorema: Si li f ( x)  l i lim lim li g ( x)  m, essentt m  0 x c • Aleshores x c f ( x) l lim  x c g ( x ) m • N Només é call tenir t i en compte t que ell quocient i t es pott escriure com el producte f ( x) 1  f ( x) g ( x) g ( x) Anààlisi M Mateemàttica I Límit del quocient de polinomis • El quocient de polinomis és un cas particular del resultat anterior.
anterior Podem escriure que si P(x) i Q(x) són polinomis, es compleix que P ( x ) P (c )  lim x c Q ( x ) Q (c ) • Sempre i quan c no sigui un zero del polinomi Q(x), es a dir Q(c)≠0 Anààlisi M Mateemàttica I Límits a l'infinit • Considerem una funció com 1 f ( x)  1  x2 • Notem que si x es fa tan gran com volem, tan si pren un valor p p positiu com si és negatiu, g , la funció s’apropa cada vegada més al valor 0. Es a dir si x    f ( x)  0 Anààlisi M Mateemàttica I Límits a l’infinit • Escrivim com a convenció que si x es fa tan gran com volem prenent valors positius x→+∞ mentre que si es pot fer tan gran com volem prenent valors positius x→ x→-∞ ∞ . En general si x es pot fer tan gran com volem prenen els valors que sigui ficarem x→∞ • De la mateixa manera si els valors de la funció es fan tan gran com volem ficarem f(x)→∞, f(x)→∞ o bé f(x)→+∞, f(x)→-∞ Anààlisi M Mateemàttica I Límits a l’infinit • Definim aleshores els límits a l’infinit o límits asimptòtics com • Direm que lim f ( x)  l x  • Si donat un valor ε>0, podem trobar un valor A>0 tal que si |x|>A, |x|>A tenim que |f(x)-l|<ε.
|f(x)-l|<ε Anààlisi M Mateemàttica I Límits a l’infinit • Si donat un valor ε>0, podem trobar un valor A>0 tal que si x>A, x>A |f(x)-l|<ε escriurem que lim f ( x)  l x  • Si donat un valor ε>0,, ppodem trobar un valor A>0 tal que si x<-A, |f(x)-l|<ε escriurem que li f ( x)  l lim x  Límits infinits Anààlisi M Mateemàttica I • Considerem un altra vegada la funció 1 , x  1 f ( x)  1 x • Però ara observem que si x→ x→-1 1, la funció es pot fet tan gran com volem, tan si ens apropem per la dreta com si ho fem per ll’esquerra esquerra. Es a dir x  1  f ( x)   Anààlisi M Mateemàttica I Límits infinits • Si en apropar-nos a un valor de la variable la funció pren valors tan gran com volem direm que la funció tendeix a l’infinit • Més Mé concretament, t t sii per a cada d valor l A>0, A>0 podem trobar un δ>0, tal que si 0<|x-c|< δ es compleix l i que |f(x)|>A |f( )| A escriurem i que lim f ( x)   x c Anààlisi M Mateemàttica I Límits Infinits • Els límits infinits es poder trobar només en apropar-nos al valor de la variable per la dreta o per l’esquerra podem trobar un valor δ>0,, tal • Si donat A>0,, p que si 0<x-c<δ, es compleix que |f(x)|>A ca e ficarem li  f ( x)   lim x c • Mentre M t que sii això i ò passa per a valors l 0<c-x<δ 0< <δ lim f ( x)   x c Anààlisi M Mateemàttica I Indeterminacions • Arribats en aquest punt, cal recordar que el p cap p número i de símbol ∞ no representa vegades hi ha operacions algebraiques on que no estan ben definides. Aquest q intervé q tipus d’expressions reben el non de g indeterminacions. Són les següents: 0 , 0  , 0  ,     1 , 00 ,  0 Anààlisi M Mateemàttica I Funcions Afitades • D Definició: fi i ió Funció F ió afitada.
fi d Direm Di que una funció de variable real f, és afitada en el seu domini de definició, definició si hi ha un valor positiu M, M tal que es compleix que f ( x)  M , si x  D( f ) • Un exemple és la funció f(x)=sin(x), doncs sabem que sin x  1, per a qualsevol x   Anààlisi M Mateemàttica I Funcions Afitades • De la mateixa manera es pot definir una funció afitada en un entorn d d’un un cer valor de la variable x. Si hi ha un valor M>0 tal que |f(x)|≤M quan x→a direm que la funció és afitada en un entorn de a • Aquesta condició és menys restrictiva que l’anterior doncs, una funció pot ser afitada en un interval però tenir límit infinit en un altre interval Funcions Afitades Anààlisi M Mateemàttica I • Teorema: Les funcions amb límit són afitades en un entorn. Es a dir si lim f ( x)  l x c • La funció és afitada quan x→c.
• En efecte de la definició de límit es compleix que donat un ε>0, hi ha un δ>0 tal que si • Però 0  x  c    f ( x)  l   f ( x)  | l | f ( x)  l    f ( x)    | l | • I f és afitada en un entorn de c Anààlisi M Mateemàttica I Continuïtat en un punt • Definició: Sigui f una funció definida en un interval obert de la forma (c-p,c+p). Direm que f és contínua en c si i només si lim f ( x)  f (c) x c • Per a que la funció f no sigui contínua en c, o bé no té límit quan x→c o bé el límit no és f(c).
f(c) En el primer cas parlarem de discontinuïtat essencial, mentre que en el segon direm di que la l discontinuïtat di ti ït t és é evitable it bl Anààlisi M Mateemàttica I Continuïtat en un punt • Les discontinuïtats essencials corresponen a funcions que en x=c tenen un salt o bé un límit infinit Les discontinuïtats evitables es poden infinit.
evitar redefinit la funció de manera que el límit sigui i i f(c).
f( ) Anààlisi M Mateemàttica I Funció contínua • La diferència entre funció contínua en un punt i u c ó aambb límitt een u un pu puntt és que een eel cas de funció les funcions contínues la funció ha d’estar necessàriament definida en el punt xx=c.
c. Així Per a cada   0 hi ha un   0  lim f ( x)  f (c)   tal que si x  c   aleshores x c   f ( x )  f (c )   Anààlisi M Mateemàttica I Funcions contínues • Els polinomis són funcions contínues en tots els punts del seu domini ja que lim P( x)  P (c) x c • Les funcions racionals també seran contínues excepte t en els l punts t on ell denominador d i d s'anul·la ' ll P ( x ) P (c ) lim  , si Q(c)  0 x c Q ( x ) Q (c ) Funcions Contínues Anààlisi M Mateemàttica I • També són contínues les funcions valor absolut lim x  c x c • I la funció rel quadrada lim x  c x c • Sempre i quan x≥0.
Operacions amb funcions contínues Anààlisi M Mateemàttica I • Teorema: Si f i g són contínues lim f ( x)  f (c), x c lim g ( x)  g (c) x c • Es compleix que – a) f+g és contínua en c – b) αff és contínua en c, α número real – c) fg és contínua en c – d)) ff/g g és contínua en c sempre p que q g( g(c)≠0 )≠ • La demostració es la mateixa que en el cas de les operacions p amb límits Anààlisi M Mateemàttica I Continuïtat de la funció composta • Teorema: Siguin f i g dues funcions de variable real i sigui h=f o g, la funció composta definida en el domini adequat.
d Al h Aleshores sii f i g són ó contínues í lim f ( x)  f (l ), ) i lim g ( x)  g (c) x g (c ) x c • Es compleix que la funció composta també és contínua i el seu valor és lim h( x)  lim( f  g )( x)  f ( g (c)) x c x c Continuïtat de la funció composta Anààlisi M Mateemàttica I • Si f és contínua en g(c), i g és contínua en c, escrivim si t  g ( x)  1 tenim f (t )  f ( g (c))   si x  c   tenim g ( x)  g (c)  1 • On hem fet δ1=ε2>0 en la definició de continuïtat de g Si combinem les dues definicions x  c    f ( g ( x))  f ( g (c))   • De manera que la funció f o g és contínua en x=c Continuïtats laterals Anààlisi M Mateemàttica I • Definició: – Una funció és contínua per la esquerra si i només si lim f ( x)  f (c) x c – Una funció és contínua per la dreta si i només si li  f ( x)  f (c) lim x c Anààlisi M Mateemàttica I Continuïtat en un punt • Lema: Una funció és contínua en un punt si i només si els seus límits laterals existeixen i són iguals f contínua en c  li  f ( x)  lim lim li  f ( x)  f (c) x c x c Anààlisi M Mateemàttica I Teorema de la funció intermèdia • Teorema: Sigui p>0 i suposem que per a tot x tal que 0<|x-c|<p es compleix que h( x )  f ( x )  g ( x ) • Aleshores, si lim h( x)  l  lim g ( x) x c x c • També es compleix que li f ( x)  l lim x c Anààlisi M Mateemàttica I Teorema de la funció intermèdia • Prenem un valor ε>0. Si p>0 és tal que 0  x  c  p  h( x )  f ( x )  g ( x ) • Prenem δ1>0 tal que 0  x  c  1  h ( x )  l    l    h ( x )  l   • I un δ2>0 tal qque 0  x  c   2  g ( x)  l    l    g ( x)  l   • Si pprenem δ=min{p,δ {p, 1,,δ2} tenim l    h( x )  f ( x )  g ( x )  l    f ( x )  l   Límits Trigonomètrics Anààlisi M Mateemàttica I • Provem que lim sin x  0 x0 • Notem que 0  sin x  x • I com li 0  0 i lim x 0 lim li x  0 x 0 • Es compleix que lim sin x  0 x 0 Límits Trigonomètrics • Provem ara que lim cos x  1 Anààlisi M Mateemàttica I x 0 • En aquest cas podem fer servir la relació sin 2 x  cos 2 x  1 • Que ens permet escriure la funció cos(x) com la funció composta cos x  1  sin 2 x • De manera que lim cos x  lim 1  sin 2 x  1 x 0 x 0 Anààlisi M Mateemàttica I Límits Trigonomètrics • Teorema: Les funcions sin(x) i cos(x) són contínues • Tenim que lim sin x  lim sin  c  h  x c • I com h 0 sin( i (c  h)  sin i c cos((h)  cos c sin( i ( h) • Si pprenem límits lim sin(c  h)  sin c lim cos(h)  cos c lim sin(h) h 0 h 0 h 0  sin c 1  cos c  0  sin c • El que prova que la funció sin(x) és contínua. La continuïtat de cos(x) ( ) es ppot pprovar de manera similar Límits Trigonomètrics Anààlisi M Mateemàttica I • També podem provar que sin i x lim  1, x 0 x 1  cos x lim 0 x 0 x • Si 0<x<π/2 es compleix la relació sin x  x  tan x • Si dividim per sin(x) x 1 sin i x 1   cos x  1 sin x cos x x Límits Trigonomètrics Anààlisi M Mateemàttica I • D’un altra banda, com cos( x)  cos( x) sin( x)   sin( x) • La relació anterior també és vàlida si x<0.
Finalment com lim cos x  1  lim1 x 0 • Resulta Res lta que q e x 0 sin x lim 1 x 0 x Anààlisi M Mateemàttica I Límits Trigonomètrics • Per a demostrar el segon límit notem que si x pren valors petits sabem que cos(x)≠0 i per tant 1+cos(x)≠0. De manera que 1  cos x 1  cos x 1  cos x 1  cos 2 x   x x 1  cos x x 1  cos x  sin 2 x  sin x   sin x      x 1  cos x   x   1  cos x  • I si prenem el límit quan x→0 resulta 1  cos x 0 x 0 x lim Anààlisi M Mateemàttica I Teoremes de Continuïtat • Teorema eo ema de Bolzano: olzano: S Si f(x) és co contínua t ua ddinss de l’interval tancat [a,b] i pren valors de signe contrari en els extrems f(a)f(b)<0, hi ha com a mínim un punt α dins de [a,b] tal que f(α)=0 • Sigui f(a)<0 i f(b)>0. Considerem el conjunt A   x   a, b  : f ( x)  0 • Com A és un subconjunt de [a,b], f és contínua en tots els ppunts de A. Com A és un conjunt j afitat (per b) prenem el valor α com el més gran de tots ells Anààlisi M Mateemàttica I Teoremes de Continuïtat • Aleshores necessàriament f(α)=0, doncs si fos f(α)<0, com f és contínua hi hauria punts en el entorn de mida δ de α en la que la funció seria negativa. Però com els punts que compleixen α<x<α+δ són més grans que α, aquest no podria ser el valor màxim del conjunt A • De la mateixa manera es justifica que no és possible que f(α)>0 i per tant només pot ser que f(α)=0 Anààlisi M Mateemàttica I Teoremes de Continuïtat • Corol·lari: Si f és contínua dins de l’interval [a,b], aleshores pren tots els valors que hi ha entre f(a) i f(b). Es a dir si f(a)<c<f(b) hi ha un valor x de [a,b] tal que f(x)=c • En efecte, només cal aplicar el teorema de o a o a laa funció u c ó g(x) g(x)=f(x)-c.
f(x) c. Co Com g haa de Bolzano prendre el valor g(x)=0 en [a,b], per aquest valor de x g ( x)  0  f ( x)  c  f ( x)  c Anààlisi M Mateemàttica I Teoremes de Continuïtat • Teorema: Si f és contínua en el punt x=c, aleshores hi ha un entorn de c, c-δ<x<c+δ en el que la funció f és afitada p que q • Com f és contínua,, donat ε>0 es compleix x  c    f ( x )  f (c )   • O de d manera equivalent i l t c    x  c    f (c )    f ( x )  f (c )   • De manera que els valors de f(x) estan limitats Anààlisi M Mateemàttica I Màxim i Mínim absolut • C Corol·lari: l l i Si una funció f ió f és é contínua tí di d’un dins d’ interval tancat [a,b], la funció és afitada en aquest interval.
• El màxim absolut de la funció en el interval [a,b] és el valor M tal que f(x)≤M si x és un element de [a,b] [a b] • El mínim absolut de la funció en el interval [a,b] és el valor m tal que m≤ f(x) si x és un element de [a,b] Anààlisi M Mateemàttica I Teoremes de Continuïtat • Teorema del màxim i mínim: Si f és contínua en el interval tancat [a,b], té un màxim i un mínim absolut dins de [a,b] [a b] està afitada.
afitada El conjunt • Com f és contínua en [a,b] A   y   : y  f ( x), x   a, b   R ( f ) • Téé una fita fi superior i α i és é no buit, b i (f(a) (f( ) és é un valor del conjunt A). Hem de veure que hi ha un x de [a,b] tal que f(x)=α, el que provaria que f té un màxim en [a,b] Teoremes de Continuïtat Anààlisi M Mateemàttica I • Si no fos així i f(x)≠α, la funció g definida per 1 g ( x)    f ( x) • Seria contínua en [a,b] doncs el denominador no seria mai zero. Però com α és la fita superior de A, els valors de f(x) es poden p p tan com vulguem g de α apropar Teoremes de Continuïtat Anààlisi M Mateemàttica I • El que vol dir que per gran que sigui el valor M podem fer que 1 g ( x)  M   f ( x) • De manera que g seria contínua però no seria afitada el que no és possible.
• De manera similar es pot demostrar que també hi ha un valor x tal que f(x)=m Anààlisi M Mateemàttica I Teoremes de Continuïtat • Teorema: Si f és contínua en [a,b] i c és un valor entre el mínim m i el màxim M, m<c<M, hi ha un punt x de d [a,b] [ b] tall que f(x)=c f( ) • Com f és contínua hi ha un valor α de [a,b] tal que f( ) f(α)=m i un valor l β tal t l que f(β)=M.
f(β) M Sigui Si i la l funció f ió g(x)=f(x)-c. Tenim que g ( )  f ( )  c  M  c  0 g ( )  f ( )  c  m  c  0 • El teorema de Bolzano ens permet concloure que hi ha un punt en que g(x)=0, es a dir f(x)=c ...