Formulario PPEE (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura PPEE
Año del apunte 2015
Páginas 2
Fecha de subida 06/03/2015
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Carlos Angulo Formulario PPEE Junio 2014 T1 Probabilitat 𝑛 Prob Total 𝑛 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑖 ) = ∑ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 )𝑃(𝐵) 𝑖=1 Bayes T5 Variables Aleatòries N-Dimensional 𝑖=1 𝑃(𝐵𝑗 |𝐴) = 𝑃(𝐵𝑗 |𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 )𝑃(𝐵) 𝑥 Funció de densitat 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = T2 Variables Aleatòries Discretes 𝑷((𝑿, 𝒀) ∈ 𝑹) Ω = (0,1) 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑝 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑞 = 1 − 𝑝 𝑛 𝑃𝑋 (𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑥 Ω = (0,1, … , 𝑛) Binomial Exp. IND Geomètrica Poisson Relaciones |∆𝑥∆𝑦| 𝑃𝑋 (𝑥) = 𝑞 𝑥−1 𝑝 Ω = (0, … ∞) 𝜆𝑘 𝑃𝑋 (𝑘) = 𝑒 𝜆 𝑘! 𝑁 → ∞; 𝑝 → 0; 𝑁𝑝 → 𝜆 −∞ ∫ ∫𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑭𝑿 (𝒙) = 𝑭𝑿𝒀 (𝒙, ∞) Discret 𝒂≤𝒙≤𝒃 Gaussiana Exponencial 𝒙≥𝟎 Discret −∞ 𝑛! 𝑛 𝑛 𝑛 𝑝 1𝑝 2𝑝 3 𝑛1 ! 𝑛2 ! 𝑛3 ! 1 2 3 𝑛 𝑛 − 𝑛1 𝑛 𝑛 𝑃𝑋𝑌 (𝑛1 , 𝑛2 ) = (𝑛 ) ( 𝑛 ) 𝑝 1 𝑞 2 (1 − 𝑝 1 2 − 𝑞)𝑛−𝑛1 −𝑛2 1 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑝𝑒𝑟 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅) 𝑑 𝐹 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑋 Uniforme (𝑹) 𝑹 regió 𝑥−𝑎 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑏−𝑎 1 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝑏−𝑎 1 𝑥−𝑚 𝐹𝑥 (𝑥) = (1 + erf ( )) 2 √2𝜎 𝑥−𝑚 2 1 −( ) 𝑓𝑥 (𝑥) = 𝑒 √2𝜎 √2𝜋𝜎 erf(𝑥) = − erf(−𝑥) 𝐹𝑥 (𝑥) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 𝑓𝑥 (𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 1) 𝑥=𝑔 −1(𝑦) Discret Continu Discret ∫ (𝑥 − 𝑚𝑥 𝑓𝑋 (𝑥) Continu −∞ Desviació típica 𝜎 = √𝑣𝑎𝑟(𝑥) Rang de valors no anòmals 𝑚 ± 𝜎 𝐸[𝑋] 𝜎𝑥2 𝐸[𝑋 2 ] V.A 𝑝 𝑝𝑞 Bernoulli (𝑛𝑝)2 + 𝑛𝑝𝑞 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞 Binomial (𝒑 → 𝒏𝒑) 𝑝 1 1+𝑞 Geomètrica 𝑞2 𝑝 𝑝2 𝜆 𝜆 𝜆2 + 𝜆 Poisson 2 2 𝑎+𝑏 (𝑎 − 𝑏) 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 Uniforme 2 12 3 1 1 2 Exponencial 2 𝜆 𝜆 𝜆2 𝑚 𝜎 Gaussiana ∞ Tº de l’esperança 𝐸(𝑦) = 𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫−∞ 𝑔(𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 𝐸(𝑋) 𝑘 +∞ 𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑔(𝑋1 , 𝑋2 ) = ∫ −∞ 𝜎2 ≥ 𝑃(𝑋 ≥ 𝑘) → 𝑃[|𝑥 − 𝑚𝑥 | ≥ 𝑘] ≤ 𝑘𝑥2 𝑑𝑥2 ) 𝑑𝑦2 = 𝑑𝑥2 1 𝑥1 𝑥2 𝐽( 𝑌 ) 1 𝑌2 +∞ ∫ −∞ 𝑔(𝑋1 , 𝑋2 ) 𝑓𝑋1𝑋2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 +∞ Moments conjunts 𝒋 𝒎𝒊,𝒋;𝒙𝟏 ,𝒙𝟐 = 𝑬(𝑿𝒊𝟏 𝑿𝟐 ) ∫ −∞ +∞ ∫ 𝑚1,1 = 𝐸(𝑋1 𝑋2 ) = 𝐶𝑂𝑅(𝑋1 , 𝑋2 ) +∞ ∫ 𝒊 𝒋 𝑬(𝑿𝟏 𝑿𝟐 ) 𝑴𝒊,𝒋;𝒙𝟏,𝒙𝟐 = 𝑿 = 𝑿 − 𝒎𝟏,𝒙 +∞ ∫ Covariància 𝑋 𝜎𝑌 = +∞ ∫ −∞ Coeficient correlació/dependència 𝜌 = 𝜎 𝑥1𝑖 𝑥2𝑗 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 −∞ Correlació Moments conjunts centrats 𝜇1,1 )𝑖 𝜎𝑥2 = 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝑚𝑥 )2 ] = 𝐸[𝑋 2 ] − 𝐸 2 [𝑋] Chebysheff 𝑑𝑥1 𝑑𝑦1 T7 Paràmetres estadístics 𝑓𝑥 (𝑥) ⌋ |𝑔′ (𝑥)| −∞ 𝑥 ∞ 𝑦2 𝑑𝑥1 𝑥2 ) = (𝑑𝑦2 1 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌); 𝑇 = ℎ(𝑋; 𝑌) 𝑥 𝑦 𝑓𝑍𝑌 (𝑧, 𝑡) = 𝑓𝑋𝑌 (𝑥(𝑧, 𝑡), 𝑦(𝑧, 𝑡)) · |𝐽 ( )| 𝑧 𝑡 Suma de dues V.A.’S 𝑋, 𝑌 Independents 𝑆 = 𝑋 + 𝑌 → 𝑓𝑆 = 𝑓𝑋 + 𝑓𝑌 T4 Paràmetres estadístics ∫ 𝑥 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑦1 𝑦1 𝐽 (𝑥 𝑓𝑋1 𝑋2 (𝑥1,𝑥2) 𝑦1 𝑦2 ⌋ |𝐽(𝑥 )| 𝑥1=𝑔 −1(𝑦1 ,𝑦2 ) 1 𝑥2 𝑥2=𝑔 −1(𝑦1 ,𝑦2 ) 2) 𝑠𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑦 ∑(𝑥 − 𝑚𝑥 )𝑖 𝑃𝑋 (𝑥) 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥) · 𝑓𝑌 (𝑦) ∞ (𝑦1 , 𝑦2 ) = (𝑔1 , 𝑔2 ) ∘ (𝑥1 , 𝑥2 ) 𝑓𝑌1 𝑌2 (𝑦1 , 𝑦2 ) = ∑ 𝐹𝑌 (𝑦) = 𝑃(𝑔(𝑋) ≤ 𝑦) = 𝑃(𝑋 ∈ 𝐼𝑦 ) = ∫ 𝑓𝑥 (𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑓𝑌 (𝑦) = ∑ Moments centrats ordre 𝒊 𝑴𝒊,𝒙 = 𝝁𝒊,𝒙 Variància 𝑴𝟐,𝒙 = 𝝈𝟐𝒙 = 𝒗𝒂𝒓(𝑿) 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦) = T6 Funcions de V.A.
T3 Funcions d’una variable 𝑌 = 𝑔(𝑋) 𝑖 ∞ 𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦) 𝑓𝑋 (𝑋) ∫−∞ 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦|𝑋 = 𝑥) 𝑓𝑋 (𝑋) ∞ Esperança Condicionada 𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦) = ∫−∞ 𝑥 𝑓𝑋|𝑦 (𝑥) 𝑑𝑥 → 𝐸[𝑋] = 𝐸𝑦 [𝐸𝑥 (𝑋|𝑌)] 𝑃(𝐴|𝑋 = 𝑥)𝑓𝑋 (𝑥) ∞ ∫−∞ 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦) · 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥) · 𝑓𝑌 (𝑦) −∞ ∞ 𝑥 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑓𝑋 (𝑥) Bayes −∞ ∑ 𝑥 𝑖 𝑃𝑋 (𝑥) 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦) = Prob Total ∫−∞ 𝑃(𝐴|𝑋 = 𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 Moments ordre 𝒊 𝒎𝒊,𝒙  Esperança 𝒎𝟏,𝒙 = 𝑬(𝒙) 𝐹𝑌 (𝑦|𝑋 = 𝑥) = Densitat.
Condicionada 𝑃(𝐴) = ∫ 𝑃(𝐴|𝑋 = 𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 𝐼𝑦 𝑦 Dis. Condicionada 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑓𝑋|𝐴 (𝑥)𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 |𝑋 = 𝑥) = 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑓𝑋|𝐴 (𝑥) = 𝑃(𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 ) = Densitat condicionada ∞ Bayes 𝑥 ∞ 𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 Trinomial (discreta) 𝐹𝑋|𝐴 (𝑥) = 𝐹(𝑋 = 𝑥|𝐴) = Prob Total 𝑃𝑌 (𝑦) = ∑ 𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) Continu Condicionades Dis.
Condicionada 𝑦 ∞ 𝑓𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 −∞ 𝑭𝒀 (𝒚) = 𝑭𝑿𝒀 (∞, 𝒚) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹𝑥 (𝑏) − 𝐹𝑥 (𝑎) 𝑎 𝑃𝑋 (𝑥) = ∑ 𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) Continu 𝑏 Uniforme (a,b) 𝑛 ∑ ∑ 𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑅 Continues 𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 ↔ 𝑓𝑥 (𝑥) = 𝑛 Discret 𝑖=1 𝑗=1 𝑛𝑝𝑞 ≫ 1 (𝑘−𝑛𝑝) 2 1 − → 𝑒 2𝑛𝑝𝑞 √2𝜋𝑛𝑝𝑞 𝑥 𝑷𝑿𝒀 (𝒙, 𝒚) = 𝑷𝑿 (𝒙)𝑷𝒀 (𝒚) 𝒇𝑿𝒀 (𝒙, 𝒚) = 𝒇𝑿 (𝒙)𝒇𝒀 (𝒚) Discret Continu Continu Marginals Ω = (1, … , 𝑛) Binomial Poisson Binomial Gaussiana 𝑃(𝑥≤𝑋≤𝑥+∆𝑥,𝑦≤𝑌≤𝑦+∆𝑦) X,Y Independents 𝑭𝑿𝒀 (𝒙, 𝒚) = 𝑭𝒙 (𝒙)𝑭𝒚 (𝒚) 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) Bernoulli 𝑦 Funció de distribució 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) = ∫−∞ ∫−∞ 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 −∞ 𝑀1,1 𝑐𝑜𝑣(𝑋𝑌) 𝜎𝑋 𝜎𝑌 −∞ +∞ ∫ 𝒊 𝒋 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 −∞ 𝒊 (𝒙𝟏 − _𝒎𝒙𝟏 ) (𝒙𝟐 − 𝒎𝒙𝟐 )𝒋𝟐 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝟏 = 𝐸(𝑋1 𝑋2 ) = 𝐶𝑂𝑉(𝑋1 𝑋2 ) = 𝜇1,1 = 𝐸(𝑋1 𝑋2 ) − 𝑚𝑋1 𝑚𝑋2 → −1 ≤ 𝜌 ≤ 1 2 𝑉𝐴𝑅(𝑋 + 𝑌) = 𝜎𝑥+𝑦 = 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦2 + 2𝜇1,1 𝑋, 𝑌 Ortogonals  𝐸(𝑋𝑌) = 0 𝑋, 𝑌 Independent 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) XY Incorralades 𝑋, 𝑌 𝐼𝑁𝐶 Afirmacions Equivalents 𝜌=0 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) 𝑋𝑌 𝑂𝑅𝑇 𝑉𝐴𝑅(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝐴𝑅(𝑋) + 𝑉𝐴𝑅(𝑌) T8 Estimació 𝑌 ≈ 𝑌̂ Error 𝐸(𝑌 − 𝑌̂) → 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 ⊥ 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝐸[(𝑌 − 𝑌̂ ) · 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑖 ] = 0 Per una constant 𝑌̂ = 𝐸(𝑌) Estimació lineal Homogènia b=0 No homogènia 𝒃 ≠ 𝟎 Estimació no lineal Recta de regressió 𝜇1,1 𝑌̂ = 𝑎𝑋1 + 𝑏 = 2 (𝑋 − 𝑚𝑥 ) + 𝑚𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜇1,1 𝜇1,1 𝑎=𝜌 = 2 ; 𝑏 = 𝑚𝑦 − 2 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝑌̂ = 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥) Corba de regressió 𝜀min = 𝜎𝑦2 → 𝑠𝑖 𝑌 = 𝑚𝑦 → 𝜀min = 0 𝐸𝐶𝑀 = 𝜀min = 𝐸[(𝑌 − 𝑌)𝑌] 𝜀min = 𝜎𝑦2 (1 − 𝜌2 ) 𝑠𝑖 |𝜌| = 1 → 𝜀min = 0 𝜀min = 𝐸{[𝑌 − 𝐸(𝑌|𝑋)]2 } Si 𝑌 = 𝐸(𝑌|𝑋) → 𝜀min = 0 Carlos Angulo Formulario PPEE Junio 2014 T10 Processos Estocàstics Millor estimació lineal homogènia 𝜷 = 𝟎 𝐹(𝑥; 𝑡) = 𝐹𝑋(𝑡) (𝑥) = 𝐹(𝑋(𝑡) = 𝑥) = 𝑃(𝑋(𝑡) ≤ 𝑥) = [𝑣. 𝑎. 𝐴] = 𝑃(𝐴 ≤ 𝑋 −1 (𝑡, 𝑥)) ∞ Esperança 𝑚𝑥(𝑡) = 𝑚(𝑡) = 𝐸{𝑥(𝑡) = ∫−∞ 𝑥 𝑓(𝑥; 𝑡)𝑑𝑥 → [𝑣. 𝑎. 𝐴] considerem 𝑡 Poisson 𝒕𝟐 < 𝒕𝟏 com una 𝑐𝑡𝑒 Autocorrelació 𝑅𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝐸[𝑥(𝑡1 ) · 𝑥(𝑡2 )] = ∞ ∞ ∫−∞ ∫−∞ 𝑥1 𝑥2 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ; 𝑡1 , 𝑡2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 Autocovariància 𝑘𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝐶𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑅𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) − 𝑚(𝑡1 )𝑚(𝑡2 ) 𝐶𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 0 ⇔Incorralat o de soroll blanc Potència mitjana 𝑃𝑜𝑡(𝑡) = 𝑅(𝑡, 𝑡) = 𝐸[𝑥 2 (𝑡)] 𝑡→∞ 𝜆𝑡1 + 1 𝑋(𝑡2 ) 𝜆𝑡2 + 1 𝑡1 𝑋̂ (𝑡1 ) = 𝑋(𝑡2 ) 𝑡2 Integrals ∫ 𝑥𝑒 𝑐𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑐𝑥 (𝑐𝑥 − 1) 𝑐2 ∞ 0 ⇒ 𝑥(𝑡) assimptoticament estacionari en mitjana ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑐𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑐𝑥 ( T12 Processos 0 ∫ 𝑃(𝑡) sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 𝑃𝑋(𝑡) (𝑘) = 𝑒 −𝜆𝑡 (𝜆𝑡)𝑘 𝑘! Comença en 1 𝑃𝑥(𝑡) (1) = 𝑒 −𝜆𝑡 cosh(𝜆𝑡) 𝑃𝑥(𝑡) (−1) = 𝑒 −𝜆𝑡 sinh(𝜆𝑡) 1 1 𝑃𝑦(𝑡) (1) = ; 𝑃𝑦(𝑡) (−1) = 2 2 𝑑 𝑍(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑡𝑖 ) = 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 ′ (𝑡) sin 𝑛𝑡 𝑃 [ 𝑛 𝑛 𝑛! 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 𝜆𝑛+1 𝑃′′′ (𝑡) cos 𝑛𝑡 𝑃′′ (𝑡) [−𝑃(𝑡) + − +⋯] + − ⋯] 𝑛3 𝑛 𝑛2 𝑃′′ (𝑡) cos 𝑛𝑡 𝑃′(𝑡) 𝑃′′′ (𝑡) [ +⋯] + − + ⋯] 𝑛2 𝑛 𝑛 𝑛3 1 1 ∫ sin(𝑐𝑥) 𝑑𝑥 = − cos(𝑐𝑥) ∫ cos(𝑐𝑥) 𝑑𝑥 = sin(𝑐𝑥) 𝑐 𝑐 sin 𝑐𝑥 𝑥 cos(𝑐𝑥) cos 𝑐𝑥 𝑥 sin(𝑐𝑥) ∫ 𝑥 sin(𝑐𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ − 𝑥 cos(𝑐𝑥) 𝑑𝑥 = + 𝑐2 𝑐 𝑐2 𝑐 ∫ 𝑃(𝑡) cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = ∫ sin 𝑛𝑡 𝑛 [𝑃(𝑡) − 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 + sin 𝑥 = tan 𝑥 ; ∫ = ln ( ) cos 2 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 Sumatoris 𝑏 𝑬{𝒙(𝒕)} 𝜆𝑡 Assim.
Estac. En mit.
𝑒 −2𝜆𝑡 Assim.
Estac. en mit.
0 Est. en mit.
Poisson Senyal telegràfic semi aleatori Senyal telegràfic aleatori Tren d’impulsos de Poisson 𝑹𝒙 (𝒕𝟏 , 𝒕𝟐 ) 𝜆2 𝑡1 𝑡2 + 𝜆 min(𝑡1 , 𝑡2 ) 𝑲𝒙 (𝒕𝟏 , 𝒕𝟐 ) 𝜆 min(𝑡1 , 𝑡2 ) 𝜆2 + 𝜆𝛿(𝜏) Est. en auto.
𝑒 −2𝜆|𝑡2 −𝑡1| Est. en sentit.
ampli 𝜆𝛿(𝜏) Est. en sentit.
ampli T13 Càlcul estocàstic Partint d’un PE estacionari en sentit ampli 1 Mitjana Estadística 𝐸{𝑥(𝑡)} = 𝑚𝑥 (𝑡) = lim 𝑛 𝑥𝑖 (𝑡) ; t fixat 𝑛→∞ 𝑇 Mitjana temporal 𝑚 𝑇 = 2𝑇 ∫−𝑇 𝑥𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 ; 𝑥𝑖 (𝑡) V.A. ⇒ 𝑚 𝑇 𝑉. 𝐴.
Ergòdic en mitjana lim 𝐸{[𝑚 𝑇 − 𝑚]2 } = 0 ↔ lim 𝜎𝑚2 𝑇 = 0 𝑇→∞ 𝑇→∞ Ergòdic en autocorrelació ↔ 𝑍𝜆 (𝑡) = 𝑋(𝑡 + 𝜆) · 𝑋(𝑡) és ergòdic en mitjana 𝑇 𝑇 1 Ergòdic en autocorrelació ↔ 𝜎𝑇2 = 2 ∫−𝑇 ∫−𝑇 𝐶𝑋 (𝑡1 , 𝑡2 )𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 → 0 4𝑇 1 𝑇→∞ 2𝑇 |𝜏| Ergòdic en autocorrelació ↔ 𝜎𝑇2 = 2𝑇 ∫−2𝑇 𝐶𝑋 (𝜏) (1 − 2𝜏 ) 𝑑𝜏 → 𝑇→∞ 0 Condicions suficients d’ergodicitat en mitjana 1) 2) ∞ ∫−∞ 𝐶(𝜏)𝑑𝜏 < ∞ 𝐶(0) < ∞ 𝐶(𝜏) → 0 𝜏→∞ Processos Estacionaris en sentit ampli Senyal telegràfic SI Impulsos de Poisson No T14 Estimació de processos De V.A. a processos Estimació Lineal final Poisson 𝒕𝟏 > 𝒕𝟐 Est.Lineal. No Homogenea 𝒕𝟏 < 𝒕𝟐 Est. Lineal. Homogènia 𝑘=𝑎 𝑟 𝑘 − 𝑟 𝑎+1 1−𝑟 𝑏 𝑘=𝑎 𝑒 −2𝜆|𝑡2−𝑡1| = 𝑒 −2𝜆𝜏 Est. en auto.
𝜆 Est. en mit.
1 ∑ ∑ 𝑘𝑟 𝑘−1 = 𝑒 −2𝜆|𝑡2−𝑡1| = 𝑒 −2𝜆𝜏 Est. en auto.
𝑌̂ = 𝛼𝑋 + 𝛽 → 𝑋̂(𝑡1 ) = 𝛼𝑋(𝑡2 ) + 𝛽 𝜇1,1 → 𝐾𝑋 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑅𝑋 (𝑡1 , 𝑡2 ) − 𝑚𝑥 (𝑡1 )𝑚𝑥 (𝑡2 ) 𝜎𝑥2 → 𝑘𝑥 (𝑡2 , 𝑡2 ) 𝐾𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) 𝛼= ; 𝛽 = 𝑚𝑥 (𝑡1 ) − 𝛼𝑚𝑥 (𝑡2 ) 𝐾𝑥 (𝑡2 , 𝑡2 ) 𝐾𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) (𝑿(𝒕𝟐 ) − 𝑚𝑥 (𝑡2 )) + 𝒎𝒙 (𝒕𝟏 ) 𝑋̂(𝑡1 ) = 𝐾𝑥 (𝑡2 , 𝑡2 ) 𝑋̂ (𝑡1 ) = 𝑋(𝑡2 ) + 𝜆(𝑡1 − 𝑡2 ) 𝑋̂ (𝑡1 ) = 𝑥 2 2𝑥 2 − 2 + 3) 𝑐 𝑐 𝑐 ∫ 𝑡 𝑛 𝑒 −𝜆𝑡 𝑑𝑡 = 𝑚𝑥 (𝑡) = 𝑐𝑡𝑒 ⇔ 𝑥(𝑡) estacionari en mitjana 𝑅𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑅𝑥 (𝜏) ⇔Estacionari en autocorrelació 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2 𝑥(𝑡) est. en mitjana ⇏ ⇒ 𝑥(𝑡) est. en sentit ampli 𝑥(𝑡) est. en sen. estricte ⇐ 𝑥(𝑡) est. en autocorrelació Procés Poisson (esd. Idèntics i Independents) Senyal telegràfic semialeatori 𝟏 𝑿(𝒕) 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍 𝒀(𝒕) = { −𝟏 𝑿(𝒕) 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓 Senyal telegràfic aleatori 𝒀(𝒕) = 𝑺𝑿(𝒕) → 𝑺 𝒗. 𝒂. 𝑩𝒆𝒓𝒏 Tren d’impulsos 𝑅𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) 𝑅𝑥 (𝑡2 , 𝑡2 ) 𝑋̂ (𝑡1 ) = 𝒕𝟐 > 𝒕𝟏 T11 Estacionarietat 𝑚𝑥 (𝑡) → 𝛼= 𝑡1 𝑋(𝑡2 ) 𝑡2 𝑏 𝑑 ∑ 𝑟𝑘 𝑑𝑟 𝑘=−∞ ...