Nocions bàsiques de càlcul vectorial (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 12
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Fonaments Físics de l'Enginyeria. Titulació: MECÀNICA Jose Trull NOCIONS BÀSIQUES DE CÀLCUL VECTORIAL I. INTRODUCCIÓ Per poder determinar la posició d'un punt en l'espai de forma unívoca, necessitem establir en primer lloc un sistema de referència que està format per un conjunt de tres eixos no coplanaris amb un origen comú (origen de coordenades). Utilitzarem el sistema d'eixos cartesians, format per tres eixos perpendiculars entre si (eixos X, Y, Z).
La posició d'un punt qualsevol de l'espai ve determinada per un conjunt ordenat de tres nombres, el valor particular dels quals depèn del sistema de coordenades elegit.
Existeixen diferents tipus de sistemes que són utilitzats habitualment (components cartesianes, cilíndriques, esfèriques). (Encara que en aquests apunts utilitzarem les components cartesianes, convé saber expressar les coordenades d'un punt en altres sistemes.) Z •P O X Figura 1 Sistema de referència Y 2 Fonaments Físics de l'Enginyeria I En el sistema de coordenades cartesià, la posició d'un punt de l'espai, P, ve donada en forma de tres nombres P (Px ,Py ,Pz), els quals representen les coordenades del punt P.
Aquests nombres indiquen la distància que cal recórrer paral·lelament a cada un dels eixos, partint des de l'origen de coordenades, per arribar a la posició del punt P (vegeu figura 2).
Exemple: si les components d'un punt P són 2,3,5, significa que partint des de l'origen de coordenades ens hem de moure dues unitats en la direcció de l'eix X; des d'aquest punt, cal moure'ns 3 unitats en la direcció de l'eix Y i 5 unitats en la direcció de l'eix Z.
El punt de l'espai assolit correspon a P.
P: (Px,P y,Pz) Z •P Pz O Y Px X Py Figura 2 Coordenades del punt P Per establir matemàticament les lleis físiques, recorrem a diferents magnituds. Una magnitud en física representa una cosa que pot ser mesurada. Les magnituds que queden completament caracteritzades per un nombre reben el nom de escalars. Un exemple de magnitud escalar és la temperatura que podem mesurar en un punt qualsevol de l'espai col·locant un termòmetre en el punt esmentat.
Què passa quan volem expressar com s'està movent un cotxe? Amb un nombre podem indicar la velocitat a la qual s'està movent, però no aconseguim tota la informació del seu moviment perquè no sabem en quina direcció s'està movent. La velocitat és un exemple de magnitud vectorial de la qual necessitem determinar la magnitud, la direcció i el sentit. Aquest tipus de magnituds en física s'expressen per Nocions bàsiques de càlcul vectorial 3 mitjà d'altres elements matemàtics: els vectors (exemples de vectors són la velocitat, l’acceleració, la força, el camp elèctric, el camp magnètic...).
II. VECTORS Amb un vector tenim associat, a més d'un nombre, una direcció i un sentit determinats.
Per determinar matemàticament un vector, fem el següent: de la mateixa manera que quan volem assenyalar una direcció apuntem amb el dit, podem veure un vector com una fletxa en l'espai que assenyala la direcció i el sentit que volem indicar i la longitud del qual representa el nombre que volem associar amb aquest vector (vegeu figura 3).
Prenguem l'origen del vector (que vindrà donat per un determinat punt de l'espai de coordenades P : ( Px , Py , Pz ) ) i el seu extrem (de coordenades Q : (Q x , Q y , Q z ) ). Definim r el vector que va de P a Q, que representarem com el vector P Q , com el conjunt de tres nombres (Q x − Px , Q y − Py , Q z − Pz ) . Aquests tres nombres representen les components del vector.
Z Q P O Y X Figura 3 Representació d’un vector Un vector del qual tenim especificats l’origen i l’extrem s'anomena vector lligat.
Tanmateix, existeix un gran nombre de vectors equivalents amb la mateixa longitud, direcció i sentit que només es diferencien per la posició del seu origen.
El conjunt de tots els vectors idèntics (amb idèntiques components) l'origen dels quals està contingut sobre la recta que conté el vector es denominen vectors lliscants.
El conjunt de tots els vectors amb idèntiques components amb origen en qualsevol punt de l'espai representa el que anomenem un vector lliure.
4 Fonaments Físics de l'Enginyeria I Un vector lliure, en el qual l'origen no és especificat, es representa per un conjunt de tres nombres que representen les components del vector (el representarem amb una r lletra majúscula amb una fletxa a sobre) i ho expressem de la manera V : (V x , V y , Vz ) .
Aquestes components representen les distàncies que hem de recórrer paral·lelament a cada un dels eixos X, Y, Z des de l'origen del vector per arribar al seu extrem (vegeu figura 4).
r Donat el vector V = (V x , V y , Vz ) , definim el mòdul del vector com la quantitat: r V = (Vx2 + V y2 + Vz2 ) (1) Aquest nombre correspon a la longitud del vector.
Un vector és unitari si té mòdul igual a 1. Aquest tipus de vectors s'usen per indicar una direcció en l'espai. Els representarem d’aquesta manera: uˆ .
Podem convertir un vector qualsevol en unitari dividint-lo pel seu mòdul.
Els vectors unitaris en la direcció dels eixos de coordenades són de gran importància.
Vénen representats de la manera següent: Vector unitari en direcció de l'eix X: iˆ = (1,0,0) Vector unitari en la direcció de l'eix Y: jˆ = ( 0,1,0) Vector unitari en la direcció de l'eix Z: kˆ = (0,0,1) Z → |V| Vz Vx ^ k î ^ j X Figura 4 Mòdul i components d’un vector Vy Y Nocions bàsiques de càlcul vectorial 5 III. OPERACIONS AMB VECTORS Els vectors apareixen contínuament en un gran nombre de situacions en física i és imprescindible conèixer les diferents operacions que podem establir a partir dels vectors.
SUMA DE VECTORS r Donats dos vectors A = ( Ax , Ay , Az ) i r B = ( B x , B y , B z ) , definim el vector suma d'aquests com el vector de components: r r r C = A + B = ( Ax + B x , Ay + B y , A z + B z ) (2) Geomètricament, podem determinar el vector suma de la manera en què es veu a la figura 5.
r Exercici: demostreu que el vector C de la figura 5 té per components les donades en la definició (2).
(Ajuda: utilitzeu la definició de vectors en funció del seu punt origen i extrem.) Z → C → → B A O Y X Figura 5 Suma de vectors PRODUCTE D'UN VECTOR PER UN ESCALAR r La multiplicació d'un vectorV = (V x , V y , Vz ) per un escalar, λ, dóna com a resultat un altre vector de components: 6 Fonaments Físics de l'Enginyeria I r r F = λ ⋅ V = ( λ ⋅ Vx , λ ⋅ V y , λ ⋅ V z ) (3) r r El vector F té la mateixa direcció i sentit del vector V , però el seu mòdul és λ vegades més gran.
Forma alternativa d'expressar un vector: a partir de les definicions precedents de vector unitari, suma i producte d'un vector per un escalar, un vector pot representar-se en funció dels vectors unitaris iˆ , jˆ i kˆ de la manera alternativa següent: r V = Vx ⋅ iˆ + V y ⋅ ˆj + Vz ⋅ kˆ (4) (Exemple: el vector (3,5,4) també es pot escriure com 3iˆ + 5 ˆj + 4 kˆ .) PRODUCTE DE DOS VECTORS r r Donats dos vectors A = ( Ax , Ay , Az ) i B = ( B x , B y , B z ) , podem definir dues operacions diferents de producte: producte escalar i producte vectorial.
Important: el producte escalar de dos vectors dóna com a resultat un escalar (nombre). El producte vectorial de dos vectors dóna com a resultat un vector.
PRODUCTE ESCALAR r r r r El producte escalar de dos vectors, A i B , es representa de la forma A ⋅ B i es defineix com: r r r r A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos α , (5) onα és l'angle que formen els dos vectors entre si.
Si bé aquesta és la definició de producte escalar, no és la manera més convenient de calcular el valor d'aquest producte, ja que en la majoria de les ocasions desconeixem el valor de α i el que coneixem és el valor de les components de cada vector.
Podem donar una expressió equivalent per al producte escalar utilitzant la representació d'un vector en funció dels vectors unitaris (4). Sabem que aquests Nocions bàsiques de càlcul vectorial 7 vectors ( iˆ , ˆj i kˆ ) formen 90º entre si, de manera que aplicant la definició (5) tenim: iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1⋅ 1 ⋅ cos( 0) = 1 i iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 1 ⋅1 ⋅ cos(90) = 0 Utilitzant aquest resultat tenim: r r A ⋅ B = ( Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ ) ⋅ ( Bx iˆ + B y ˆj + B z kˆ ) = Ax B x ( iˆ ⋅ iˆ) + Ax B y (iˆ ⋅ ˆj ) + K + Az Bz (kˆ ⋅ kˆ ) Cada terme entre parèntesis dóna 0 o 1 i al final obtenim el resultat: r r A ⋅ B = Ax Bx + Ay B y + Az B z (6) Aquesta és la definició que ens permet calcular el producte escalar de dos vectors en funció de les seves components i que serà de més utilitat al llarg del curs.
r r Exemple: calculeu el producte escalar de A : (1,2, 4) i B : ( 3,5,0) .
r r A ⋅ B = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 0 = 13 PRODUCTE VECTORIAL Ja hem dit que el producte vectorial de dos vectors és un vector. El producte vectorial apareix en molts camps de la física, i per tant és important saber calcular-lo correctament. En aquest resum no ens centrarem en els motius que originen la necessitat d'introduir aquests vectors en la física i ens limitarem a veure la seva definició.
r r r r El producte vectorial de dos vectors, que representem com A ∧ B ó A × B , es defineix com el vector que té per mòdul: r r r r A ∧ B = A ⋅ B ⋅ sinα, (7) r r la direcció del qual és perpendicular al pla que conté els vectors A i B i el sentit del qual ve donat per la regla de la mà dreta (figura 6).
8 Fonaments Físics de l'Enginyeria I Podem expressar el producte vectorial en funció de les components de cada un dels vectors igual que en el producte escalar a partir de la definició. En primer lloc, determinem el producte vectorial dels vectors unitaris.
iˆ ∧ iˆ = 0 , iˆ ∧ ˆj = kˆ , ˆj ∧ iˆ = −kˆ , ˆj ∧ ˆj = 0 , iˆ ∧ kˆ = − ˆj r j ∧ kˆ = iˆ kˆ ∧ iˆ = ˆj , kˆ ∧ ˆj = −iˆ , kˆ ∧ kˆ = 0 El producte vectorial expressat en funció de les components dels vectors queda: r r A ∧ B = Ax B x (iˆ ∧ iˆ) + Ax B y (iˆ ∧ ˆj ) + K + Az B z ( kˆ ∧ kˆ ) Si substituïm cada parèntesi pel valor obtingut anteriorment, queda: r r A ∧ B = ( Ay Bz − Az By )iˆ − ( Ax B z − Az Bx ) ˆj + ( Ax B y − Ay Bx ) kˆ (8) Aquesta expressió correspon al vector producte vectorial.
→ → A∧B → B → A Figura 6 Producte vectorial Aquest resultat pot expressar-se igualment d'una manera molt més compacta utilitzant les propietats dels determinants: Nocions bàsiques de càlcul vectorial 9 iˆ r r A ∧ B = Ax Bx ˆj kˆ Ay By Az Bz Si calculem el determinant (bé per desenvolupament per menors o per la regla de Barrow), trobem que equival exactament a l'expressió (8).
Com a desenvolupament per menors, aquest determinant pot expressar-se de la manera següent: iˆ r r A ∧ B = Ax Bx ˆj Ay By kˆ Ay Az = iˆ ⋅ By Bz Az A − jˆ ⋅ x Bz Bx Az ˆ Ax +k⋅ Bx Bz Ay By r r Exemple: calculeu el producte vectorial de A : (1,2, 4) i B : ( 3,5,0) .
iˆ ˆj kˆ r r 2 4 1 4 ˆ 1 2 A ∧ B = 1 2 4 = iˆ ⋅ − ˆj ⋅ +k⋅ = iˆ( 2 ⋅ 0 − 4 ⋅ 5) − ˆj (1 ⋅ 0 − 4 ⋅ 3) + kˆ (1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 3) = 5 0 3 0 3 5 3 5 0 = −20iˆ + 12 ˆj − kˆ IV. REPRESENTACIÓ D'UN VECTOR EN FUNCIÓ DEL SEU MÒDUL I EL SEU VECTOR UNITARI En moltes ocasions, en estudiar diversos problemes físics ens trobem amb vectors dels quals coneixem el mòdul i la direcció (per exemple, en mecànica en moltes ocasions sabem quina força estem aplicant i en quina direcció). Per al desenvolupament matemàtic de les equacions, tanmateix, és molt útil l'ús de les components d'un vector. En aquest apartat recordarem com es calculen les components d'un vector a partir del seu mòdul i vector unitari.
10 Fonaments Físics de l'Enginyeria I DETERMINACIÓ DE LES COMPONENTS DEL VECTOR UNITARI A UN EIX DONAT Per especificar una determinada direcció en l'espai, hem de caracteritzar les components de l'eix en la direcció esmentada. Un eix queda determinat per un vector unitari en la direcció de l'eix esmentat (figura 7).
Podem determinar les components del vector unitari d'un eix en dues formes: 1. Si coneixem dos punts qualssevol de l'eix, P i Q, podem determinar el vector unitari de la manera següent: r PQ uˆ = r PQ 2. Si coneixem els angles que forma l'eix amb els eixos cartesians X, Y, Z, podem determinar el vector unitari a través dels cosinus directors uˆ = (cos α , cos β , cos γ ) , onα és l'angle entre l'eix donat i l'eix X, β és l'angle entre l'eix i l'eix Y i γ és l'angle que l'eix forma amb l'eix Z.
•Q Eje Z û •P γ β Y α X Figura 7 Determinació de les components del vector unitari en la direcció d’un eix donat Nocions bàsiques de càlcul vectorial 11 Una vegada calculat el vector unitari en la direcció que ens interessa, podem escriure un vector qualsevol en l'esmentada direcció com: r r V = V ⋅ uˆ Exemple: un vector de mòdul 15 és aplicat en la direcció de la diagonal del cub, d'aresta L, mostrat a la figura. Determineu les components del vector esmentat.
Z B → V L Y A X Per determinar el vector, necessitem el seu mòdul i el seu vector unitari. El vector unitari el podem determinar a partir de les components de dos punts de l'eix que conté el vector.
De la figura obtenim A : ( L,0,0) i B : ( 0, L, L ) . A partir d'aquests formem el r r vector A B = (− L, L, L) i el seu mòdul és A B = (− L) 2 + L2 + L2 = L 3 r AB  1 1 1  El vector unitari en aquesta direcció és uˆ = r =  − , ,  3 3 3  AB  r r  El vector buscat és V = V ⋅ uˆ = 15 ⋅  −  1 1 1   15 15 15  , ,  =− , ,  3 3 3  3 3 3 12 Fonaments Físics de l'Enginyeria I Exemple: determineu les coordenades d'un vector de mòdul 15 que està situat sobre la diagonal de la cara inferior d'un cub idèntic al de l'exemple anterior.
Z L Y → γ V β X α En aquest cas, determinarem el vector unitari a partir dels cosinus directors de l'eix que conté el vector. De la figura veiem que l'eix forma un angle de 135º amb l'eix X, un angle de 45º amb l'eix Y i un angle de 90º amb l'eix Z, de manera que podem escriure:  1 1  uˆ = (cos 135, cos 45, cos 90) =  − , ,0  2 2   i el vector vindrà donat per: r r  15 15  V = V ⋅ uˆ =  − , ,0  2 2   ...