Apuntes de espacios vectoriales, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales... (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Álgebra
Año del apunte 2014
Páginas 36
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 20

Descripción

Apuntes de espacios vectoriales, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales...

Incluye ejemplos, ejercicios, demostraciones...

Vista previa del texto

2. Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals 2.1 Definicions Un espai vectorial e´ s una estructura algebraica com tamb´e ho s´on el concepte de grup, d’anell o el de cos. Ac´ı considerarem exclusivament espais vectorials sobre el cos commutatiu (R, +, ·), encara que la definici´o de tal concepte es pot fer sobre qualsevol altre cos.
Definici´o 2.1.1 Es diu que un conjunt V t´e estructura d’espai vectorial, si: • En V hi ha definida una llei de composici´o interna ‘+’ de manera que (V, +) e´ s un grup commutatiu.
• Hi ha una llei de composici´o externa, denotada per ‘·’, R×V −→ V → → (α, − v ) −→ α · − v → → que satisf`a les seg¨uents propietats ∀α, β ∈ R, ∀− v ,− w ∈V, → → → → (i) α · (− v +− w) = α · − v +α·− w, → → → (ii) (α + β) · − v =α·− v +β·− v, → → (iii) α · (β · − v ) = (αβ) · − v, → → (iv) 1 · − v =− v.
19 Denotarem l’element neutre de R per 0 i l’element neutre de (V, +) tamb´e per 0. Encara que es denoten amb el mateix s´ımbol, el context permetr`a deduir quan es tracta d’un escalar o d’un vector. Els elements de V es diuen vectors i els → → → → → de R escalars. Els vectors es denotaran amb lletres llatines, − x,− y ,− z , v− v ,− w,..., i els escalars amb lletres gregues, α, β, γ, λ, µ, ....
Nota. El signe ‘·’ denota la llei de composici´o externa i d’ara endavant a vegades es suprimir`a. Aix`o es far`a aix´ı sempre que no hi haja lloc a confusi´o.
Exemples.
n • (R , +, ·) e´ s un espai vectorial.
• El conjunt de vectors fixos del pla ordinari que tenen un mateix punt origen.
n • El conjunt, R [x], de polinomis d’una variable indeterminada, x, amb coeficients en R, de grau n, amb la suma de polinomis i el producte d’un escalar per un polinomi.
Propietats. De la definici´o d’espai vectorial es compleix que → • 0·− v = α · 0 = 0, → ∀α ∈ R, ∀− v ∈V.
→ → → • α · (−− v ) = (−α) · − v = −(α · − v ), → ∀α ∈ R, ∀− v ∈V.
→ → • α·− v = 0 implica que o b´e α = 0 o´ b´e − v = 0.
→ → → → • Si α · − v =α·− w i l’escalar α = 0, aleshores − v =− w.
→ → → • Si α · − v =β·− v i el vector − v = 0, aleshores α = β.
2.2 Subespais vectorials Definici´o 2.2.1 Siga (V, +, ·) un espai vectorial i siga H un subconjunt de V .
Direm que H e´ s un subespai vectorial de V si H e´ s un espai vectorial amb les mateixes operacions.
Exemples.
2 (i) Siga V = R [x] l’espai vectorial dels polinomis de coeficients reals de grau menor o igual que 2. El subconjunt de polinomis de V que s’anul·len en x = 1 e´ s un subespai vectorial de V . Per`o el subconjunt de polinomis de V que en x = 1 prenen el valor 2 no ho e´ s.
20 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals 3 (ii) Siga V = R , el subconjunt de vectors (x, y, z) tals que 2x − z = 0 e´ s un subespai vectorial de V . Per`o el subconjunt de vectors (x, y, z) tals que 2x − z = −2 no ho e´ s.
Proposici´o 2.2.2 Caracterizaci´o dels subespais vectorials. Siga (V, +, ·) un espai vectorial i siga H un subconjunt de V . Aleshores, H e´ s un subespai → → vectorial de V si i nom´es si ∀− v ,− w ∈ H, es compleix que → → α·− v +β·− w ∈ H, per a qualsevol α, β ∈ R.
2 Exemples. Considerem l’espai vectorial dels vectors en el pla R i els seg¨uents subespais 2 H1 = {(x, y) ∈ R / x + y = 0} , 2 H2 = {(x, y) ∈ R / x + y = 2}.
2 Anem a provar que H1 e´ s un subespai vectorial de R per`o que H2 no ho e´ s.
→ → Siguen − v = (v1 , v2 ) i − w = (w1 , w2 ) elements de H1 (´es a dir, verifiquen que v1 + v2 = 0 i que w1 + w2 = 0) i siguen α, β ∈ R. Vejam que l’element → → α·− v +β·− w tamb´e e´ s un element de H1 siguen els que siguen α i β, → → α·− v +β·− w = (αv1 , αv2 ) + (βw1 , βw2 ) = (αv1 + βw1 , αv2 + βw2 ), i es compleix que la suma de les seues coordenades e´ s igual a zero (αv1 + βw1 ) + (αv2 + βw2 ) = α · (v1 + v2 ) + β · (w1 + w2 ) = α · 0 + β · 0 = 0.
→ → Anem amb H2 , siguen − v = (v1 , v2 ) i − w = (w1 , w2 ) elements de H2 (´es a dir, verifiquen que v1 + v2 = 2 i que w1 + w2 = 2) i siguen α, β ∈ R. Vejam → → que l’element α · − v +β·− w NO e´ s en general un element de H2 , → → α·− v +β·− w = (αv1 + βw1 , αv2 + βw2 ), i es compleix que (αv1 + βw1 ) + (αv2 + βw2 ) = α · (v1 + v2 ) + β · (w1 + w2 ) = α · 2 + β · 2.
Per tant, nom´es per a alguns valors de α i β es compliria per`o NO per a tots.
→ → En particular, siguen − v = (2, 0) ∈ H2 i − w = (1, 1) ∈ H2 , aleshores 2 · (2, 0) + 5 · (1, 1) = (4, 0) + (5, 5) = (9, 5) ∈ / H2 .
21 Exemples. Anem a provar que el subconjunt de polinomis de V que s’anul·len en x = 1 e´ s un subespai vectorial de V H1 = {Ax2 + Bx + C amb A + B + C = 0, A, B, C ∈ R}.
→ → Per tal de fer-ho, siguen − v = A1 x2 +B1 x+C1 ∈ H1 i − w = A2 x2 +B2 x+C2 ∈ H1 dos elements de H1 , i α, β ∈ R. Considerem el polinomi de grau 2 que s’obt´e al multiplicar-los per α i β, aleshores α · (A1 x2 + B1 x + C1 ) + β · (A2 x2 + B2 x + C2 ) = (αA1 + βA2 )x2 +(αB1 + βB2 )x + (αC1 + βC2 ), e´ s un polinomi de segon grau que s’anul·la en x = 1, α(A1 + B1 + C1 ) + β(A2 + B2 + C2 ) = α · 0 + β · 0 = 0, → → ja que − v = A1 x2 + B1 x + C1 i − w = A2 x2 + B2 x + C2 s´on elements de H1 .
Per tant, H1 e´ s un subespai vectorial de l’espai vectorial dels polinomis de grau 2 que s’anul·len en x = 1.
Vejam per`o que el subconjunt de polinomis de V que en x = 1 prenen el valor 2 no e´ s un subespai vectorial. Siga H2 = {Ax2 + Bx + C amb A + B + C = 2, A, B, C ∈ R}.
Aleshores quan agafem dos polinomis d’aquest subespai, A1 x2 + B1 x + C1 i A2 x2 + B2 x + C2 , i els multipliquem per uns escalars α i β, i despr´es calculem el seu valor en x = 1 es compleix que α(A1 + B1 + C1 ) + β(A2 + B2 + C2 ) = α · 2 + β · 2, per`o aquest valor NO sempre e´ s igual a 2, e´ s a dir, no es verifica per a tots els α i β. Nogensmenys, encara no hem provat que no e´ s un subespai vectorial. Per tal de provar-ho anem a donar dos polinomis de H2 que no ho verifiquen. Per → → exemple, siguen − v = 4x2 − x − 1, i − w = x2 + x, que en x = 1 prenen el valor 2, i siguen α = 2 i β = 3, aleshores → → 2·− v +3·− w = 2 · (4x2 − x − 1) + 3 · (x2 + x) = 11x2 + x − 2, i quan x = 1 pren el valor 11 + 1 − 2 = 10. Per tant, H2 no e´ s un subespai vectorial de V .
22 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals 2.3 Generaci´o de subespais Anem a vore com es poden obtenir f`acilment subespais vectorials a partir d’un conjunt de vectors.
→ → → − → ´ s combiDefinici´o 2.3.1 Siga − w ∈ V i {− v1 , − v2 , . . . , − v→ n } ⊂ V . Es diu que w e − → − → − → naci´o lineal de { v1 , v2 , . . . , vn } si existeix un conjunt d’escalars {α1 , α2 , . . . , αn } tals que − → → → w = α1 − v1 + α2 − v2 + ... + αn − v→ n.
Exemple. El vector (4, 6, 7) e´ s combinaci´o lineal de {(1, 2, 3), (−1, 0, 2)} ja que podem trobar dos valors α1 = 3 i α2 = −1 tals que (4, 6, 7) = 3 · (1, 2, 3) + (−1) · (−1, 0, 2).
Definici´o 2.3.2 Siga S un subconjunt de V . Es defineix el subespai vectorial generat o engendrat per S, i es denota per S , com el subconjunt de V , → → → → − → S = {− w ∈ V /− w = α1 − v1 + α2 − v2 + ... + αn − v→ n : vi ∈ S}, e´ s a dir, e´ s el conjunt de tots els vectors que es poden obtenir amb combinacions lineals dels elements de S.
Es diu tamb´e que S e´ s un sistema generador de S , i de fet, S e´ s el menor subespai vectorial de V que cont´e el conjunt S.
3 Exemple. Considerem els seg¨uents subconjunts de R , S1 = {(1, 1, 0)} , S2 = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}.
El subespai vectorial generat per S1 e´ s 3 → → < S1 >= {− v ∈R /− v = α · (1, 1, 0) amb α ∈ R} = {(α, α, 0) / α ∈ R}, 3 e´ s a dir, tots els vectors de R que tenen les dos primeres coordenades iguals i la tercera igual a zero. El subespai vectorial generat per S2 e´ s 3 → → < S2 > = {− v ∈R /− v = α · (1, 1, 0) + β · (0, 0, 1) amb α, β ∈ R} = {(α, α, β) / α, β ∈ R}, 3 e´ s a dir, tots els vectors de R que tenen les dos primeres coordenades iguals (sobre la tercera no hi ha cap restricci´o!).
23 En l’exemple anterior a partir d’uns vectors hem trobat quin e´ s el subespai vectorial que generen per`o a vegades el proc´es e´ s a l’inrev´es: Coneixem el subespai i volem trobar una fam´ılia de vectors que generen el subespai. A continuaci´o tenim un exemple.
Exemple. Trobar un conjunt de vectors que generen el seg¨uent subespai 3 H = {(x, y, z) ∈ R tals que 2x − z = 0}.
La relaci´o entre les coordenades d’un vector de H que ens determina el subespai ens diu que els vectors de H verifiquen que z = 2x, (x, y, z) = (x, y, 2x) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 0), → → i per tant, els vectors − v1 = (1, 0, 2) i − v2 = (0, 1, 0) generen el subespai H.
2.4 Depend`encia i independ`encia lineal → → Definici´o 2.4.1 Direm que la fam´ılia de vectors {− v1 , − v2 , . . . , − v→ ´s n} e • una fam´ılia lligada si existeixen {α1 , α2 , . . . , αn }, algun d’ells distint de zero, tals que → → α1 − v1 + α2 − v2 + ... + αn − v→ n = 0.
• una fam´ılia lliure si l’expressi´o → → α1 − v1 + α2 − v2 + ... + αn − v→ n =0 implica que α1 = 0, α2 = 0, ..., αn = 0 (tots han de ser zero).
3 Exemple. En R es considera la fam´ılia → → → → {− v1 = (1, 0, 2), − v2 = (0, 1, 0), − v3 = (−1, 0, 1), − v4 = (2, 3, −4)}.
Aquesta e´ s una fam´ılia lligada ja que 8 2 (1, 0, 2) + (−3)(0, 1, 0) + (−1, 0, 1) + 1(2, 3, −4) = (0, 0, 0), 3 3 → → → per`o la fam´ılia formada nom´es per {− v1 , − v2 , − v3 } e´ s lliure.
24 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals 2.5 Espais vectorials de dimensi´o finita Siga V un espai vectorial. Direm que V e´ s de dimensi´o finita si existeix un subconjunt finit S de V tal que < S >= V , e´ s a dir, si existeix un subconjunt → generador finit de V . Aix´ı, tot vector − v de V e´ s combinaci´o lineal d’un nombre finit de vectors de S.
A partir d’ara, i mentre no es diga una altra cosa, considerarem nom´es espais vectorials de dimensi´o finita.
Definici´o 2.5.1 Base d’un espai vectorial. Siga B un subconjunt finit, B = → → {− v1 , − v2 , . . . , − v→ ´ s base de V si i nom´es si B e´ s sistema genern }. Es diu que B e ador de V (´es a dir, < B >= V ) i B e´ s una fam´ılia lliure.
Exemples.
n • (R , +, .) e´ s un R-espai vectorial. Una base e´ s → → {− e1 = (1, 0, . . . , 0), − e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , − e→ n = (0, 0, . . . , 0, 1)}.
n Aquesta base s’acostuma a anomenar la base can`onica de R .
• Una base de l’espai vectorial dels polinomis de grau n en una inc`ognita n x, R [x], est`a formada pels (n + 1) polinomis {1, x, x2 , . . . , xn }.
→ → ´ s una fam´ılia lliure, aleshores S e´ s una base de • Si S = {− v1 , − v2 , . . . , − v→ n} e l’espai vectorial < S >.
Les seg¨uents afirmacions permeten parlar amb tot rigor de bases dels espais vectorials de dimensi´o finita. Les enunciarem sense demostrar-les.
Proposici´o 2.5.2 • Tot espai vectorial de dimensi´o finita no trivial t´e almenys una base.
• En un espai vectorial de dimensi´o finita totes les bases tenen el mateix nombre de vectors.
Definici´o 2.5.3 Anomenarem dimensi´o d’un espai vectorial al nombre de vectors d’una qualsevol de les seues bases.
− → Per conveni, direm que l’espai trivial { 0 } t´e dimensi´o zero. Recordem que la dimensi´o est`a ben definida ja que totes les bases tenen el mateix nombre de vectors.
Exemples.
25 3 3 • La dimensi´o de R e´ s 3. Una base de R e´ s, per exemple, la mateixa base can`onica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Per`o n’hi ha d’altres (Quantes? Infinites!). A continuaci´o teniu un parell B1 = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (1, 1, 0)} , B2 = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}.
3 • La dimensi´o de R [x] e´ s 4. Una base e´ s {1, x, x2 , x3 }, per`o tamb´e n’hi ha infinites. Per exemple, aquesta tamb´e e´ s una base, B04 (x) = (1 − x)4 , B14 (x) = 4x(1 − x)3 , B24 (x) = 6x2 (1 − x)2 , B34 (x) = 4x3 (1 − x), B44 (x) = x4 .
Els polinomis Bi4 (x) s´on els polinomis de Bersntein d’ordre 4.
El que s´ı que farem ser`a demostrar un parell de m`etodes per obtenir bases a partir de fam´ılies de vectors que siguen, b´e sistema generador, b´e fam´ılia lliure.
Proposici´o 2.5.4 Siga V un espai vectorial de dimensi´o finita i suposem que → → → tenim un sistema generador de V , S = {− v1 , − v2 , . . . , − vq }. Aleshores, podem llevar vectors de S fins a obtenir una base de V .
→ → → Demostraci´o. Ja sabem que {− v1 , − v2 , . . . , − vq } e´ s un sistema generador. Si a m´es a m´es, e´ s lliure aleshores ja tenim una base. Si no e´ s lliure llavors existeix un vector que e´ s combinaci´o lineal dels altres. Suposem que e´ s l’´ultim. Si l’el·liminem del sistema generador encara ens quedar`a un sistema generador, → → → ´ s lliure aleshores ja {− v1 , − v2 , . . . , − v− q−1 }. Si aquesta nova fam´ılia de vectors e tenim una base. Si no e´ s lliure llavors existeix un vector que e´ s combinaci´o lineal dels altres. Suposem que e´ s l’´ultim. Si l’el·liminem del sistema generador → → → encara ens quedar`a un sistema generador, {− v1 , − v2 , . . . , − v− es q−2 }. Repetint el proc´ un nombre finit de vegades, com a m`axim q − 1, obtindr´ıem finalment la base desitjada.
✷ → → → Proposici´o 2.5.5 Siga V un espai vectorial de dimensi´o finita i siga S = {− v1 , − v2 , . . . , − vq } una fam´ılia lliure de vectors de V . Aleshores, podem afegir a S vectors de V fins a obtenir una base.
→ → → Demostraci´o. Ja sabem que {− v1 , − v2 , . . . , − vq } e´ s lliure. Si a m´es a m´es e´ s un sistema generador de V aleshores ja tindr´ıem la base desitjada. Si no 26 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals e´ s sistema generador, llavors < S > no e´ s tot l’espai vectorial V , per tant → → existeix almenys un vector − w = 0 tal que − w no pertany a < S >. Aleshores → → → → {− w,− v1 , − v2 , . . . , − vq } e´ s una fam´ılia lliure. Repetint el proc´es, com que V e´ s un espai vectorial de dimensi´o finita, tenim que despr´es d’un nombre finit de pasos s’aconsegueix la base desitjada. Aquest proc´es e´ s diu completaci´o de la fam´ılia lliure.
✷ 2.6 Coordenades d’un vector respecte d’una base → → → Definici´o 2.6.1 Siga − v ∈ V i B = {− e1 , − e2 , . . . , − e→ n } una base. Anomenarem − → coordenades del vector v respecte de la base B als escalars {α1 , α2 , . . . , αn } tals que − → → → v = α1 − e1 + α2 − e2 + ... + αn − e→ n.
→ Habitualment, denotarem al vector com − v = (α1 , α2 , . . . , αn ) i ja entendrem que les coordenades s´on respecte de la base que estiguem considerant(la base can`onica ser`a la m´es utilitzada).
→ Exemple. Les coordenades del vector − v ∈ R respecte de la base can`onica s´on → → → (3, −1, 1), per`o respecte de la base B1 = {− e1 = (1, 0, 1), − e2 = (−2, 0, 1), − e3 = − → (1, 1, 0)} s´on v = (2, −1, −1)B1 , ja que 3 (3, −1, 1) = 2 · (1, 0, 1) + (−1) · (−2, 0, 1) + (−1) · (1, 1, 0).
Proposici´o 2.6.2 Les coordenades d’un vector respecte d’una determinada base s´on u´ niques.
→ → → Demostraci´o. Siga − v ∈ V i B = {− e1 , − e2 , . . . , − e→ n } una base i suposem que tenim del mateix vector dues expressions en coordenades distintes respecte d’aquesta base − → → → v = α1 − e1 + α2 − e2 + ... + αn − e→ n i − → → → v = β1 − e1 + β2 − e2 + ... + βn − e→ n.
Aleshores, → → 0 = (α1 − β1 )− e1 + (α2 − β2 )− e2 + ... + (αn − βn )− e→ n, → → ´ s una fam´ılia lliure, aleshores i donat que {− e1 , − e2 , . . . , − e→ n} e α1 − β1 = α2 − β2 = ... = αn − βn = 0.
27 ´ a dir, Es α1 = β1 , α2 = β2 , ...
, αn = βn → i per tant, les coordenades del vector − v respecte de la base B s´on u´ niques.
2.7 Matrius Una matriu e´ s una disposici´o rectangular de nombres que s’ordenen en files i columnes tancada entre claud`ators. Els nombres que apareixen en una matriu s’anomenen els coeficients de la matriu. Per exemple, 1 5 3 −2 , 1 5 −1 0 4 −5 .
Les matrius s’acostumen a denotar per lletres maj´uscules. Direm que una matriu A e´ s d’ordre n × m sobre R si t´e n-files i m-columnes amb coeficients reals, i es denotar`a com A ∈ Mn×m (R).
Quan es parla d’una matriu general els coeficients s’acostumen a denotar amb dos sub´ındexs, aij , el primer fa refer`encia al n´umero de la fila i el segon al n´umero de la columna en la qual es troba el coeficient. Per exemple,   a11 a12 . . . a1m    a21 a22 . . . a2m   A= ..  .. . .
..
 .
 .  .
.
an1 an2 . . . anm e´ s una matriu d’ordre n × m sobre R, la qual es pot expressar abreujadament com [aij ]n×m , on aij ∈ R. El nombre de files e´ s n i el nombre de columnes e´ s m.
Les matrius s´on molt u´ tils per a resoldre sistemes d’equacions lineals com vorem en els apartats 2.17 i posteriors.
2.8 Tipus de matrius • Matriu fila, t´e una u´ nica fila.
• Matriu columna, t´e una u´ nica columna.
• Matriu quadrada, t´e el mateix nombre de files que de columnes.
28 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals • Matriu diagonal. Si aij = 0 quan i = j.
• Matriu identitat d’ordre n. Una matriu quadrada d’ordre n, diagonal, amb els elements de la diagonal iguals a 1 ∈ R. Es denota per Idn .
• Matriu triangular superior. Si aij = 0 quan i < j.
• Matriu triangular inferior. Si aij = 0 quan i > j.
• Matriu escalar. Si e´ s diagonal i tots els elements de la diagonal s´on iguals.
• Matriu sim`etrica. Si aij = aji , ∀i, j, e´ s a dir, si e´ s sim`etrica respecte de la diagonal.
• Matriu antisim`etrica. Si aij = −aji , ∀i, j.
´ la matriu que s’obt´e al canviar les • Matriu trasposta d’una donada. Es files per les columnes, e´ s a dir, [aij ]Tn×m = [aji ]m×n .
´ la matriu resultant d’el·liminar d’una matriu al• Submatriu [aij ]n×m . Es gunes files i/o columnes.
´ una submatriu formada per files i columnes consecutives.
• Bloc o caixa. Es 2.9 Operacions amb matrius Podem definir les seg¨uents operacions en el conjunt de totes les matrius d’un determinat ordre: • Suma de matrius. La suma de dos matrius amb el mateix nombre de files i columnes e´ s la matriu de la suma dels elements corresponents, e´ s a dir, [aij ]n×m + [bij ]n×m = [aij + bij ]n×m .
• Producte per un escalar. El producte d’un escalar per una matriu e´ s la matriu que t´e com a entrades el producte de l’escalar per l’entrada de la matriu original, e´ s a dir, α · [aij ]n×m = [α · aij ]n×m .
29 Hi ha una altra operaci´o que es pot fer amb matrius: el producte. Per`o ara, per tal de que es puga fer, cal que les files i columnes de les matrius guarden una relaci´o: el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona matriu.
Definici´o 2.9.1 Siguen A = [aij ]n×m i B = [bij ]m×p dues matrius. (Noteu nombre de columnes de la matriu A = nombre de files de la matriu B.) Definim la matriu producte de A per B, A · B, com la matriu C = [cij ]n×p on m cik = j=1 aij · bjk = ai1 · b1k + ai2 · b2k + · · · + aim · bmk .
En paraules, l’element cik (fila i, columna k) e´ s la suma del producte de la fila i-`essima de A per la columna k-`essima de B.
Exemple.
1 2 3 4 .
−1 0 0 2 3 1 = 1 · (−1) + 2 · 0 3 · (−1) + 4 · 0 = −1 4 −3 8 1 13 1·0+2·2 1·3−2·1 3·0+4·2 3·3+4·1 .
Exemple. La multiplicaci´o de dues matrius (quan es pot fer!) NO e´ s una operaci´o commutativa com ho prova el seg¨uent exemple, 1 3 −1 0 2 4 .
0 2 .
−1 0 0 2 = −1 4 −3 8 1 3 2 4 = −1 −2 6 8 , .
Propietat 2.9.2 El conjunt Mn×n (R) amb la suma i el producte de matrius e´ s un anell amb identitat. L’element identitat e´ s la matriu identitat d’ordre n.
Fixeu-vos b´e que nom´es podem donar tal estructura quan n = m. En altre cas, el producte no e´ s una operaci´o interna. Tampoc no ho e´ s en l’espai de totes les matrius perqu`e si dues matrius no tenen una certa coincid`encia entre el nombre de files d’una i el de columnes de l’altra, aleshores no es poden multiplicar.
30 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals Definici´o 2.9.3 Una matriu A ∈ Mn×n (R) es diu inversible o regular si existeix B ∈ Mn×n (R) tal que A · B = B · A = Idn . En aquest cas B se denota per A−1 i es diu que B = A−1 e´ s la matriu inversa de A.
El conjunt de les matrius d’ordre n×n amb la suma i el producte de matrius no e´ s un cos ja que no tota matriu distinta de la matriu nul·la e´ s inversible. Per exemple la matriu 1 0 0 0 no e´ s inversible com es pot comprovar f`acilment. En la secci´o de determinants caracteritzarem totalment aquelles matrius que s´on inversibles.
2.10 Rang d’una matriu Definici´o 2.10.1 Siga A = [aij ]n×m una matriu d’ordre n × m. El rang de la matriu A e´ s la dimensi´o del subespai generat pels n vectors fila.
Nota. Tamb´e es pot definir el rang d’una matriu com la dimensi´o del subespai generat pels m vectors columna, ja que els dos coincideixen.
El seg¨uent resultat ens permet determinar si una matriu e´ s o no inversible.
Proposici´o 2.10.2 Una matriu A ∈ Mn×n (R) e´ s inversible si i nom´es si el rang de A e´ s m`axim, e´ s a dir, e´ s igual a n.
Proposici´o 2.10.3 El rang d’una matriu A ∈ Mn×n (R) no canvia si a una fila (columna) se li suma una altra fila (columna) multiplicada per un n´umero real.
M`etode de diagonalitzaci´o. Com a consequ`encia d’aquest resultat un bon m`etode per tal de determinar el rang d’una matriu e´ s el de fer zeros baix de la diagonal. El proc´es es pot resumir com: (i) Suposem que el primer element de la primera fila, a11 , siga distint de zero (si e´ s zero canviem la primera fila per una altra on el primer element e´ s distint de zero).
(ii) Com que el nostre element a11 = 0 ara ja podem fer zeros en la resta de les files en la primera posici´o, a1j = 0, multiplicant la primera fila per 1 essima.
a1j i restant el resultat a la fila j-` 31 (iii) Ara cal repetir el proc´es per a la segona fila que ja t´e un zero en la posici´o a21 = 0, e´ s a dir, si el coeficient a22 = 0 es repeteix el proc´es.
(iv) El proc´es acaba quan ja tenim zeros baix de la diagonal i el rang de la matriu e´ s igual al nombre de files no nul·les.
Nota. Aquest proc´es e´ s m´es senzill si en la posici´o a11 aconseguim que hi haja un 1.
Nota. De fet, el proc´es es pot continuar despr´es cap a dalt a partir de l’´ultima fila que no e´ s tota igual a zero i s’obt´e a la fi una matriu diagonal.
Exemple. Determinem el rang de la matriu      2 0 1 2 −2 1 1 −2 1 1 3 0     →  →  1 2 −2 1  1 0 0 0         2 0 1 −2 1 1 3 0       →     2 1  −4 −1    →  1 4  0 0 1 2 1 0 −4 −1 0 5 5 0 −4 −1 1 0 0 0 2 1 1 4 0 15 0 0    →     ,  Per tant, el rang de la matriu e´ s 3.
Breu descripci´o del proc´es. En el primer pas s’intercanvien les files 2 i 1. En el segon, a la fila 2 se li resta dos vegades la primera, a la tercera se li suma dos vegades la primera i a la quarta se li resta la primera. Tercer pas: a la tercera fila se li suma la segona i al quarta se li resta la segona. Quart pas: s’intercanvien les files 2 i 3, i a la tercera fila se li suma quatre vegades la segona.
Nota. La q¨uesti´o de determinar si una fam´ılia de vectors s´on o no linealment independents es pot reformular com “determinar el rang de la matriu formada per les coordenades dels vectors escrites en files”. Si el rang de la matriu e´ s igual al nombre de vectors (igual al nombre de files) els vectors s´on linealment independents i si el rang e´ s m´es xicotet aleshores s´on linealment dependents.
Exemple. Determina segons els valors de a ∈ R quan els seg¨uents vectors s´on o no linealment independents {(1, 0, 1), (0, 2, 1), (1, 1, a), (1, −2, 0)}.
32 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals Soluci´o: Per tal de determinar quan s´on o no linealment independents els vectors anem a calcular el rang de la matriu formada pels vectors,       1 0 1 1 0 1 1 0 1  0  0  0 2 2 1  2 1  1        , →  → 1  1  0  0 0 a−1− 2  1 a  1 a−1  0 0 0 1 −2 0 0 −2 −1 i, per tant, el rang e´ s tres si a = 23 (els tres primers vectors s´on linealment independents) o b´e e´ s dos si a = 32 (els dos primers vectors s´on linealment independents i els altres dos s´on combinaci´o lineal dels anteriors.) 2.11 Homomorfismes d’espais vectorials All`o que e´ s important de les matrius e´ s que estan associades al concepte de ´ per aix`o que definirem ara aquest contransformacions d’espais vectorials. Es cepte que ens permetr`a despr´es estudiar les propietats del conjunt de les matrius.
Definici´o 2.11.1 Siguen V i W dos espais vectorials reals. Una aplicaci´o f : V → W es diu que e´ s un homomorfisme d’espais vectorials, o aplicaci´o lineal, si verifica: → → • ∀− v ,− w ∈ V, → → → → f (− v +− w ) = f (− v ) + f (− w ), → • ∀α ∈ R, ∀− v ∈ V, → → f (α · − v ) = α · f (− v ).
Una condici´o equivalent e´ s la seg¨uent: → → → → f (α · − v +β·− w ) = α · f (− v ) + β · f (− w) → → ∀α, β ∈ R, ∀− v ,− w ∈ V.
Propietats. Algunes conseq¨ue` ncies d’aquesta definici´o s´on: − → − → (i) f ( 0 ) = 0 .
→ → (ii) f (−− v ) = −f (− v ).
→ → (iii) Si H e´ s un subespai de V aleshores f (H) = {f (− v) : − v ∈ H} e´ s un subespai de W . En particular, prenent-hi H = V , tenim que f (V ) e´ s un subespai de W . Aquest subespai s’anomena imatge de l’aplicaci´o lineal f , i es denota per Imf .
33 → → (iv) Si S e´ s un subespai de W aleshores f −1 (S) = {− v ∈ V : f (− v ) ∈ S} − → → −1 − e´ s un subespai de V . En particular, si S = { 0 }, llavors f ( 0 ) e´ s un subespai de V . Aquest subespai s’anomena nucli de l’aplicaci´o lineal f , i es denota per Kerf . (L’origen d’aquesta nomenclatura e´ s la paraula alemana kernel que significa nucli).
Definici´o 2.11.2 Siga f : V → W un homomorfisme d’espais vectorials, es defineix el rang de f , i es denota per rg(f ), com a la dimensi´o del subespai imatge de l’homomorfisme, Imf .
2.12 Equacions d’una aplicaci´o lineal Siga f : V → W una aplicaci´o lineal d’espais vectorials. Siguen B1 = − → − → −→ → → {− e1 , − e2 , . . . , − e→ o de V = n) i B2 = {d1 , d2 , . . . , dm } n } una base de V (dimensi´ una base de W (dimensi´o de W = m). Calculem la imatge per f de cadascun → dels vectors − ei de la primera base. Aquesta imatge es pot expressar com a combinaci´o lineal dels vectors de la segona base. Aix´ı, → f (− e1 ) − → f (e ) 2 = = − → − → −→ µ11 d1 + µ21 d2 + · · · + µm1 dm , − → − → −→ µ12 d1 + µ22 d2 + · · · + µm2 dm , ...
f (− e→ n) = − → − → −→ µ1n d1 + µ2n d2 + · · · + µmn dm .
→ → → → e2 +· · ·+λn − e→ Suposem que un vector − v ∈ V t´e per expressi´o − v = λ1 − e1 +λ2 − n, − → − → − → − → i que la seua imatge f ( v ) t´e per expressi´o f ( v ) = α1 d1 + α2 d2 + · · · + −→ αm dm , respecte de les bases de V i W . Volem determinar la relaci´o entre les → → coordenades de − v en la base B1 i les coordenades de f (− v ) en la base B2 .
34 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals → Substituint en f (− v ) tenim que → → → f (− v ) = λ1 f (− e1 ) + λ2 f (− e2 ) + · · · + λn f (− e→ n) − → − → −→ = λ1 (µ11 d1 + µ21 d2 + · · · + µm1 dm ) − → − → −→ +λ2 (µ12 d1 + µ22 d2 + · · · + µm2 dm ) − → − → −→ + · · · + λn (µ1n d1 + µ2n d2 + · · · + µmn dm ) = − → (λ1 µ11 + λ2 µ12 + · · · + λn µ1n )d1 − → +(λ1 µ21 + λ2 µ22 + · · · + λn µ2n )d2 −→ + · · · + (λ1 µm1 + λ2 µm2 + · · · + λn µmn )dm .
Com que les coordenades d’un vector s´on u´ niques (Prop [?]), aleshores α1 = λ1 µ11 + λ2 µ12 + · · · + λn µ1n , α2 = λ1 µ21 + λ2 µ22 + · · · + λn µ2n , ...
= λ1 µm1 + λ2 µm2 + · · · + λn µmn .
αm Aquesta e´ s la relaci´o que existeix entre les coordenades {λ1 , λ2 , . . . , λn } → → de − v en la base B1 i les coordenades {α1 , α2 , . . . , αm } de f (− v ) en la base B2 .
En notaci´o matricial,      α1 µ11 µ12 . . . µ1n λ1       α2   µ21 µ22 . . . µ2n   λ2   . = .
  ..   ..  ..
..
 .   .
 .
 .   .
.  .  .
αm µm1 µm2 . . . µmn λn La matriu [µij ] s’anomena matriu de l’aplicaci´o lineal f respecte de les bases B1 i B2 , i es denota per M (f, B1 , B2 ).
2 3 Exemple. Siga f : R → R l’aplicaci´o lineal definida per f (x, y) = (2x + 2 3 y, x − y, x − 2y), i siguen B1 i B2 les bases can`oniques de R i R , respectivament. Les imatges dels vectors de la primera base s’escriuen com a combinaci´o lineal dels vectors de la segona com a f (1, 0) = (2, 1, 1) = 2 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1), f (0, 1) = (1, −1, −2) = 1 · (1, 0, 0) + (−1) · (0, 1, 0) + (−2) · (0, 0, 1).
35 Per tant, la matriu de l’aplicaci´o lineal e´ s  2  M (f, B1 , B2 ) =  1 1  1  −1  .
−2 Agafem ara B1′ = {(1, 2), (−1, 1)} i B2′ = {(0, 1, −1), (−2, 0, 1), (1, 1, 1)}.
Respecte d’aquestes altres bases, f (1, 2) = f (−1, 1) = 1 (4, −1, −3) = − · (0, 1, −1) − 5 1 (−1, −2, −3) = · (0, 1, −1) − 5 Per tant, ara la matriu de l’aplicaci´o lineal e´ s  − 51  M (f, B1′ , B2′ ) =  − 12 5 − 54 12 4 · (−2, 0, 1) − · (1, 1, 1), 5 5 3 11 · (−2, 0, 1) − · (1, 1, 1).
5 5 1 5 − 35 − 11 5   .
2 Exemple. Anem a estudiar la matriu associada a una aplicaci´o lineal de R especial: les rotacions.
2 2 Una rotaci´o d’angle θ e´ s una aplicaci´o lineal Rθ : R → R definida per Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ).
En forma matricial, la rotaci´o d’angle θ s’escriu com a Rθ (x, y) = cos θ sin θ − sin θ cos θ x y .
Nota. Noteu que R0 = Id, Rθ ◦ Rγ = Rθ+γ , i que (Rθ )−1 = R−θ .
2.13 Determinants Una de les operacions m´es importants associades a les matrius e´ s el deter´ important perqu`e entre altres coses, permet saber si la matriu e´ s o minant. Es no inversible, permet determinar si una fam´ılia de vectors e´ s o no lliure i permet calcular f`acilment la soluci´o d’alguns sistemes d’equacions lineals. La definici´o que s’estudiar`a ac´ı no e´ s la m´es elegant des del punt de vista matem`atic, per`o s´ı 36 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals ´ una definici´o que no ens permetr`a provar alguns resultats, la m´es operativa. Es per`o que s´ı ens permetr`a calcular.
Determinant d’una matriu. El determinant nom´es el podem calcular de les matrius quadrades, e´ s a dir, d’aquelles que tenen el mateix nombre de files i columnes.
La definici´o que donarem ac¸´ı e´ s recursiva i ens permetr`a calcular el determinant d’una matriu n × n a partir de determinants de matrius (n − 1) × (n − 1).
Els determinants d’ordre 2 i 3. El determinant d’una matriu quadrada d’ordre 2, a11 a12 , A= a21 a22 e´ s igual a |A| = a11 a21 a12 a22 = a11 a22 − a12 a21 .
El determinant d’una matriu quadrada d’ordre 3,   a11 a12 a13   A =  a21 a22 a23  , a31 a32 a33 e´ s igual a |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
Exemple. Calcula el determinant de  1 1  A= 0 2 2 −2 El determinant e´ s |A| =  −1  −2  .
3 1 · 2 · 3 + 1 · (−2) · 2 + (−1) · 0 · (−2) −(−1) · 2 · 2 − 1 · 0 · 3 − 1 · (−2) · (−2) = 6 − 4 + 4 − 4 = 2.
Nota. Encara que no gastarem aquesta definici´o, podriem dir que el determinant d’una matriu quadrada d’ordre n e´ s la suma de tots els productes possibles de n elements de la matriu de manera que no hi ha en un mateix sumand dos elements de la mateixa fila o dos elements de la mateixa columna, i cadascun d’aquests sumands est`a afectat d’un cert signe.
37 2.14 Desenvolupament del determinant pels elements d’una l´ınia Siga A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R). Anem a definir el determinant d’una matriu quadrada A, i que denotarem per |A|, com una aplicaci´o | | : Mn×n (R) → R.
Definici´o 2.14.1 Donada una matriu A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R), • s’anomena menor complementari de l’element aij de A i es representa per Aij al determinant de la matriu (n−1)×(n−1) que s’obt´e al suprimir la fila i-`essima i la columna j-`essima de la matriu A.
• s’anomena adjunt d’un element aij de la matriu A = [aij ]n×n , i es denota per Dij , al menor complementari afectat pel signe m´es o menys segons la seg¨uent expressi´o Dij = (−1)i+j Aij .
La seg¨uent Proposici´o ens diu com calcular el determinant d’una matriu n×n qualsevol mitjanc¸ant determinants d’ordres (n−1)×(n−1). En particular, fent el c`alcul recursivament es pot calcular el determinant d’una matriu nom´es coneixent com calcular els determinants de matrius d’ordre 3 × 3 o b´e de 2 × 2.
Proposici´o 2.14.2 Siga A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R), amb i ∈ {1, 2, . . . , n}, aleshores |A| = ai1 Di1 + ai2 Di2 + ... + ain Din .
Aquesta expressi´o s’anomena determinant desenvolupat pels elements de la fila i-`essima. A m´es a m´es, tamb´e podem desenvolupar el determinant pels elements de la columna i-`essima |A| = a1i D1i + a2i D2i + ... + ani Dni .
Nota. Noteu que quan hi ha que desenvolupar un determinant per una fila o una columna e´ s interessant que ho feu per una on haja el major nombre de zeros ja que aix´ı vos estalviareu fer alguns calculets! Definici´o 2.14.3 Una matriu A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R) e´ s diu que e´ s regular si el seu determinant no s’anul·la, |A| = 0.
38 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals Exemple. Anem a calcular el determinant d’una matriu 4 × 4, desenvolupant per la primera columna 3 0 1 2 2 1 0 −2 0 1 4 −2 2 0 3 5 +2 · (−1)2+1 · 1+1 = 3 · (−1) 0 1 −2 0 4 −2 2 3 5 · 2 −2 4 1 0 0 3 −2 5 + 1 · (−1)4+1 · 0 2 −2 1 2 1 0 0 3 = 3 · (12 + 10 + 12) + (−2) · (12 + 8 + 10) + (−1) · (4 − 6) = 44.
Per tant, la matriu e´ s inversible.
2.15 Propietats dels determinants Propietats 2.15.1 Siga A ∈ Mn×n (R), i Ai la fila i-`essima de la matriu A.
Aleshores: (i) El determinant de la matriu trasposta e´ s el mateix que el de la matriu original, e´ s a dir, |A| = |AT |. Per tant, e´ s el mateix parlar de files o de columnes pel que fa a determinant. Per aix`o, a partir d’ara nom´es parlarem de l´ınies.
(ii) Si es permuten en A dues l´ınies contig¨ues, el determinant canvia de signe.
(iii) |A1 , ..., Ai + A′i , ..., An | = |A1 , ..., Ai , ..., An | + |A1 , ..., A′i , ..., An |.
(iv) |A1 , ..., α · Ai , ..., An | = α · |A1 , ..., Ai , ..., An |.
(v) |A| = 0 si i nom´es si els seus vectors files (o columnes) formen un sistema lligat.
(vi) Si sumem a una l´ınia una combinaci´o lineal de les altres l´ınies paral·leles, aleshores el determinant no varia.
(vii) Siguen A, B ∈ Mn×n (R), aleshores |A · B| = |A| · |B|.
39 La seg¨uent proposici´o ens permet calcular el rang d’una matriu, i per tant la depend`encia-indep`endencia dels vectors que la formen, amb l’ajuda dels determinants.
Proposici´o 2.15.2 El rang d’una matriu A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R) e´ s el major rang dels seus menors no nuls, e´ s a dir, el rang de la major de les seues submatrius quadrades regulars.
Exemple. Determina segons els valors de a ∈ R quan els seg¨uents vectors s´on o no linealment independents {(1, 0, 1), (0, 2, 1), (1, 1, a), (1, −2, 0)}.
Soluci´o: La matriu formada pels vectors e´ s      1 0 1 1 0 1 2 1 1 a −2 0      3 que t´e 4 files i 3 columnes (quatre vectors de R ), per tant segur que n’hi ha un 3 que e´ s combinaci´o lineal dels altres tres ja que la dimensi´o de R e´ s 3 (nombre m`axim de vectors linealment independents). Per exemple, si calculem el determinant de la submatriu formada pels dos primers vectors i el u´ ltim, 1 0 1 0 1 2 1 −2 0 = −2 + 2 = 0, e´ s a dir, s´on linealment dependents, i per tant, nom´es hi ha dos vectors linealment independents. Ens quedem en els dos primers, per exemple, que es veu clarament que s´on linealment independents. Ara, per tant calculem el determinant de la matriu formada pels tres primers vectors 1 0 1 0 1 2 1 1 a = 2a − 2 − 1, i per tant, si a = 32 els tres primers vectors s´on linealment independents. Ara b´e, si a = 32 s´on linealment dependents, i per tant, en podem llevar un. D’una ullada veiem que podem llevar el tercer, per exemple 1 3 (1, 1, ) = (1, 0, 1) + · (0, 2, 1).
2 2 40 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals En resum, si a = 23 hi ha tres vectors linealment independents i si a = hi ha dos vectors linealment independents.
3 2 nom´es Nota. Comparar aquesta resoluci´o amb la donada en l’apartat 2.10.
2.16 C`alcul de la matriu inversa Com ja sabeu, no totes les matrius tenen inversa, nom´es les quadrades poden ternir-ne, per`o no totes. Anem a vore una condici´o necess`aria i suficient per a que una matriu tinga inversa i, a m´es a m´es, anem a vore com es calcula expl´ıcitament la inversa d’una matriu.
Definici´o 2.16.1 Donada una matriu A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R), s’anomena matriu adjunta de A a la matriu que t´e per elements als adjunts corresponents de la matriu, i es denota per A˜ = [Dij ]n×n ∈ Mn×n (R).
Proposici´o 2.16.2 Donada una matriu A = [aij ]n×n ∈ Mn×n (R), tenim que A · (A˜T ) = (A˜T ) · A = |A| Idn .
Proposici´o 2.16.3 Una matriu quadrada A e´ s inversible si i nom´es si |A| = 0.
Prova. (→) Si A e´ s inversible aleshores existeix A−1 tal que A · A−1 = Idn .
Com que el determinant d’un producte e´ s igual al producte de determinants, i com que |Idn | = 1, aleshores 1 = |Idn | = |A · A−1 | = |A| · |A−1 |, i per tant, |A| = 0.
(←) Si el determinant no s’anul·la, |A| = 0, aleshores considerem la matriu 1 (A˜T ). Comprovem que B e´ s la inversa de A.
B = |A| A·B =A· 1 1 1 ˜T (A ) = (A · A˜T ) = |A|Idn = Idn .
|A| |A| |A| Per tant, B e´ s la matriu inversa de A.
✷ Corol·lari 2.16.4 Siga A ∈ Mn×n (R) amb |A| = 0, aleshores, A−1 = ˜T A |A| .
41 Noteu tamb´e que de l’expressi´o A · A−1 = Idn es dedueix que |A−1 | = 1 |A| .
Exemple 2.16.5 Calcula la matriu inversa de   1 1 −1   A= 0 2 −2  .
2 −2 3 En primer lloc, hi ha que calcular el determinant per vore si s’anul·la (NO podrem calcular-la!) o no. El determinant e´ s |A| = 6 − 4 + 4 − 4 = 2 = 0. Per tal de calcular la matriu inversa cal primer calcular la matriu adjunta   0 2 0 −2 2 −2 −    2 −2  2 3 −2 3       2 −4 −4   1 1   1 −1 1 −1   − A˜ =  − 5 4   =  −1   2 −2 2 3 −2 3   0 2 2     1 −1 1 −1 1 1   − 2 −2 0 −2 0 2 i tamb´e la trasposta d’aquesta  2  T ˜ A =  −4 −4 Finalment, la matriu inversa e´ s A−1  2 T ˜ A 1 = =  −4 |A| 2 −4  −1 0  5 2 .
4 2    1 − 12 0 −1 0    5 5 2  =  −2 1 .
2 4 2 −2 2 1 2.17 Sistemes d’equacions lineals Definici´o 2.17.1 Anomenarem sistema de m equacions lineals amb n inc`ognites al conjunt d’equacions  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,     a x + a x + ··· + a x 21 1 22 2 2n n = b2 ,  ...
   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , on aij , bi ∈ R amb i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n} i les inc`ognites {x1 , x2 , . . . , xn }.
42 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals • Una soluci´o del sistema e´ s qualsevol subconjunt de n elements ordenats {α1 , α2 , . . . , αn } amb αi ∈ R tals que satisfan les equacions del sistema.
• La matriu de coeficients del sistema e´ s la matriu A = [aij ]n×m ∈ Mn×m (R), formada pels coeficients de les n inc`ognites en les m equacions.
• La matriu de termes independents e´ s la matriu columna B = [bi ]1×m formada pels segons membres de les equacions.
• La matriu ampliada, s’acostuma a denotar per A′ , i e´ s la matriu A a la qual se li ha afegit una columna m´es, la dels termes independents B.
• La matriu inc`ognita e´ s la matriu columna X = [xi ]1×n formada per les inc`ognites.
• La matriu columna j-`esima e´ s la matriu columna Aj = [aij ]1×m formada pels elements de la columna j.
Noteu que s´on equacions lineals, e´ s a dir, no hi ha cap inc`ognita que tinga termes en x2i o de grau superior.
Expressions equivalents d’un sistema d’equacions: • Expressi´o matricial: A · X = B.
− → − → −→ • Expressi´o en vectors columna: x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = B.
n m • Expressi´o vectorial: fA (X) = B, on fA : R → R e´ s l’aplicaci´o lineal n m que t´e per matriu a la matriu A en les bases can`oniques de R i R .
Sistemes homogenis. Un sistema A · X = B es dir`a homogeni si B = 0, e´ s a dir, si tots els termes independents s´on nuls. Un sistema homogeni sempre t´e soluci´o ja que la soluci´o trivial X = (0, 0, . . . , 0) sempre verifica el sistema, e´ s a dir, quan tots el valors de les variables s’anul·len.
Definici´o 2.17.2 Donat el sistema d’equacions lineals A · X = B s’anomena sistema homogeni associat al sistema A · X = 0.
43 2.18 Exist`encia de solucions El seg¨uent resultat ens permet asegurar si un sistema d’equacions lineals t´e o no soluci´o i de quin tipus nom´es comparant els rangs de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada.
Teorema 2.18.1 (Teorema de Rouch´e-Frobenius) Donat el sistema A · X = B, on A ∈ Mn×m (R), aleshores  rg(A) = n ⇒ determinat      Soluci´o u´ nica.
      • rg(A) = rg(A′ ) ⇒ sistema compatible rg(A) = m < n ⇒ indeterminat    Conjunt de solucions      = es despejen les m variables    en funci´o de les n − m variables.
• rg(A) = rg(A′ ) ⇒ sistema incompatible. No hi ha solucions.
Exemple. Discuteix i resol el seg¨uent sistema d’equacions lineals segons els valor de λ.
   x + y − 2z = 5 2x − y + λz = −1   3x − z = 4.
Sol. La matriu ampliada e´ s    1 1 −2 5 1 1    λ −1  ∼  0 −3  2 −1 3 0 −1 4 0 −3 Per tant, es compleix que   −2 5 1 1   λ + 4 −11  ∼  0 −3 5 −11 0 0  −2 5  λ + 4 −11  .
1−λ 0 • si λ = 1 aleshores el sistema e´ s compatible i determinat, e´ s a dir, el sistema te una u´ nica soluci´o.
• si λ = 1, aleshores rangA = rangA′ = 2 < 3 =no inc`ognites, e´ s a dir, el sistema e´ s compatible indeterminat. La soluci´o s’obt´e posant dues de les variables en funci´o d’una altra. En particular, −3y + 5z x + y − 2z 44 = −11 = 5 y = 5z+11 3 x = 5 − y + 2z = 5 − 5z+11 3 + 2z = z+4 3 .
Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals Per tant, una vegada triem un valor per a l’inc`ognita z determinem la x 5z+11 com x = z+4 3 i la y com y = 3 . Hi ha infinites solucions.
2.19 Sistemes de Cramer Definici´o 2.19.1 Un sistema A · X = B e´ s diu de Cramer quan el nombre d’inc`ognites e´ s igual al nombre d’equacions i el rang de A e´ s m`axim.
Com que el rang de A e´ s m`axim aleshores coincideix amb el rang de A′ i el sistema e´ s compatible determinat. A m´es a m´es, com el nombre d’inc`ognites e´ s igual al nombre d’equacions la matriu A e´ s quadrada, A ∈ Mn×n , i el rang A = n.
Resoluci´o d’un sistema de Cramer. Com que rgA = n e´ s m`axim i A e´ s una matriu quadrada, aleshores e´ s regular, e´ s a dir, existeix A−1 . Multiplicant per A−1 els dos membres de la igualtat A · X = B, s’obt´e X = A−1 · A · X = A−1 · B, i per tant X = A−1 · B (´es una matriu columna!) e´ s l’´unica soluci´o del sistema de Cramer. En particular, es pot provar que la soluci´o de la inc`ognita xj es pot calcular com |C | xj = |A|j , on la matriu Cj e´ s la matriu que t´e per columnes a les columnes de la matriu A tret de la columna j-`esima, en la qual apareix la columna B.
Exemple. Resol el sistema    x+y−z 2y − 2z   2x − 2y + 3z = 1, = −1, = 0.
Sol. El nombre d’inc`ognites, 3, coincideix amb el nombre d’equacions i la matriu de coeficients e´ s   1 1 −1   A= 0 2 −2  , 2 −2 3 el determinant de la qual e´ s |A| = 6 − 4 + 4 − 4 = 2 = 0, i per tant, el ´ a dir, el sistema e´ s de Cramer. Comprovarem ara el seu rang e´ s igual a 3. Es 45 funcionament dels dos m`etodes que coneixem per resoldre aquests sistemes. El primer, multiplicant per la matriu inversa la matriu dels termes independents. La matriu inversa ja l’hem calculat en l’exemple 2.16.5 i e´ s     1 0 1 − 2 −1 0 2 1 A˜T    5 =  −4 A−1 = 1 .
5 2  =  −2 2 |A| 2 −2 2 1 −4 4 2 Si ara la multipliquem per B, obtindrem       3 1 1 − 12 0 2       5 A−1 · B =  −2 1  ·  −1  =  − 92  , 2 0 −4 −2 2 1 i per tant, la soluci´o del sistema e´ s x = 3/2, y = −9/2, z = −4.
D’una altra banda, el m`etode de Cramer ens diu que s’han de calcular els determinants de les seg¨uents matrius,       1 1 −1 1 1 −1 1 1 1       A1 =  −1 2 −2  , A2 =  0 −1 −2  , A3 =  0 2 −1  , 0 −2 3 2 0 3 2 −2 0 i que les solucions venen donades per x= |A1 | 3 = , |A| 2 y= |A2 | 9 =− , |A| 2 z= |A3 | 8 = − = −4.
|A| 2 Per tant, els dos m`etodes s´on equivalents.
2.20 Diagonalitzaci´o de matrius n → Siga A una matriu quadrada n × n. Direm que − v ∈ R e´ s un vector propi amb valor propi associat λ si es verifica que → → A·− v =λ·− v, i que amb notaci´o matricial es pot escriure com   a11 a12 · · · a1n v1    a21 a22 · · · a2n   v2   ..
.. . .
..    .
.
 .
.
.   ..
an1 an2 · · · ann vn 46        = λ     v1 v2 ..
.
vn    .
  Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals Els valors propis d’una matriu quadrada (si existeixen!) s’obtenen al resoldre el sistema homogeni det(A − λ · I) = 0, on I e´ s la matriu identitat d’ordre n. Aquesta equaci´o es coneix com equaci´o caracter´ıstica de A.
Nota. Aquest resultat e´ s una conseq¨ue` ncia del fet que els valors propis verifiquen que → → A·− v =λ·− v, → per a algun − v ∈ R , i per tant, n → → → 0=A·− v −λ·I ·− v = (A − λI) · − v, e´ s un sistema homogeni que nom´es t´e solucions distintes de la trivial quan es compleix que det(A − λI) = 0.
Si l’equaci´o caracter´ıstica de la matriu A t´e n arrels distintes (valors propis distints), λ1 , · · · , λn , aleshores associat a cada valor propi podem trobar un vec→ tor propi resolent el sistema d’equacions 0 = (A − λI) · − v , que per forc¸a e´ s un sistema compatible indeterminat. Aix`o vol dir que per a cada valor propi haurem de fer una tria d’un vector propi associat.
Els vectors propis ens permeten definir una matriu P , quan posem les seues coordenades en columna, que verifica   λ1 · · · 0  . .
..   ..
.
P −1 · A · P =  . .
 .
0 · · · λn La matriu de pas P est`a formada per les coordenades dels vectors propis associats als valors propis posades en columna. Per exemple, si els vectors propis s´on (v1 , v2 ) i (w1 , w2 ) aleshores la matriu P e´ s igual a P = v1 v2 w1 w2 .
Una de les raons per les quals e´ s interessant diagonalitzar una matriu es n perqu`e aix´ı els vectors propis associats formen una base de R , i a m´es a m´es, la matriu de pas P e´ s precisament la matriu que transforma la base original en aquesta base.
Es complementar`a aquest apartat amb la utilitzaci´o del programa MatLab que permet resoldre aquest problema d’una manera molt senzilla i pr`actica.
47 Nota. Tamb´e es pot diagonalitzar la matriu quan la multiplicitat d’algun valor propi e´ s major que 1 per`o coincideix amb la dimensi´o del subespai propi associat al valor propi.
Exemple. Diagonalitza la seg¨uent matriu   4 6 0   0 .
 −3 −5 −3 −6 −5 Sol. En primer lloc hi ha que determinar els valors propis resolent l’equaci´o caracter´ıstica 0 = det(A − λ · I) = = 4−λ −3 −3 6 −5 − λ −6 0 0 −5 − λ (4 − λ)(−5 − λ)2 + 18(−5 − λ) = (−5 − λ)(λ + 2)(λ − 1).
Per tant, els valors propis s´on λ1 = −5, λ2 = −2 i λ3 = 1. Ara calculem els vectors propis associats als valors propis. En primer lloc per a λ1 = −5.
→ → → Busquem un vector de coordenades − v = (v1 , v2 , v3 ) tal que A · − v = −5 · − v,i − → per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions (A + 5 · I) · v = 0,       9 6 0 v1 0       0 0  ·  v2  =  0  .
 −3 −3 −6 0 v3 0 El resultat e´ s v1 = 0, v2 = 0 i no hi ha cap restricci´o sobre v3 . Per tant, un → = (0, 0, 1).
possible vector propi e´ s − w 1 Ara es repeteix per a λ2 = −2. Hem de resoldre el sistema d’equacions → (A + 2 · I) · − v = 0,       0 v1 6 6 0       = · 0   v2   0  .
 −3 −3 −3 −6 −3 v3 0 →= El resultat e´ s v2 = −v1 i v3 = v1 . Per tant, un possible vector propi e´ s − w 2 (1, −1, 1).
→ Finalment per a λ3 = 1, hem de resoldre el sistema d’equacions (A−1·I)· − v = 0, i el resultat e´ s v1 = −2v2 i v3 = 0. Per tant, un possible vector propi e´ s − → = (−2, 1, 0).
w 3 48 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals Ara la matriu de pas, formada pels vectors propis associats als valors propis posats en columna, verifica que P −1 · A · P = D, e´ s a dir, si     0 1 −2 −5 0 0     P =  0 −1 i D =  0 −2 0  , 1  1 1 0 0 0 1 aleshores, P −1 · A · P   4 1 2 1    =  −1 −2 0  ·  −3 −3 −1 −1 0   −5 0 0   =  0 −2 0  .
0 0 1  1 −2  −1 1  1 0   0 6 0   −5 0 · 0 1 −6 −5  3 A m´es a m´es, els tres vectors propis formen una base de R , e´ s a dir, − → → = (1, −1, 1), − → = (−2, 1, 0)} e´ s una base.
{w1 = (0, 0, 1), − w w 2 3 49 2.21 Exercicis 1 Averigua si el subconjunt S = {(a, b, 1)|a, b ∈ R} e´ s un subespai vectorial de R3 .
2 Troba les equacions param`etriques i impl´ıcites del subespai vectorial engendrat pels vectors (1, 2, 0) i (0, −1, 2).
3 Demostra que el vector (−1, 3, 7) no e´ s combinaci´o lineal dels vectors (1, 0, 0) i (0, 1, 0).
4 Troba el valor de x per a que el vector (11, −16, x) siga linealment dependent dels vectors (2, −1, 3) i (−1, 2, 1).
5 Averigua si s´on o no sistema de generadors de R3 els vectors {(3, −1, 2), (1, 0, −1)}.
6 Averigua si s´on o no sistema de generadors de R3 els vectors {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, −1)}.
7 Troba la condici´o que han de complir els components dels vectors de R3 per a que siguen combinaci´o lineal dels vectors (1, 0, −1) i (0, 1, 2).
8 Averigua si e´ s o no una base de R3 la fam´ılia de vectors {(1, −2, −1), (−3, 0, 2), (0, −6, −1)}.
9 Troba una base dels seg¨uents subespais vectorials: L = {(x, y, z)|x + y = 0, x − 2z = 0} M = {(x, y, z)|2x + y − 3z = 0} N = {(x − y, y − z, z − x)|x, y, z ∈ R} 10 Troba les coordenades del vector (3, −1, 2) en la base {(3, −2, 1), (2, −1, 2), (0, 0, 1)}.
11 Donada la fam´ılia {(1, 2, −3), (3, 2, 3), (−5, −2, −1), (2, 0, 2)}, averigua si es pot extraure una base de R3 .
50 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals 12 Calcula el rang de les seg¨uents fam´ılies de vectors {(1, 0, 2), (2, −1, 1), (−1, 1, −1)}, {(−2, 1, −1), (3, −1, 2), (−1, 1, 0)} 13 Calcula els valors de m i n per a que siguen linealment dependents els vectors {(−1, 2, −3, 4), (1, −1, m, 1), (−3, 5, −8, n)}.
14 Donada la fam´ılia de vectors {(1, 0, 2), (3, 1, 0), (−1, 1, 2), (0, 0, 1)}, discuteix si es pot o no extraure una base de R3 .
15 a) Defineix els conceptes de dimensi´o d’un espai vectorial, V , i de base d’un espai vectorial, V , de dimensi´o n.
3 → b) D´ona una base de R que continga al vector − e = (1, 1, 1).
1 → c) Troba les coordenades del vector − v = (2, −1, 3) respecte de la base triada en l’apartat b).
16 Siguen  4  A =  −6 7  1 5  3 2 , 1 0 Calculeu les expressions (AT )2 , A · BT ,  −4  B= 1 2 A + 3B − C T ,  2 0  3 4 , 1 6   −1 −2 3   C= 3 2 −1  .
−1 4 0 A · B − C · AT , (2A − 3B)T · C 17 Determineu les matrius X i Y tals que 5X − Y = 3 −10 13 −2 , X + 2Y = 5 −4 −2 4 .
18 Calcula les matrius 2A − 3B, A · B i B · A amb les seg¨uents matrius     2 −1 0 3 1 0     A= 0 B =  0 −2 1  .
3 −2  1 −1 2 4 5 2 19 Calculeu el rang de les matrius   1 x −1 2   x 5 ,  2 −1 1 10 −6 1  3   4 2 −1 3 −2 5 −1 1  −2 4  1 7 .
8 2 51 20 Calculeu la matriu inversa de les seg¨uents matrius   −2 1 4 2 5   ,  0 −4 2  .
−1 2 3 0 2   x 1 0   21 Resol l’equaci´o det 0 x + 1 2  = 0.
5 x 2  3 2 3 1 2 1  1 0  22 Calculeu el determinant de la matriu   −4 0 2 −3  2 3  23 Calcula x per a que el rang de la matriu M =  4 2 6 1 24 Calcula el rang de les matrius 3 −1 2 4 a+1 a−1 , a 1      , 25 Calcula el rang de les matrius   1 2 −2 3    4 5 −1 2  5 1 0 −1  −1   2 5 2 1 −1 3 −1 −2 5 2    .
  1  x  siga 2.
5 6 3 4 3 2 2 −3 −1 −2 7 4 6       −3 4  0 −1  3 6 26 Quin e´ s el rang de la matriu identitat d’ordre 2? I de la d’ordre 3? I de la d’ordre n? 27 Calcula el rang de les matrius      52 1 1 2 0 1 2 1 4 2 3 3 4       4   2 −3 3 0 −2 5 2 8  1  4  7 Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals 28 Calcula les matrius inverses de  0 8 3  ,  3 5 2 1  1 1  1 1 , 4 3   3 4  1 0  7 12 4x − 2y + 6z 2x − y + 3z = −1 = 2.
1   −2 7 29 Resol els seg¨uents sistemes    3x − 4y + z 2x + y − 5z   x + 2y + 3z =4 =8 = 14.
30 Discuteix els seg¨uents sistemes d’equacions    x − 3y − 4z ax + 5y − az   15x + 5ay − 30z    −x + y − az ax − 3y + z   ax − y + z =3 =6 = 3.
=7 =0 = 0.
31 Discuteix els seg¨uents sistemes d’equacions    x + y − 6z x − 2y + 6z   3x − y + mz    x + ay + z x + y + az   ax + y + z =0 =0 = 0.
32 Donat el sistema d’equacions lineals mina el par`ametre t de manera que =a+2 = −2(a + 1) = a.
   x+y ty + z   x + (1 − t)y + tz    x+y+z 2x − my + nz   x +z =1 deter=0 =t+1 a) El sistema tinga soluci´o u´ nica.
b) El sistema tinga infinites solucions.
c) El sistema no tinga soluci´o.
33 Resol els seg¨uents sistemes aplicant el m`etode de Cramer  x+y+z     y+z+t  x+z+t    x+y+t =2 =2 =2 =2      x+y 2x − y − z  x + 2y − z + t    2x − t =4 =8 = 12 = 12.
53 =2 =4 = 2.
34 Discuteix, segons els valors del par`ametre a els seg¨uents sistemes homogenis:      ax + y + 2z = 0  x + y − 2z = 0 4x + ay − z = 0 ax − 2y + z = 0     4x + 2y + z = 0 2x + ay = 0.
35 Resol els seg¨uents sistemes d’equacions      ax + y + z = a  x + 2y − 3z x + ay + z = a 2x + y + az     x + y + az = a.
x−z 36 Resol els sistemes    3x − 2y + z = 3 2x + 3y − 2z = 0   4x − y + z = 6 37 Resol els sistemes    x + 5y − z 2x + 3y − 4z   x − 2y − 3z x+y 2x + 2y =5 =1 =2 =1 =1 =0 =0 = 0.
x + 2y + z 2x − 3y − 5z    a+b−c =0 −a + 2b + d = 4   2a + c − d = 0 38 Classifica i resol, sempre que aix`o siga possible, els seg¨uents sistemes      x − y + 2z = 4  2x − 3y + 4z = −12 x + ay y + 3z = −1 x + 4y − 3z = 15   ax + y   4x − 2z = 12 11y − 10z = 42 54 =0 =0 =1 = −1 ...