Espacio Rn (2010)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 2010
Páginas 5
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Descripción esquemática y detallada

Vista previa del texto

n 1 –Conceptes de l’espai ℜ L’espai ℜ n té una estructura algèbrica d’espai vectorial, formada per vector; i es defineix com:  x ∈ ℜ ∀i r ℜ n = {x = ( x1 , x 2 ,...x n )} on  i n ∈ N Una funció de dues variables és pot representar com a: f ( x, y ) = z , també és pot expressar implícitament com a f ( x, y, z ) = 0 on x i y serien variables independents i z seria una variable dependent.
Exemples: • Si n = 1 formarà el conjunt dels nombres reals, formant una recta real: r ℜ = {x = ( x )} on x ∈ ℜ • Si n = 2 tenim el pla real: r ℜ ⋅ ℜ = ℜ 2 = {x = ( x, y )} on x, y ∈ ℜ • Si n = 3 serà l’espai de tres dimensions: r ℜ ⋅ ℜ ⋅ ℜ = ℜ 3 = {x = ( x, y, z )} on x, y, z ∈ ℜ Propietats de l’espai vectorial. Partint que K es el cos sobre el que es fa l’espai vectorial, on aquest és un Grup abelià (V, +): • Distributiva → α ⋅ (u + v ) = α ⋅ u + α ⋅ v • Commutativa → α ⋅ β = β ⋅ α • Associativa → (α ⋅ β ) ⋅ u = α ⋅ (β ⋅ u ) • Element neutre → 1 ⋅ u = u ∀α ∈ K ; ∀u, v ∈ V ∀α , β ∈ K ∀α , β ∈ K ; ∀u ∈ V ∀u ∈ V Operacions vectorials: • r r r r Suma de vectors → u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 ,..., un + vn ) on u , v ∈ ℜn • r r r r Resta de vectors → u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 ,..., un − vn ) on u , v ∈ ℜn • r r r Multiplicació per un nombre → k ⋅ v = (k ⋅ v1 , k ⋅ v2 ,..., k ⋅ vn ) on u , v ∈ ℜ n i k ∈ ℜ • n r r Producte escalar → u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + ... + un ⋅ vn = ∑ ui ⋅ vi r r on u , v ∈ ℜ n i =1 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 2-1 1. Norma i Distancia Distancia: Per als nombres reals seria: d ( x, y ) = x − y on x, y ∈ ℜ Norma euclidiana: Indicarà la distancia del segment que uneix l’eix de coordenades amb el punt: r x = x 12 + x 22 + .. + x 2n r on x = ( x1 + x 2 + .. + x n ) ∈ ℜ n r  x ≥0  r r Pr opietats  α ⋅ x = α ⋅ x on α ∈ ℜ r r r r x+y ≤ x + y Distancia euclidiana: Ens donarà la distància entre dos punts: r r r r d (x , y ) = x − y = ( x1 − y1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + ... + ( x n − y n ) 2 r r d ( x , y ) ≥ 0 r r  r r Pr opietats d ( x , y ) = d ( y, x ) d ( xr, yr ) ≤ d ( xr, zr ) + d ( zr, yr )  r r on x , y ∈ ℜ n r r r on x , y, z ∈ ℜ Exemple 1: Busca la Norma i Distancia euclidiana del següent parell de vectors: r x = (2,3) r y = (4,5) Normes euclidianes: (2,3) → r x = 2 2 + 32 = 13 (4,5) → r y = 4 2 + 52 = 41 Distancia euclidiana: r r r r d ( x , y ) = x − y = (2 − 4) 2 + (3 − 5) 2 = Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 8 2-2 2. Topologia de l’espai euclidià n-dimensional Ens centrarem a saber la forma del conjunt que analitzem.
r E (α , r ) = {x ∈ ℜ on α − r < x < α + r} Entorn esfèric o Bola oberta: Serà el conjunt que acompleix que: r a ∈ ℜ n r r r r r r n B(a , r ) = x ∈ ℜ on d ( x , a ) = x − a < r on  r > 0 { } Exemples: • Si n = 2 llavors: { r r r B(a , r ) = ( x, y ) ∈ ℜ 2 on d ( x , a ) = r  x = ( x, y ) on  r a = (a1 , a 2 ) • (x − a1 )2 + ( y − a 2 )2 <r } Si n = 3 llavors: { r r r B(a , r ) = ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 on d ( x , a ) = r  x = ( x, y , z ) on  r a = (a1 , a 2 , a3 ) (x − a1 )2 + ( y − a 2 )2 + (z − a3 )2 <r } Bola tancada: Serà el conjunt que acompleix que: { r r B(a , r ) = x ∈ ℜn r r r r on d ( x , a ) = x − a ≤ r } r a ∈ ℜ n on  r > 0 2.1. Obert o Tancat; tipus de conjunts: • Conjunt obert: El seu complementari conté tots els punts de la frontera.
El complementari serà → Ac = ℜn \ A • Conjunt tancat: Inclou tots els punts de la frontera.
• Conjunt ni tancat ni obert: cap dels dos contenen tots els punts de la frontera.
• Conjunt obert i tancat a l’hora: Ell i el seu complementari contenen els punts de la frontera.
Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 2-3 Conseqüències: • La intersecció arbitrària i finita de conjunts oberts resulta un conjunt obert.
• La intersecció arbitrària i finita de conjunts tancats resulta un conjunt tancat.
2.2. Conjunts Fitats: El conjunt es trobarà contingut en una bola de centre a l’origen de coordenades i per un cert radi fixat.
2.3. Compactes: Si i només si es fitat i tancat.
2.4. Convexos: Quan podem unir dos punts qualsevol del conjunt, mitjançant un segment totalment contingut en el conjunt.
Exercici 1: Dels següents conjunts, senyala els que consideris convexos: Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 2-4 Exercici 2: Dels següents conjunts, senyala els que consideris convexos: a.
b.
c.
d.
Conjunt poligonal delimitat pels los punts (0,1),(1,0),(1,3),(0,1) Conjunt poligonal delimitat pels los punts (1,1),(2,1),(2,3),(-1,2),(-1,0),(1,1) Conjunt poligonal delimitat pels los punts (0,0),(5,0),(0,3),(1,2),(0,0) Conjunt poligonal delimitat pels los punts f ( x, y ) = ( x, y ) ∈ R 2 / y ≥ x { } Exercici 3: A partir de les gràfiques dels següents conjunts, senyala els que consideris convexos: a.
b.
{ { } f ( x, y ) = ( x, y ) ∈ R 2 / 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 f ( x, y ) = ( x, y ) ∈ R 2 / x + y ≤ 1 ; x − y ≤ 1 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit } 2-5 ...