Propiedades Transformada de Fourier (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2013
Páginas 1
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

Propietats de la Transformada de Fourier Propietat Transformada Fourier senyal analògic ∞ X ( f ) = ∫ x(t )e − j 2π ft −∞ Transformada Fourier seqüència dt ∞ ∑ x[n]e X (F ) = n = −∞ ∞ x(t ) = ∫ X ( f )e j 2π ft df x[n] = ∫ −∞ 0.5 −0.5 Linealitat − j 2π Fn X ( F )e j 2π nF dF TF ax1 (t ) + bx2 (t ) ←→ aX 1 ( f ) + bX 2 ( f ) TF ax1[n] + bx2 [n] ←→ aX 1 ( F ) + bX 2 ( F ) TF x(t − t0 ) ←→ X ( f )e − j 2π t0 f TF x[n − n0 ] ←→ X ( F )e − j 2π n0 F TF x(t )e j 2π f0t ←→ X ( f − f0 ) TF x[n]e j 2π F0 n ←→ X ( F − F0 ) Retard/ Desp. temp Modulació/ Desp. freq.
TF x(at ) ←→ Escalat Gir o transposició 1 f  X  a a TF x(−t ) ←→ X (− f ) TF x[−n] ←→ X (− F ) Convolució TF x(t ) * y (t ) ←→ X ( f )·Y ( f ) TF x[n]* y[n] ←→ X ( F )·Y ( F ) Producte TF x(t )·y (t ) ←→ X ( f ) *Y ( f ) TF x[n]·y[n] ←→ X= (F ) ⊗ Y (F ) ∫ 0.5 −0.5 X (λ )Y ( F − λ )d λ TF X (t ) ←→ x(− f ) Dualitat d TF x(t ) ←→ j 2π f ·X ( f ) dt j d TF t·x(t ) ←→ X(f ) 2π df Derivació temporal Prod per t/ deriva freq.
Integració en temps ∫ t TF x(τ )dτ ←→ −∞ X ( f ) X (0) + δ( f ) 2 j 2π f n j d X (F ) 2π dF X (F ) ∑ x[m] ←→ 1 − e TF m = −∞ + − j 2π F X (0) ∞ ∑ δ (F − k ) 2 k = −∞ TF x* (t ) ←→ X * (− f ) TF x* [n] ←→ X * (− F ) TF Senyal parell en t ←→ parell en f Senyal parell en n ←→ parell en F Conjugació x(t= ) x(−t ) ←→ X ( f = ) X (− f ) TF Senyal imp en t ←→ imp en f TF TF x[n= ] x[−n] ←→ X ( F = ) X (− F ) TF TF Senyal imp en n ←→ imp en F x(t ) = − x(−t ) ←→ X ( f ) = − X (− f ) TF x[n] = − x[−n] ←→ X ( F ) = − X (− F ) Senyal real en t ←→ hermític en f TF Senyal real en n ←→ hermític en F TF TF Simetries TF n·x[n] ←→ x= (t ) x (t ) ←→ X (= f ) X (− f ) * TF * TF Senyal imag en t ←→ antiherm en f x(t ) = − x (t ) ←→ X ( f ) = − X (− f ) * TF * Un senyal hermític TF real i parell en t ←→ real i parell en f té mòdul parell i * fese imparell = x(t ) x= (t ) X ( f ) X *( f ) TF x[= n] x* [n] ←→ X (= F ) X * (− F ) TF Senyal imag en n ←→ antiherm en F TF x[n] = − x* [n] ←→ X ( F ) = − X * (− F ) TF real i parell en n ←→ real i parell en F * [n] TF X ( F ) X * ( F ) = x[n] x= TF ←→ ←→ x(t ) = x(−t ) X(f ) = X (− f ) x[n] = x[− n] X (F ) = X (− F ) TF TF real i imp en t ←→ imag i imp en f real i impa en n ←→ imag i imp en F x(t ) = x* (t ) TF X ( f ) = − X * ( f ) x[n] = x* [n] TF X ( F ) = − X * ( F ) ←→ ←→ x(t ) =− x(−t ) X ( f ) =− X (− f ) x[n] =− x[−n] X ( F ) =− X (− F ) ∫ Parseval Energia ∞ −∞ ∞ x(t ) y* (t )dt = ∫ X ( f )Y * ( f )df = Ex −∞ ∞ x(t ) dt ∫ ∫= 2 −∞ ∞ −∞ 2 X ( f ) df ∞ ∑ x[n]·y [n] = ∫ * X ( F )·Y * ( F )dF −0.5 n = −∞ = Ex 0.5 ∞ = x[n] ∑ ∫ n = −∞ 2 0.5 −0.5 2 X ( F ) dF si x(t ) i les n-1 primeres derivades son continues i la derivada n-èssima és Comp.
Asimptòtic discontinua lim X ( f ) = f →∞ Senyals i Sistemes C f n +1 1/1 23/03/2012 ...