Sem 7 Sol (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas II
Año del apunte 2015
Páginas 3
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 1
Subido por

Descripción

Toda la teoría y práctica de la asignatura

Vista previa del texto

Matem` atiques II Problemes del Seminari 7 Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu.
Mat`eria: Sessions 14, 15 i 16 de teoria.
√ 1. Trobeu max / min f (x, y) = xy subjecte a x + 2y = 4 en el primer quadrant x, y ≥ 0. Feu servir el m`etode de Lagrange, gr`aficament i anal´ıtica.
√ ´ SOLUCI √ O: Gr`aficament: dibuixem tres corbes de nivell, z = 1, z = 2, z = 3 i la restricci´ √ o. La soluci´o ´es evident: M`axim global de 2 al punt (2, 1); √ √ xy = 3 3 √ √ xy = 2 2 √ xy = 1 √ xy = 0 1 0 1 2 3 4 5 x + 2y = 4 dos m´ınims globals a (0, 2) i (4, 0). El valor del m´ınim ´es 0.
Si fem Lagrange, L = x1/2 y 1/2 − λ(x + 2y − 4), i tenim que els candidats surten de  1 −1/2 1/2   y −λ = 0   2x √ 1 1/2 −1/2 candidat (2, 1) amb λ = 2/4.
x y − 2λ = 0   2   x + 2y = 4 Alerta!: els extrems (0, 2) i (4, 0) no apareixen com a candidats Lagrange, per`o s’han de considerar (Teorema dels valors Extrems: el segment de recta entre els dos punts ´es un compacte). Resultat, comparem valors de la funci´o i tenim √ f (2, 1) = 2; f (0, 2) = f (4, 0) = 0 : √ max global= 2 a (2, 1) i min global=0 a (0, 2) i (4, 0).
Tamb´e es pot comprovar que Lλ=√2/4 ´es c`oncava en el domini x ≥ 0; y ≥ 0.
Aix`o demostra que el candidat (2, 1) ´es m`axim global.
2. Considerem el problema max / min f (x, y) = 16 − x2 − y 2 amb la restricci´o y 2 = 2 − x.
(a) Dibuixeu almenys les tres corbes de nivell de cotes 0, 7, 12 de la funci´o juntament amb la restricci´o, indicant els punts `optims. Aleshores dibuixeu aproximadament la corba de nivell que talla tangencialment a la restricci´o en cada punt o`ptim. Raoneu, a partir de la representaci´o gr`afica realitzada, si heu trobat un m`axim o un m´ınim.
(b) Resoleu el problema eliminant una de les variables a la restricci´o i justifiqueu que efectivament els resultats abans obtinguts. Alerta! Vigileu amb el domini de la funci´o d’una variable obtinguda despr´es de la substituci´o.
(c) Resoleu el problema pel m`etode de Lagrange per a trobar els punts o`ptims, indicant quins s´on max i quins s´on min.
√ ´ (a) M`axim (global) 57/4 = 14.25 a SOLUCIO: 1/2, ± 6 . M´ınim local 12 2 a (2, 0).
4 z=0 3 z=7 2 z = 12 1 z = 57/4 = 14.25 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 Gr`aficament es veuen b´e els dos max i el min. (b)La substituci´o. Si fem y 2 = 2 − x obtenim g(x) = −x2 + x + 14 definida a (−∞, 2]. Llavors el punt x = 2 interv´e en la llista de candidats a max/min. g (x) = 0 ens proporciona x = 1/2 com a m`axim de la par`abola g(x). El valor x = 2 ens d´ona un m´ınim local. (c) Lagrange funciona b´e; per (1/2, ± 3/2) tenim que λ = −1 i Lλ=−1 = −x2 +x+14 ´es una funci´o c`oncava: els punts s´on m`axims globals. En canvi per (2, 0), λ = −4 i la Lagrangiana corresponent, Lλ=−4 ´es indefinida.
En aquest cas, l’hessi`a orlat ens diu que el punt ´es un min (local). SOLVER no ho fa gaire b´e. Wolframalpha se’n surt millor! 3. Donada f (x, y) = x2 (x − y − 1), trobeu el seu max/min subjecte a x + y − 2 = 0 fent servir el m`etode de Lagrange.
´ Candidats: (0, 2), (1, 1). M´ınim local −1 a (1, 1). M`axim local 0 a SOLUCIO: (0, 2). No s´on globals perqu`e sobre la recta podem trobar valors m´es grans i m´es petits (g(x) = x2 (2x − 3)).
Alerta! La concavitat/convexitat de la Lagrangiana no serveix per classificar.
Podeu fer servir l’hessi`a orlat que s´ı que funciona i us proporciona max/min locals: 0 1 1 |HOrlat (x, y) = 1 x − 2y − 2 −2x = −10x + 2y + 2; 1 −2x 0 |HOrlat (1, 1)| = −6 < 0, MIN LOCAL; |HOrlat (0, 2)| = 6 > 0, MAX LOCAL.
El m`etode gr`afic funciona b´e. Alerta! Les corbes de nivell s´on semblants a hip`erboles i en el punt (0, 2), (gx , gy ) = (1, 1) i (fx , fy ) = (0, 0). Per tant λ = 0 i no hi ha tang`encia entre g = 0 i f = 0. SOLVER tindr`a dificultats per trobar els extrems RELATIUS (s’ha de comen¸car relativament a prop de l’extrem; si no, el valor de la funci´o es fa cada cop m´es gran). Wolframalpha tamb´e t´e dificultats amb els extrems relatius! El m`etode de substituci´o, porta a una funci´o d’una variable molt senzilla, g(x) = x2 (2x − 3).
4. En resoldre el problema max f (x, y) amb restricci´o g(x, y) = c hem obtingut que el valor m`axim de f ´es f ∗ = 5c3 . Suposem ara que c = 1; en quant augmentaria aproximadament el valor o`ptim de f si la restricci´o fos g(x, y) = 1.1? ´ f ∗ (c + dc) − f ∗ (c) SOLUCIO: f ∗ (1.1) − f ∗ (1) 15·0.1 = 1.5.
λ·dc. Aqu´ı, λ = (f ∗ ) = 15c2 . Llavors, ...