Problemes 3 (2010)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 3º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2010
Páginas 3
Fecha de subida 31/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Estad´ıstica. Llicenciatura en Ci`encies Ambientals Curs 2009–2010. Llista 3 1. Una companyia prove¨ıdora de productes qu´ımics te actualment en exist`encies 100 lliures de cert producte que ven als clients en lots de 5 lliures. Sigui X el nombre de lots comprats per un client seleccionat a l’atzar i suposem que la funci´o de probabilitat d’X ´es: x 1 2 3 4 PX (x) 0.2 0.4 0.3 0.1 Es demana calcular E(X) i V ar(X). Calculeu tamb´e el nombre esperat de lliures sobrants despr´es d’enviar la comanda al pr`oxim client, aix´ı com la seva vari`ancia.
2. La gen`etica ha identificat dos cromosomes sexuals X i Y en els ´essers humans.
Tothom t´e almenys un cromosoma X, i la pres`encia d’un cromosoma Y caracteritza el sexe mascul´ı. El daltonisme ´es causat per un al.lel recessiu del cromosoma X, que denotem per x. El cromosoma Y no t´e cap relaci´o amb el daltonisme. Aix´ı doncs, en funci´o de la defici`encia, hi ha tres genotips per a les dones i dos pels homes: Dones: XX (normal), Xx (portadora), xx (dalt`onica) Homes: XY (normal), xY (daltonic).
Una portadora i un home normal tenen un fill, que hereta un cromosoma sexual a l’atzar de cada progenitor. Es demana: (a) Trobeu la probabilitat que aquest fill sigui un home daltonic.
(b) Si la parella tingu´es tres fills, quina seria la probabilitat que exactament dos d’ells fossin homes daltonics.
(c) Si la parella tingu´es cinc fills, quin seria el n´ umero esperat d’homes daltonics? Quina seria la probabilitat que com a m`axim dos fossin homes daltonics? 3. Suposem que el percentatge de plantes de certa esp`ecie que es recuperen de manera espont`ania d’una plaga per insectes ´es del 25%. Si escollim a l’atzar 15 plantes de l’esp`ecie que pateixen la plaga, quina ´es la probabilitat que 3 o m´es es recuperin espont`aniament? Quina ´es la probabilitat que es recuperin menys de 3? I exactament 5? 4. A una piscifactoria es van marcar el 15% dels peixos, per tal de realitzar un estudi.
Un cop deixats anar amb els altres, i sense que es produ´ıs cap entrada de peixos ni cap baixa, es van anar capturant peixos de la piscifactoria amb reposici´o. Es demana: (a) Si volem capturar un peix dels marcats, quina ´es la probabilitat que calgui esperar exactament fins al set`e peix capturat per tal d ’obtenir un de marcat per primera vegada? (b) Si volem capturar 3 peixos dels marcats, quina ´es la probabilitat que calgui capturar exactament 12 peixos per a obtenir 3 de marcats? 5. Els individus d’una certa esp`ecie s’han distribu¨ıt a l’atzar en una zona geogr`afica de manera que el nombre d’individus per m2 ´es una variable de Poisson de mitjana 5.27 individus. Es demana: (a) Si examinem un quadre d’un m2 de la zona, quina ´es la probabilitat de trobar algun individu d’aquesta esp`ecie? (b) Quin ´es el n´ umero esperat d’individus en una superf´ıcie de 100m2 de la zona? I la desviaci´o? 6. El nombre de col`onies de bacteris de certa classe en unes mostres d’aigua contaminada t´e una distribuci´o de Poisson amb una mitjana de 1.2 per cent´ımetre c´ ubic.
(a) Si es prenen de manera independent quatre mostres d’un cent´ımetre c´ ubic d’aquesta aigua, calculeu la probabilitat que almenys una mostra tingui una o m´es col`onies de bacteris.
(b) Quantes mostres d’un cent´ımetre c´ ubic s’haurien de prendre de manera independent, com a m´ınim per tal de tenir una probabilitat no inferior a 0.999 de trobar almenys una col`onia de bacteris? 7. Sigui X una variable aleat`oria normal amb mitjana 100 i desviaci´o t´ıpica 15. Calculeu el valor de k tal que: (a) P (X ≤ k) = 0, 0094 (b) P (X ≥ k) = 0, 1093 (c) P (100 ≤ X ≤ k) = 0, 4778 8. Sigui X una variable aleatoria normal de mitjana µ i desviaci´o t´ıpica σ. Es demana: (a) Si σ = 10 i P (X ≤ 40) = 0, 0080, calculeu µ.
(b) Si σ = 5 i P (X ≥ 25) = 0, 0526, calculeu µ.
(c) Si σ = 15 i P (X ≤ 50) = 0, 9904, calculeu µ.
(d) Si µ = 5 i P (X ≤ 1) = 0, 0778, calculeu σ.
(e) Si µ = 30 i P (X ≤ 50) = 0, 9772, calculeu σ.
9. Sigui X la quantitat de radiaci´o que pot rebre un individu abans que li arribi la mort per aquesta causa. Suposem que X ´es normal, amb una mitjana de 400 unitats i una desviaci´o de 60 unitats.
(a) Per damunt de quin nivell de radiaci´o no sobreviuran m´es del 10% dels individus exposats a aquest nivell? (b) Quina ´es la probabilitat que sobrevisquin la meitat o m´es dels individus d’una mostra de mida 10 exposats a un nivell de 420 unitats? I d’una mostra de mida 100? 10. La concentraci´o de sodi en certes mostres de terra es distribueix normalment. Disposem d’un test qu´ımic que fa que la mostra agafi un cert color segons la concentraci´o de sodi. Si la concentraci´o ´es menor que 10, aleshores el test no reacciona i aix`o passa un 14% de les vegades. Si la concentraci´o est`a entre 10 i 50 el test ens d´ona un color groc i aix`o passa un 60.5% de les vegades i si la concentraci´o ´es superior a 50 el test ens d´ona un color vermell. Calculeu la concentraci´o mitjana i la desviaci´o t´ıpica.
11. El temps de reacci´o per a una mostra d’aigua contaminada a la que s’hi afegeix un cert reactiu es distribueix normalment amb µ = 5 i σ = 0.5 hores. Estem just controlant una d’aquestes reaccions i veiem que ja han passat 5 hores i encara no ha acabat. Quina ´es la probabilitat de que acabi durant la pr`oxima hora? 12. Es va descobrir que la conca dels rius que passen per grans concentracions urbanes estaven contaminades per mercuri. Sigui X el nivell de mercuri d’un d’aquests rius en parts per mili´o. Suposem que X segueix una distribuci´o normal de mitjana 0,25 i desviaci´o t´ıpica 0,08. Si agafem un riu que passa per una gran concentraci´o urbana a l’atzar, calculeu P (X ≤ 0, 3), P (X ≥ 0, 17), P (0, 2 ≤ X ≤ 0, 4) i P (0, 01 ≤ X ≤ 0, 49).
13. En uns laboratoris es realitzen dos tipus d’an`alisis sobre potabilitat d’aigua pel consum hum`a, diguem A i B. Si els dos tipus d’an`alisi es fan servir a l’atzar (´es a dir, ´es igual de probable fer servir un o l’altre), quina ´es la probabilitat (aproximada) que en 1000 an`alisis realitzats pels laboratoris, 475 o m´es hagin estat del tipus A? 14. A una col`onia de ping¨ uins afectada per certes emissions radioactives, l’u per mil dels seus individus pateix una determinada mutaci´o gen`etica. Si a la col`onia hi ha 2000 individus en aquest moment, es demana: (a) Amb quina probabilitat hi haur`a almenys un individu amb la mutaci´o gen`etica? (b) Com hauria de ser de gran la col`onia per tal que la probabilitat d’haber-hi almenys un individu amb la mutaci´o fos de 0.9 com a poc? (c) A la col`onia de 2000 individus, quina hauria de ser la probabilitat de mutaci´o m´ınima per tal que amb probabilitat no inferior a 0.5 , almenys hi hagi un individu de la poblaci´o amb la mutaci´o? ...