CMN 1r trimestre Examen 2011 diciembre + solucion (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Ingeniería de Sistemas Audiovisuales - 1º curso
Asignatura Calculo y metodos numericos
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 29/09/2014
Descargas 3
Subido por

Descripción

Toda la teoria del primer trimestre de calculo y métodos numéricos

Vista previa del texto

Examen de recuperaci´ on de la 1a parte de C´ alculo y M´ etodos Num´ ericos Respuestas 1. (2.5 puntos) a) (0.5 puntos) Sea f : D ✓ R ! R una funci´on con dominio D. Escribir la condici´on para que f sea estrictamente mon´otona creciente.
8 x, y 2 D tal que x < y, f (x) < f (y).
b) (0.5 puntos) Escribir expl´ıcitamente la condici´on de monoton´ıa creciente en sentido estricto para la funci´on f : (0, +1) ! (0, +1) definida por f (x) = xn , donde n 1.
8 x, y 2 (0, +1) tal que x < y, xn < y n .
c) (1.5 puntos) Probar por inducci´on que la funci´on definida en el apartado b) es estrictamente mon´otona creciente.
n = 1 f (x) = x es estrictamente mon´otona creciente porque, 8 x, y 2 (0, +1) tal que x < y, f (x) < f (y) si y s´olo si x < y, que es cierto por hip´otesis.
n ) n + 1 Sean x, y 2 (0, +1) tal que x < y. Por hip´otesis de inducci´on, xn < y n .
Como x > 0, x · xn < x · y n , y, como x < y, x · y n < y · y n . Por lo tanto, xn+1 = x · xn < x · y n < y · y n = y n+1 .
2. (2.5 puntos) Sean f (x) = 3e (x 2)2 y g(x) = arctan (x 2).
a) (1 punto) Usando las reglas de manipulaci´on r´ıgida de los gr´aficos, dibujar f y g por separado, incluyendo los valores de los extremos, las intersecciones con los ejes, las as´ıntotas, etc.
y y 3 ⇡ 2 g(x) f (x) 2 ⇡ 2 x 2 1 x b) (0.5 puntos) Dibujar los gr´aficos de f y g conjuntamente, se˜ nalando el punto de intersecci´on x0 .
y f (x) g(x) x x0 c) (1 punto) ¿Qu´e m´etodo num´erico podr´ıamos utilizar para aproximar el valor de x0 ? ¿A qu´e funci´on tendr´ıamos que aplicar este m´etodo? ¿Bajo qu´e condici´on podemos asegurar la convergencia de este m´etodo? Para aproximar el valor de x0 podr´ıamos aplicar el m´etodo de Newton a la funci´on diferencia 2 F (x) = f (x) g(x) = 3e (x 2) arctan (x 2).
Podemos asegurar la convergencia del m´etodo si el xi inicial se toma dentro de un intervalo I suficientemente cercano a la soluci´on x0 , es decir, cuando |x0 xi | < 2 .
F 00 (t) m´ax 0 t2I F (t) 3. (2.5 puntos) Sea f : [a, b] ! R una funci´on continua.
Rb a) (0.5 puntos) Escribir la definici´on de a f (x) dx como l´ımite de sumas de CauchyRiemann y dar tambi´en una interpretaci´on geom´etrica.
Z b f (x) dx = l´ım n!+1 a X f (⇠i ) x, 1in donde ⇠i 2 [xi 1 , xi ] y x = (b a)/n, y xi = a + i · x, para todo 0  i  n.
Rb Geom´etricamente, a f (x) dx es la suma de las a´reas de infinitos rect´angulos de base infinit´esima y altura dada por el valor de la funci´on f en los puntos de [a, b].
b) (0.5 puntos) Escribir la definici´on de primitiva de f , explicar qu´e relaci´on tiene con el concepto de integral indefinida de f , y enunciar el teorema fundamental del c´alculo integral.
La funci´on F : [a, b] ! R (derivable en [a, b]) es una primitiva de f : [a, b] ! R si R F 0 (x) = f (x) para todo x 2 [a, b]. La integral indefinida f (x) dx es el conjunto de todas las primitivas de f . Teorema fundamental del c´alculo integral: Sea f : [a, b] ! R una funci´on continua y sea F : [a, b] ! R una primitiva de f . Entonces, Z b f (x) dx = F (b) F (a).
a 2 c) (1.5 puntos) Calcular Z 1 x2 0 x+1 dx 3x + 2 utilizando la t´ecnica de descomposici´on en fracciones parciales.
El denominador de la funci´on racional descompone como x2 3x+2 = (x 1)(x 2), por lo tanto x2 x+1 x+1 = 3x + 2 (x 1)(x 2) = A x 1 A · (x 2) + B · (x (x 1)(x 2) = 1) y los numeradores x + 1 y (A + B) · x + ( B = 3 (resolviendo el sistema: A + B = 1, Z 1 Z 1✓ x+1 2 3 dx = + 2 3x + 2 x 1 x 0 x 0 Como la funci´on 2 Z 1 0 dx x 1 1 x 1 +3 Z B + x = = 2 (A + B) · x + ( 2A (x 1)(x 2) B) 2A B) coinciden si y s´olo si A = 2 y 2A B = 1). Entonces, ◆ Z 1 Z 1 dx dx dx = 2 +3 .
2 1 2 0 x 0 x tiene una as´ıntota vertical en x = 1, escribimos 1 0 dx x 2 = l´ım+ "!0 = l´ım+ "!0 = l´ım+ "!0 ✓ ✓ ⇣ 2 Z 1 " 0 dx x h 2 log |x 2 [log (") 4. (2.5 puntos) Sean f (x) = cos (2x) y g(x) = log (1 1 ◆ 1| +3 Z i1 " ◆ 0 1 dx x 0 2 = h + 3 log |x ⌘ 0] + 3 [0 2| x ).
3 El polinomio de Taylor-MacLaurin de orden 4 de f es (4) f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (4) (0) 4 ·x + ·x + ·x .
2! 3! 4! Calculamos los coeficientes: f (x) = cos (2x) ) f (0) = 1 f 0 (x) = f 00 (x) = 2 sin (2x) ) f 0 (0) = 0 4 cos (2x) ) f 00 (0) = 4 f 000 (x) = 8 sin (2x) ) f 000 (0) = 0 f (4) (x) = 16 cos (2x) ) f (4) (0) = 16 Por lo tanto, (4) T0 (x) = 1 4 16 4 · x2 + ·x =1 2! 4! 3 2x2 + 0 = log (2)] = +1.
a) (0.5 puntos) Escribir el polinomio de Taylor-MacLaurin de orden 4 de f .
T0 (x) = f (0) + f 0 (0) · x + i1 2 4 x.
3 b) (0.5 puntos) Escribir el polinomio de Taylor-MacLaurin de orden 1 de g.
El polinomio de Taylor-MacLaurin de orden 1 de g es (1) T0 (x) = g(0) + g 0 (0) · x.
Calculamos los coeficientes: g(x) = log (1 g 0 (x) = x ) 3 1 x 3 ) g(0) = 0 ) g 0 (0) = Por lo tanto, (1) T0 (x) = 1 3 x .
3 c) (1.5 puntos) Utilizar los apartados anteriores para calcular l´ım x!0 l´ım x!0 1 2x2 + 53 x4 x3 log (1 1 2x2 + 53 x4 x3 log (1 1 cos (2x) ⇠ l´ım x x!0 ) 3 4 cos (2x) .
x ) 3 2x2 + 53 x4 x3 · 2x2 + 23 x4 1 x 3 = l´ım x!0 x4 x4 3 = 3.
...