Llista Problemes T2 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ingeniería Informática - 2º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 22/03/2015
Descargas 40
Subido por

Vista previa del texto

Estad´ıstica Enginyeria Inform` atica Curs 2014 - 2015 UAB Llista 2. Probabilitat 1. Un grup format per 6 homes i 6 dones es divideix en dos grups a l’atzar. Quina ´es la probabilitat que els dos grups tinguin la mateixa composici´o pel que respecte al g`enere? 2. En una classe hi ha 12 nois i 10 noies.
(a) Per fer un sopar es necessiten 6 persones per a elaborar el primer plat, 12 persones pel segon plat, i 4 persones pel postre. De quantes maneres es poden formar aquests tres equips? (b) Escollim 10 alumnes a l’atzar. Quina ´es la probabilitat que escollim exactament 3 nois i 7 noies? (c) Si escollim tres alumnes a l’atzar, quina ´es la probabilitat que siguin tots tres del mateix g`enere? 3. Un flasc´o cont´e 3 bales vermelles, 7 verdes i 10 blanques. Si s’extreu una bala a l’atzar, quina ´es la probabilitat que aquesta sigui blanca? Quina ´es la probabilitat de treure una bala vermella com a m´ınim 3 de cada 5 vegades? 4. El d`omino ´es un joc de fitxes que porten dos nombres, des del 0|0 fins al 6|6. Prenent una fitxa a l’atzar, calculem la probabilitat que: (a) Sigui una fitxa doble (b) la suma de punts sigui m´es gran o igual a 7.
(c) la suma de punts sigui imparella.
´ fam´os per haver de5. Antoine Gombaud, Cavaller de M´er´e, fou un escriptor franc`es del segle 17. Es manat a un matem` atic, Blaise Pascal, l’explicaci´o de les seves p`erdues en el joc. Pascal va combinar els seus esfor¸cos amb el seu amic Pierre de Fermat i entre els dos van fonamentar matem`aticament la teoria de la probabilitat.
(a) El Cavaller de M´er´e apostava que obtindria un “6” en quatre llan¸caments d’un dau just. Si aconsegueix un “6” en quatre tirs, guanya. Si no ho fa, perd. Jugaries amb ell? (b) Com a variaci´ o, dos daus es fan rodar 24 vegades amb l’aposta que sortir`a al menys un doble “6”. D’acord amb el raonament del Cavaller de M´er´e, la probabilitat d’obtenir doble “6” en llen¸car dos daus ´es un sis`e de la probabilitat que en surti un d’un dau. Per compensar, de M´er´e va pensar que s’haurien de fer 6 tirs. I per aconseguir la mateixa probabilitat del joc anterior encara haur´ıem d’augmentar els tirs quatre vegades, ´es a dir fins a 24 vegades.
Aix´ı, de manera raonada, el Chevalier de M´er´e esperava un doble “6” en 24 tirs dobles amb la mateixa freq¨ u`encia que un “6” en quatre llan¸caments d’un sol dau. No obstant aix`o, va perdre constantment. Quina explicaci´o hi ha? 6. Seleccionen sis cartes a l’atzar, una darrera l’altra, sense reempla¸cament, d’una baralla de 52 cartes, quina ´es la probabilitat que no hi hagi parelles? 7. S’estan estudiant diversos m`etodes de detecci´o autom`atica del desgast dels paviments. A partir d’una investigaci´ o pr`evia realitzada als aeroports dels Estats Units, s’ha identificat un cert tipus de desgast que afecta al 10% dels paviments. Uns investigadors de la Universitat d’Indiana proposen un m`etode de detecci´ o autom` atica que s’ha vist que diagnostica correctament el problema en un 85% dels casos i d´ ona un percentatge de falsos positius de nom´es el 4%. Si el procediment ha detectat el problema en un cert paviment, quina ´es la probabilitat que aquest paviment pateixi realment el desgast que estem estudiant? 8. Es tenen tres mobles amb dos calaixos cadascun. Un moble t´e una moneda d’or a cada calaix. Un altre t´e una moneda de plata a cada calaix. El tercer en t´e una d’or en un calaix i una de plata en l’altre calaix. Es tria un moble a l’atzar i se n’obre un calaix. La moneda que surt ´es d’or. Trobeu la probabilitat que la moneda de l’altre calaix sigui tamb´e d’or.
9. Dels articles produ¨ıts di` ariament per una f`abrica, el 40% prov´e de la l´ınia I i el 60% prov´e de la l´ınia II. El percentatge de defectuosos de la l´ınia I ´es el 8%, mentre que el percentatge de defectuosos de la l´ınia II ´es el 10%. Es pren un article a l’atzar de la producci´o di`aria; calculeu la probabilitat que no sigui defectu´ os.
10. En un laboratori farmac`eutic s’ha instal·lat un aparell d’alarma contra el foc del qual coneixem el seg¨ uent comportament estad´ıstic: • La probabilitat que s’activi quan es produeix un incendi ´es del 99%.
• La probabilitat que s’activi sense que hi hagi incendi ´es del 0,7% • La probabilitat que un dia determinat hi hagi un incendi al laboratori ´es del 0,2%.
Suposant que les dades anteriors s´ on correctes; quina ´es la probabilitat que un dia determinat l’alarma s’activi? Suposeu que l’aparell s’ha activat, quina ´es la probabilitat que hi hagi hagut realment un incendi al laboratori? 11. Tres ca¸cadors, l’Abel, el Biel i el Carmel, van de ca¸ca i disparen simult`aniament en trobar-se de cop davant d’un porc senglar. Sabem que l’Abel no falla amb probabilitat 0,30, que en Biel encerta amb probabilitat 0,50 i que en Carmel ho fam amb probabilitat 0,25.
Volem saber: (a) La probabilitat que el ca¸cador que hagi encertat hagi estat en Biel, sabent que el senglar ha estat ferit per un tret exactament.
(b) La probabilitat que en Biel hagi encertat, si sabem que el senglar ha estat ferit per dos trets exactament.
(c) La probabilitat que el senglar hagi fugit indemne.
12. Una ag`encia de qualificaci´ o examina les accions d’un gran nombre d’empreses.Quan es va investigar el comportament d’aquestes accions l’any passat, es va descobrir que el 25% van experimentar un creixement del seu valor clarament superior a la mitjana, el 25% clarament inferiori el 50% restant es van mantenir al voltant de la mitjana. El 40% deles accions que van cr´eixer clarament per sobre de la mitjana van ser classificades com accions de “baix risc“ per l’ag`encia, aix´ı com el 20% de les que van cr´eixer al voltant de la mitjana i el 10% de les que van tenir un creixement clarament inferior a la mitjana. Quina proporci´ o de les accions va ser classificada com de ”baix risc” per l’ag`encia? Quina ´es la probabilitat que una acci´o triada a l’atzar d’entre les classificades com de “baix risc” hagi crescut clarament per sobre de la mitjana del mercat? 13. Deu persones es juguen 1000 euros a qui treu la carta m´es alta. Un d’ells (i nom´es un) ´es un tramp´os i du un as a la m` aniga. El tercer jugador treu un as. Quina ´es la probabilitat que hagi fet trampa? 14. Un canal de comunicaci´ o transmet missatges amb els d´ıgits 0 i 1. Per diverses causes es produeixen distorsions amb una probabilitat de 0.01 en cada un dels d´ıgits. Suposant que les distorsions es produeixen de manera independent, calculeu la probabilitat que una comunicaci´o amb 5 signes tingui 0, 1 o 2 distorsions.
15. Els CD’s produ¨ıts per una determinada empresa s´on defectuosos amb una probabilitat de 0.01.
L’empresa ven els CD’s en paquets de 10 i es compromet a retornar els diners si el paquet cont´e 2 o m´es CD’s defectuosos. Si una persona compra 3 paquets, quina ´es la probabilitat que li tornin els diners de, com a m´ınim un dels paquets? 16. Una dona t´e quatre fills. Suposant que la probabilitat que neixi un nen o una nena ´es la mateixa, contesteu les preguntes seg¨ uents: (a) Quina ´es la probabilitat que el primer i el segon siguin tots dos nens? (b) Quina ´es la probabilitat que tingui m´es nenes que nens? (c) Quina ´es la probabilitat que tingui dos fills consecutius del mateix g`enere? 17. Es fa un examen tipus test amb 10 preguntes i 3 opcions de resposta cada pregunta. Per aprovar l’examen cal respondre correctament set o m´es preguntes. Quina ´es la probabilitat d’aprovar l’examen si es contesten les preguntes a l’atzar? 18. Un dau mal equilibrat t´e les seg¨ uents probabilitats: 1 0,2 2 0,2 3 0,1 4 0,3 5 0,1 6 0,1 (a) Calculeu el valor esperat i la desviaci´o t´ıpica del dau.
(b) Si llanceu el dau dos cops, quina ´es la probabilitat que la suma sigui igual a 4? (c) Si ja sabem que el primer llan¸cament d´ona com a molt 2, quina ´es la probabilitat que la suma dels dos llan¸caments sigui igual a 4? 19. La vida u ´til d’un cert tipus de filtre segueix una distribuci´o normal amb desviaci´o de 70 hores. En mitjana, duren 800 hores si s´ on del tipus A i 650 hores si s´on del tipus B. Tenim 100 filtres de tipus A i 50 filtres de tipus B i n’instal·lem un escollit a l’atzar. Quina ´es la probabilitat que duri m´es de 800 hores? 20. L’ex`ercit d’un determinat pa´ıs, en una de les seves “guerres d’alliberament”(amb l’objectiu, ´es clar, de dur la llibertat i la democr` acia arreu del planeta) utilitza paracaigudes per a llen¸car, des d’avions de transport, material log´ıstic. Aquests paracaigudes tenen un sistema autom`atic d’obertura, que ha d’actuar a una al¸cada de 200 metres. Tanmateix, l’al¸cada real d’obertura del paracaigudes ´es una variable aleat` oria de mitjana 200 metres i desviaci´o t´ıpica de 58 metres. Si l’obertura del paracaigudes es produeix per sota dels 100 metres, el material sofreix danys importants que el fan inservible. Quin percentatge d’aquest material quedar`a inservible? 21. La vida mitjana d’un cert tipus de motor petit ´es de 10 anys, amb una desviaci´o est`andard de 2 anys. El fabricant canvia de forma gratu¨ıta tots els motors avariats sempre que estiguin dins el per´ıode de garantia. Si suposem que el temps de vida d’aquest tipus de motor es distribueix segons una normal i el fabricant nom´es pensa canviar el 3% dels motors que fallin, quin temps de garantia haur`a d’estipular? 22. Despr´es de la fabricaci´ o i envasat, la vida de l’activat d’un cert f`armac ´es normal amb una mitjana de 1200 dies i una desviaci´ o t´ıpica de 40 dies. Es desitja enviar un lot de medicaments de manera que la vida mostral no sigui inferior a 1180 dies amb una probabilitat de 0,95. Calculeu la mida m´ınima del lot.
23. El 43% de la poblaci´ o del Vinad´es sap moure les orelles.
(a) Si es selecciona a l’atzar 8 persones de la poblaci´o, quina ´es la probabilitat que exactament 5 s`apiguen moure les orelles? (b) De la mateixa mostra, quina ´es la probabilitat que un nombre parell de persones s`apiga moure les orelles? (c) Si es selecciona a l’atzar 121 persones de la poblaci´o, quina ´es la probabilitat que 25 o menys s`apiguen moure les orelles? (d) Si el resultat de la selecci´ o anterior ´es que exactament 73 saben moure les orelles, creur´ıeu que efectivament el nombre 43% ´es correcte? 24. En un pa´ıs lluny` a, hi ha dues companyies ferrovi`aries que competeixen pel tr`ansit de passatgers de 1000 alumnes que surten de la ciutat a la mateixa hora per anar al campus de la Universitat.
Suposeu que els passatgers tenen la mateixa probabilitat de triar cada tren. Si una companyia vol assegurar-se de tenir un seient per a cada passatger en un 99% de viatges, quin ´es el m´ınim nombre de seients que ha de posar al tren? 25. Quatre amics, Janice, Barbara, Kathy i Roberta, van decidir compartir cotxe per arribar a la Universitat. Cada dia el conductor seria elegit per selecci´o aleat`oria d’un dels quatre noms. Si han compartit el cotxe en un total de 96 viatges, calculeu: (a) La probabilitat que Janice sigui la conductora com a molt 20 dies.
(b) La probabilitat que Roberta condueixi amb m´es de 16 ocasions.
(c) La probabilitat que Barbara sigui la conductora exactament 24 d’aquests 96 viatges.
26. El preu d’una acci´ o en borsa es mou aleat`oriament entre 10$ i 20$, amb la mateixa probabilitat en tot el tram (assumim tamb´e que la variaci´o de preu d’un dia no influeix els seg¨ uents). Hem donat l’ordre al nostre broker que ens compri paquets de 1.000 accions cada dia durant les properes 40 sessions. Un cop executada l’ordre, tenim un total de 40.000 accions. A final d’any venem totes les accions al preu de 16$ per acci´ o, rebent 640.000$. Calculeu la probabilitat que guanyem diners en aquesta operaci´ o.
27. La m`aquina d’una empresa omple bosses de cacau amb una mitjana de 500 grams i una desviaci´ o t´ıpica de 25 grams. Aquestes bosses s’empaqueten en caixes de 100 unitats.
(a) Calculeu la probabilitat de que la mitjana dels pesos de les bosses d’un paquet sigui inferior a 495 grams.
(b) Calcular la probabilitat de que una caixa de 100 bosses superi els 51 kg.
...