Ondas (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2011
Páginas 8
Fecha de subida 14/11/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Apuntes y ecuacionés de ondas

Vista previa del texto

ONDAS Alberto Lendínez GRUPO 2.2 1.1 Ondas Longitudinales Una onda longitudinal es una onda en la que el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales reciben también el nombre de ondas de presión u ondas de compresión.
Algunos ejemplos de ondas longitudinales son el sonido y las ondas sísmicas generadas en un terremoto.
Si nos centramos en las ondas longitudinales que no posean un carácter electromagnético, encontramos las siguientes: Ondas acústicas En el caso de ondas acústicas armónicas longitudinales, la frecuencia y la longitud de onda se pueden describir con la ecuación: donde:      p(x,t) es la dislocación de partículas de la posición estable, en la dirección de la propagación de la onda; x está la dislocación de la fuente de la onda al punto bajo consideración; t es el tiempo transcurrió; p0 es la amplitud de las oscilaciones, ω es la frecuencia angular de la onda.
La frecuencia (nonangular) de la onda se puede encontrar al usar la fórmula donde f es la frecuencia de la onda, medida generalmente en el hertzio.
Para las ondas acústicas, la amplitud de la onda es la diferencia entre la presión del aire imperturbado y la presión máxima causada por la onda.
La velocidad sana de la propagación depende del tipo, de la temperatura y de la presión del medio con el cual propaga.
Ondas de la presión En un medio elástico con rigidez, una oscilación armónica de la onda de la presión tiene la forma: donde:       p es la presión acústica, c es la velocidad del sonido, x es la distancia a lo largo del eje de la propagación, el ω es frecuencia angular, t es el tiempo, φ es diferencia de fase.
La fuerza que actúa para volver el medio a su posición original es proporcionada por el módulo a granel del medio.
1.2 Ondas Transversales Una onda transversal es una onda en movimiento que se caracteriza porque sus oscilaciones ocurren perpendiculares a la dirección de propagación. Si una onda transversal se mueve en el plano x-positivo, sus oscilaciones van en dirección arriba y abajo que están en el plano y-z.
Manteniendo una traza comparamos la magnitud del desplazamiento en instantes sucesivos y se aprecia el avance de la onda. Transcurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra como todos los puntos pasan por todos los estados de vibración.
Sin embargo para conocer como cambia el desplazamiento con el tiempo resulta más práctico observar otra gráfica que represente el movimiento de un punto. Los puntos en fase con el seleccionado vibran a la vez y están separados por una longitud de onda. La velocidad con que se propaga la fase es el cociente entre esa distancia y el tiempo que tarda en llegar. Cualquier par de puntos del medio en distinto estado de vibración están desfasados y si la diferencia de fase es 90º diremos que están oposición. En este caso los dos puntos tienen siempre valor opuesto del desplazamiento como podemos apreciar en el registro temporal.
1.3 Ondas Armónicas La onda sinusoidal o armónica se propaga cumpliendo con la ecuación: Como punto de partida consideremos una cuerda en su estado estable, sometida a una tensión T, y con una densidad lineal de masa m (masa por unidad de longitud) constante.
Pero veamos cómo varía, en función del tiempo, la magnitud característica de la perturbación que se propaga en el medio. Para ello consideraremos, un punto M, situado en la abcisa x del medio (siendo OM la distancia al origen de la cuerda o al foco emisor en la superficie del agua) Sabemos que siendo t el tiempo que tarda la perturbación en alcanzar el punto x.
Pero también , de donde Como ya se vio en el estudio del movimiento oscilatorio armónico, el punto , lugar donde situamos al foco emisor, oscila de acuerdo con la ecuación: Para hacer más sencillos los cálculos consideraremos momentáneamente que .
Observamos que cuando ha transcurrido un tiempo igual , en la cuerda se ha descrito una onda completa, el origen vuelve a vibrar entre y , del mismo modo que entre y , luego cada nuevo periodo , un punto de la cuerda repite sus oscilaciones transversales. La onda es periódica en el tiempo.
De igual modo, si nos movemos a lo largo de la cuerda, se observa que al avanzar segmentos de longitud los puntos a esas distancias se mueven de igual modo, decimos que se encuentran en concordancia de fase o fase. La onda es periódica con relación al espacio.
El movimiento tiene pues una doble periodicidad: - La onda es periódica en el tiempo, pues repite su vibración cada tiempo .
- La onda es periódica en el espacio, pues repite su vibración cada distancia 2. Teorema de Fourier El teorema de Fourier establece que una función periódica f(t) de periódo P=2p/w puede expresarse como la suma f(t)=a0+a1cos w t +a2 cos 2w t +...+an cos nw t +...+ b1 sen w t +b2 sen 2w t +...+bnsen n w t +...
que se conoce como serie de Fourier. La frecuencia w se denomina frecuencia fundamental y las frecuencias 2w, 3w ,4w... son los armónicos Este mismo resultado se aplica al movimiento ondulatorio periódico. Supongamos que x=f(x-v t) sea un movimiento ondulatorio periódico, esto es un movimiento que se repite a sí mismo en los instantes P, 2P, 3P,...,nP,... . En otras palabras x=f(x-v t) = f [x-v(t+P)]=f(x-vt+vP) Esto significa que en un instante dado, el valor de x se repite cuando x aumenta o disminuye en vP, 2vP,...,nvP,... . Por lo tanto, si en lugar de cambiar t, cambiamos x en la cantidad l=v P, la onda se repite a sí misma en el espacio.
Supongamos ahora que x=f(x) es una función periódica en el espacio, de periódo l, esto es f(x)=f(x+l). Por tanto según el teorema de Fourier podemos escribir x=f(x)=a0+a1cos kx +a2cos 2k x +...+an cos nkx +...+ b1 sen kx +b2 sen 2kx +...+bnsen n kx +...
donde k=2p/l juega ahor el mismo papel que antes w. Entonces el movimiento ondulatorio descrito por x=f(x-v t) puede expresarse como x=f(x-v t)=a0+a1cos k(x-vt) +a2cos 2k( x-vt) +...+ an cos nk(x-vt) +...+ b1 sen k(x-vt) +b2 sen 2k(x-vt) +...+bnsen n k(x-vt) +...
o, ya que w=k v.
x=f(x-v t)=a0+a1cos (kx-wt) +a2cos 2(k x-wt) +...+ ancos n(kx-wt) +...+ b1 sen( kx-wt) +b2 sen 2(kx-wt) +...+bnsen n (kx-wt) +...
3. Principio de Superposición El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos.
Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.
En ondas tenemos las siguientes variantes de este teorema: 3.1 Principio de Superposición en Ondas En la mecánica ondulatoria la interferencia es el resultado de la superposición de dos o más ondas, resultando en la creación de un nuevo patrón de ondas. Aunque la acepción más usual para interferencia se refiere a la superposición de dos o más ondas de frecuencia idéntica o similar. Matemáticamente, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas incidentes, de tal forma que la función de onda en un punto es la suma de todas las funciones de onda en ese punto.
El principio de superposición de ondas establece que la magnitud del desplazamiento ondulatorio en cualquier punto del medio es igual a la suma de los desplazamientos en ese mismo punto de todas las ondas presentes. Esto es consecuencia de que la Ecuación de onda es lineal, y por tanto si existen dos o más soluciones, cualquier combinación lineal de ellas será también solución.
3.2 Superposición en Ondas de Igual Frecuencia En la superposición de ondas con la misma frecuencia el resultado depende de la diferencia de fase δ. Si sumamos dos ondas y1 = Asin(kx − ωt) y y2 = Asin(kx − ωt + δ), la onda resultante tendrá la misma frecuencia y amplitud 2A. Este tipo de interferencias da lugar a patrones de interferencia, ya que dependiendo de la fase, la interferencia será destructiva (las ondas se encuentran desfasadas 180 grados o π radianes) o constructiva (desfase de 0 grados/radianes).
La superposición de ondas de frecuencias ƒ1 y ƒ2 muy cercanas entre sí produce un fenómeno particular denominado pulsación (o batido).
En esos casos nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ƒ1 + ƒ2) / 2, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de ƒ2 - ƒ1 .
Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de 300 Hz y 304 Hz, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de 302 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 4 Hz (es decir, cuatro veces por segundo).
Las pulsaciones se perciben para diferencias en las frecuencias de hasta aproximadamente 15-20 Hz. Diferencias mayores de 15-20 Hz le dan al sonido percibido un carácter áspero, mientras que si la diferencia aumenta comienzan nuevamente a percibirse las dos ondas simultánea y separadamente.
4. Ondas en 3 Dimensiones 4.1 Ondas Planas En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas), una onda plana o también llamada onda monodimensional, es una onda de frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase. Es decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos.
Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente planas y pueden considerarse como tal.
Matemáticamente, una onda plana es una solución de la ecuación de onda de la siguiente forma: dónde i es la unidad imaginaria, k es el vector de onda, ω es la frecuencia angular y a es la amplitud compleja. La solución física es usualmente encontrada tomando la parte real de la expresión.
4.2 Ondas Esféricas La ecuación de onda no se modifica al rotar las coordenadas espaciales, y por lo tanto uno puede esperar encontrar soluciones que dependan solo de la distancia radial a un punto dado. Estas soluciones deberán cumplir Esta ecuación puede ser reescrita como: la cantidad ru cumple con la ecuación del onda de una sola dimensión. Por lo tanto, hay soluciones en la forma donde F y G son funciones arbitrarias. Cada término puede ser interpretado como una onda esférica que se expande o contrae a una velocidad c. Tales ondas son generadas por una fuente puntual y hacen posible señales agudas cuya forma solo se altera por una disminución en la amplitud cuando r aumenta (véase la ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha). Tales ondas solo existen en casos de espacios con dimensiones impares. Afortunadamente, vivimos en un mundo que tiene un espacio de tres dimensiones, de forma que podemos comunicarnos claramente con ondas acústicas y electromagnéticas.
...