3.1. Inferència estadística (2015)

Resumen Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Gestión Aeronáutica - 1º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2015
Páginas 6
Fecha de subida 10/03/2015
Descargas 4
Subido por

Descripción

Distribucions mostrals, Intervals de confiança i exemples.

Vista previa del texto

TEMA 3.1 - INFERÈNCIA ESTADÍSTICA 1) Distribucions Mostrals: - Població: La totalitat d’individus o observacions als que fa referència un estudi estadístic.
- Mostra: La part de la població amb la que treballem efectivament.
LA MOSTRA ÉS ALEATÒRIA si tots els individus de la població tenen la mateixa probabilitat de formar-ne part.
Idea clau: Una mostra es pot pensar com una repetició de còpies iguals i independents X1, X2, ..., Xn (n=mida de la mostra) d’una mateixa distribució X.
PROBLEMES: a) Quina és la distribució de X? b) Quins són els seus paràmetres? Ex: µ=? ơ=? Un estadístic: És una funció numèrica X1, X2, ..., Xn les més importants.
̅̅̅𝑛̅ = 1 (X1, X2, ..., Xn) = 1 ∑ 𝑋𝑖  Mitjana mostral 𝑋 𝑛 𝑛 1 ̅̅̅𝑛̅)2  Variància mostral Sn2 = 𝑛−1 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋 Sn =√𝑆𝑛 2 Fets: Si X és una variable aleatòria d’esperança µ i desviació típica ơ llavors: ̅̅̅𝑛̅) = µ a) E(𝑋 ̅̅̅𝑛̅) = 𝜎 b) VAR(𝑋 2 𝑛 c) E (Sn2) = ơ2 d) Si X ∼ N(µ, ơ2), llavors X ∼ N(µ, 𝜎2 𝑛 ) Teorema central del límit: Si X és una variable aleatòria arbitrària amb E(X)=µ, VAR(X)=ơ2 llavors si n és gran: Z= ̅̅̅̅ Xn − μ 2 √σ = n ̅̅̅̅ Xn − μ 𝜎 √n ≈ N(0, 1) L’aproximació és bona si n≥30 si X no és molt asimètrica i l’aproximació millora quan n∞ Exemple1: X=concentració de ferro en sang en individus sans.
µ=E(X)=120mg/100mL, ơ2= 15. Quina és la probabilitat que la mitjana mostral estigui entre 115 i 125.
2 2 𝜎 15 𝜎 ̅̅̅ Xn 50 ≈ N (µ, ) = N(120, 50, ) 𝑛 𝑛 ̅̅̅n 50<125) = P(-236<Z<236) = 0.80294 P(115<X Exemple important: Suposem que X ∼ Bin(n, p) N=1000 p=½ P(352<X<489) = ? Llavors E(X) = n·p . VAR(X) = n·p(1-p) 𝑋 − 𝑛𝑝 ≈ N(0, 1) √𝑛𝑝(1−𝑝) Si np(1-p) ≥ 18 (en qualsevol cas np≥5, np(1-p)≥5) 2) Interval de confiança per la mitjana µ de la població: Si sabem que X∼N(µ, ơ2) µ=? Suposem que ơ2 és conegut Considerem una mostra de mida n i calculem 1 𝑥̅ = 𝑛 ∑ 𝑋𝑖 ̅-∑ i Busquem un interval ___________________ de forma que µ estigui entre X ̅ + ∑ amb probabilitat (o confiança)1-α X Sabem que ̅̅̅̅ Xn − μ 𝜎 √n ∼ N(0, 1) Hi a tal que: P(-a<Z<a) = 0.95 = 1-α  a= 1.96 -1.96 < ̅− μ X 𝜎 √n < 1.96  ̅ X − 1.96 · 𝜎 √𝑛 <n<̅ X + 1.96 · 𝜎 √𝑛 L’interval de confiança per µ amb confiança 1-α 𝜎 és (𝑥̅ − 𝑎 I = 𝑥̅ ∓ 𝑎 √ , 𝑥̅ + 𝑎 𝑛 𝜎 √𝑛 ) 𝜎 √𝑛 On a=1.96 si 1-α=0.95 a=1.64 si 1-α=0.90 a=2.58 si 1-α=0.99 3) Intervals de confiança per la mitjana mostral: X = variable aleatòria X1, X2, ..., Xn = mostra aleatòria  Estimadors puntuals: 1 𝑛 ∑ 𝑋𝑖  Mitjana mostral 1 ̅̅̅𝑛̅)2  Desviació típica mostral corregida Sn = √𝑛−1 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋 𝑝̂  proporció mostral ̅̅̅𝑛̅) = µ E(𝑋 ơ = Var(X) ½ Nivell de confiança: /-𝛼 = 0,90 − 0,95 − 0,99 1) X∼N(µ, ơ2) ̅Xn ̅̅̅ = N(µ, ơ2) 𝑛 2) TCL: (Teorema Central del Límit) Si X és arbitrària però n gran (n≥30) ̅Xn ̅̅̅ ≈ N(µ, ơ2) 𝑛 Z= ̅̅̅̅ Xn − μ 𝜎 √n ≈ N(0, 1) Exercici 1: (llista d’exemples) La pluja que es precipita a través de l’aire no contaminat té un pH de 5.7. En un estudi sobre la pluja àcida en una determinada regió del nord d’Alemanya, s’ha analitzat una mostra de mida n = 40 de precipitacions de pluja obtenint una mitjana del pH de x ̄ = 5.4. Se sap que σ = 0.5. Determineu un interval per a la mitjana μ del pH de la pluja en aquesta regi ́o amb un nivell de confiança 1 − α = 0.99.
N= 40>30 X= 5,4 X= Nivell de pH de la pluja 𝜎=0,5 1-𝛼 = 0,99 𝑋~?𝑁( 𝜇,𝜎2 ) 𝑋𝑛−𝜇 𝜎 √𝑛 I= 𝑋̅ ± 𝑎 ≈ 𝑁(0,1) 𝜎 √𝑛 = (5.2 − 5.6) Exercici 2: (llista d’exemples) Hem efectuat un determinat procé s un nombre n = 16 de vegades obtenint una durada mitja de x ̄=735s. Es coneix la desviació tí́pica poblacional σ=12si se suposa normalitat. Calculeu un interval de confiança per a la durada mitja del procés amb nivell de confiança 1 − α = 0.95. Quina seria la resposta si la mida de la mostra hagués estat n = 100 (resp. n = 1000)? X = durada de procés en segons X∼N(µ, ơ2) ∼ X∼N(?, 122) 1-α=0.95 ̅̅̅̅ Xn − μ σ ⁄ 𝑛 √ ≈ N(0, 1) n=16 𝑥̅ = 735 n=16 I = 𝑥̅ ± 𝑎 n = 100 I = 𝑥̅ ± 𝑎 n = 1000 I = 𝑥̅ ± 𝑎 𝜎2 √𝑛 𝜎2 √𝑛 𝜎2 √𝑛 = 735 ± 1.96 = 735 ± 1.96 = 735 ± 1.96 ơ = 12 12 √16 = (729.12, 740.88) 12 √100 = (732.65, 735.36) 12 √1000 = (734.26, 735.74) Exercici 3: (llista d’exemples) Un investigador adquireix un lot de 9 rates adultes. D’acord amb el cataleg de la casa subministradora, el pes mitja de les rates é s de μ = 249.7 gr. amb una desviació tí́pica de σ = 8.23 gr. Se suposa normalitat. Al rebre les rates, l’investigador les pesa i obté x ̄ = 256.2 gr. Ha de desconfiar de les afirmacions del catàleg? X = pes d’una rata adulta X∼N(µ, ơ2) ∼ X∼N(?, 8.232) Interval per µ amb 1-α=0.95 ̅̅̅̅ Xn − μ 𝜎 √n ≈ N(0, 1) I = x̅ ± a σ2 √n = 256.2 ± 1.96 823 √9 = (250.9, 261.58) Interval per µ amb 1-α=0.99 ̅̅̅̅ Xn − μ 𝜎 √n ≈ N(0, 1) I = x̅ ± a σ2 √n = 256.2 ± 2.58 823 √9 = (249.12, ...) Si X és normal, o n és gran, i ơ és coneguda.
̅̅̅̅ Xn − μ 𝜎 √n ∼ N(0, 1)  I = x̅ ± a σ2 √n Mida de la mostra: Exercici 4: (llista d’exemples) Suposem, en el exemple, que X=pes dels nadons és Normal; ơ=1 llavors podem conèixer la mida de la mostra (n=?) de manera que l’interval tingui amplitud fixada a la confiança 1-α.
Vn ≥ 2𝑎ơ 𝐿 2𝑎ơ 2 ) 𝐿 n≥( = 665.69  n≥666 Distribució T de Student: (*mirar taula de la T de Student) a) Té esperança 0 b) És simètrica respecte µ=0 c) Hi ha tantes distribucions com graus de llibertat t(n) t(n) ≈ N(0,1)quan n∞ Fet important: Si X∼N(µ, ơ2) ̅− μ X S √n ∼ t(n-1)  I = x̅ ± a 𝑠 √n t (n-1) Exercici 6: (llista d’exemples) X ∼ temps de reacció X ∼ N(µ, ơ2) ∼ N(?, .) x = 7, s>2, n=9 ̅− μ X S √n ∼ t(n-1) ∼ t(8) I = x̅ ± a 𝑠 √n t(8) 1-α = 0.90  I = 7 ± 1.8595 2 √9 1-α = 0.95  I = 7 ± 2.3060 2 √9 1-α = 0.99  I = 7 ± 3.3554 2 √9 ...

Tags: