Examen Parcial Otoño 2011 (2011)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuitos Lineales
Año del apunte 2011
Páginas 4
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Circuits Lineals - Examen parcial 7 de novembre de 2011 a les 14h Grup 70 - Professor Orestes Mas DEPARTAMENT DE TSC P1.
El circuit de la figura 1, anomenat biquad, sembla complex a primera vista però en realitat és senzill d'analitzar utilitzant mètodes sistemàtics. Anem a estudiar el seu comportament: Figura 1: Circuit sota estudi 1 2 R C .
1 1 2 s+ s+ 2 2 R2C R C Per trobar la funció de xarxa H(s) el primer que s'ha de fer és trobar el circuit transformat de Laplace sense condicions inicials: V ( s) R a) [4p] Demostreu que la funció de xarxa del circuit és H ( s)= o = ⋅ V g( s) R 1 2 Si gaudim de certa experiència en l'anàlisi de circuits, podem abordar aquest a base de descomposar-lo en 2 inversors i un sumador-inversor, però en aquest cas, per simplificar, procedirem a analitzar-lo per mètodes sistemàtics. La tècnica d'anàlisi sistemàtica en presència d'AO que hem vist a classe exigeix plantejar KCL als nodes A, B i C. Per fer-ho ens ajudem dels corrents i tensions anotats en vermell a la figura.
KCL en A (I 1 +I 2 +I 3 +I 4 =0): G1 V g +G2 V o1 +sCV o1+GV o2 =0 KCL en B( I 5+I 6 =0): GV o2+GV o =0 KCL en C( I 7+I 8 =0): GV o1+sCV o =0 ( )( ) ( ) G 2+Cs G 0 V o1 −G 1 V g ⋅ = 0 G G V o2 0 G 0 Cs V o 0 Per Cramer es troba Vo, i dividint per Vg es troba H(s): H (s )= G1G2 GCs(G 2+Cs)+G = 3 G1 G2 ⋅ 2 2 G C s +CG 2 s+G 2 expressió que, dividint per C2 i posant-la en funció de les resistències, queda: 1 2 R RC H (s )= ⋅ R1 2 1 1 s+ s+ 2 2 R2 C R C 2 q.e.d.
b) [1p] Sabent que un polinomi de segon grau es pot expressar en forma normalitzada 2 2 com s +2 ζ ωo s+ωo , calculeu els paràmetres  o i  corresponents al polinomi denominador de H(s) en funció dels elements del circuit. Expresseu la funció de xarxa en funció d'aquests paràmetres.
Per inspecció es veu que ω2o = 1 1 2 ζ ωo = , d'on s'obté: 2 i R2C R C 2 ω 2o R 1 R ζ= , i .
H (s)= ⋅ 2 ωo = 2R 2 RC R1 s +2 ζ ωo s+ω2o c) [1p] Utilitzant els valors R=1kΩ, R1=500Ω, R2=1kΩ i C=160nF, trobeu l'expressió de H(s) amb coeficients numèrics. Calculeu també els valors numèrics de  o i  .
Substituint valors en les expressions anteriors s'arriba a: ωo =6.250 rad/s , ζ=0,5 i H (s)=2⋅ 39.062.500 .
s +6.250 s+39.062.500 2 d) [2p] Dibuixeu amb el màxim de detall possible el diagrama de pols i zeros d'H(s).
Els zeros i pols d'H(s) són les arrels dels polinomis numerador i denominador, respectivament. Clarament el numerador és una constant per la qual cosa no hi ha zeros, i com que el denominador és un polinomi de grau 2, hi haurà dos pols que resulten ser complexes conjugats (ja que ζ<1): p1,2 =−3.125±5.412,7 j El diagrama pol-zero demanat es dibuixa a continuació (nota: els vectors no cal dibuixar-los, només els he introduït aquí perquè aporten informació addicional): e) [2p] Doneu la forma de la resposta lliure d'aquest circuit, i calculeu la durada aproximada del règim transitori.
La forma de la resposta lliure ve determinada pel tipus de pols introduïts pel circuit, que són els de la funció de xarxa. En el nostre cas, com que només n'hi ha dos i són un parell conjugat amb part real negativa, la resposta lliure serà una funció de tipus sinusoïdal esmorteïda, de la forma: −3.125 t A⋅e ⋅cos(5.412,7 t+ϕ) On es veu que l'exponent de l'exponencial és la part real dels pols i la freqüència del cosinus correspon a la part imaginària d'aquests mateixos pols. Les constants A i ϕ depenen dels residus i varien en cada cas segons l'excitació concreta del circuit.
La durada del transitori és aproximadament 5 vegades la constant de temps (τ) d'aquests pols, on τ és la inversa de la part real (en valor absolut) dels pols esmentats.
Matemàticament: 5 5 = =1,6 ms ∣ℜ {pol}∣ 3.125 durada=5 τ = f) [4p] Determineu l'expressió matemàtica completa de la resposta del circuit a una excitació de tipus graó unitari, u (t) .
Per determinar la resposta completa cal ajudar-nos de la transformació de Laplace: Trobem la resposta transformada i calculem la seva transformada inversa.
La resposta transformada és el producte de la funció de xarxa del circuit per la transformada de Laplace de l'excitació: V o (s)=H (s)⋅V g (s ) Substituint les funcions H(s) i Vg(s) pels seus valors i descomponent en fraccions simples, queda: k1 k2 k *2 2⋅39.062.500 V o (s)= 2 = + + (s +6.250 s+39.062.500) s s (s+3.125−5.412,7 j) (s+3.125+5.412,7 j) I calculant el valor dels residus pel mètode del cover up, s'obté k 1 =2 k 2 =−1+0.57735 j=−1+ 1 2 j= ∢150º √3 √3 Així, finalment, la resposta completa és: [ v o (t )= 2+ ] 4 −3.125 t ⋅e ⋅cos(5.412,7 t +150º) ⋅u(t ) √3 g) [2p] Expliqueu per quin valor de R2 aquest circuit es convertiria teòricament en un oscil·lador (resposta lliure de tipus sinusoïdal de durada infinita), com seria el diagrama de pols-zeros en aquest cas i quina seria la freqüència d'oscil·lació en Hz.
Per tal que el circuit tingui una resposta lliure de tipus sinusoïdal sense esmorteir (oscil·lador) cal que els pols del circuit estiguin sobre l'eix imaginari, és a dir, que tinguin part real nul·la. Això passa quan el factor d'esmorteïment ζ és zero. En aquestes condicions, el terme de grau 1 del polinomi denominador d'H(s) és zero, i això es pot aconseguir fent R2→∞. Com que aleshores el denominador de H(s) esdevé s2+ω2o , els pols són ±j ωo=±6.250 j i la freqüència del cosinus associat (freqüència d'oscil·lació) val justament 6.250 rad/seg o 994,72 Hz.
Suposem ara que excitem el circuit amb un senyal sinusoidal d'amplitud 0,9Vef i de freqüència variable, i que connectem a la sortida del circuit una càrrega ZL formada per un resistor de 270Ω en paral·lel amb un capacitor de 1nF.
h) [4p] Ompliu els espais en blanc de la taula següent: Per resoldre aquest apartat caldrà fer els següents passos: h.1) Determinar l'amplificació a cadascuna de les 2 freqüències que ens demanen. Per això caldrà calcular el valor de la variable ∣H ( j ω)∣ (amplificació) a cada freqüència, tenint en compte que h.2) Una vegada es ∣V̄o∣=∣H ( j ω)∣⋅∣V̄g∣ té H ( j ω)= H (s )|s = j ω .
l'amplificació, la tensió de sortida es troba amb .
h.3) Sabent la tensió a la sortida, la potència dissipada a la càrrega ZL és únicament la potència dissipada al resistor, atès que el capacitor no dissipa potència. Com que 2 els dos elements estan en paral·lel, la potència demanada val P L= ∣V̄ o(ef )∣ RL .
A partir de la funció de xarxa demostrada a l'apartat a) tenim: 39.062.500 6.2502 H ( j ω)=2⋅ =2⋅ 39.062.500−ω 2+6.250 jω 6.250 2−ω 2+6.250 jω i el mòdul: 6.2502 .
√(6.250 2−ω 2)2 +6.250 2 ω 2 ∣H ( j ω)∣=2⋅ Una vegada tenim aquest resultat només cal anar aplicant allò que s'ha dit, tenint en compte que ω=2πf. En fer-ho, obtenim els resultats que es consignen a la taula.
freqüència (Hz) Amplificació ∣H  j  ∣=∣Vo / Vg∣ Tensió eficaç a la sortida, ∣V̄o∣ Potència dissipada a la càrrega ZL Contínua (0 Hz) 2 2·0,9=1,8 Vef 12 mW 1509,5 Hz 1 0,9 Vef 3 mW ...