Función inversa e implícita (2010)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura matemáticas
Año del apunte 2010
Páginas 6
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 2
Subido por

Descripción

Apuntes esquemáticos y detallados

Vista previa del texto

5- Teoremes de la funció inversa i implícita L’objectiu d’aquest tema es redueix a saber si existeixen les solucions, encara que no sapiguem trobar-les, i extreure informació sobre la relació entre les variables estudiades.
Volem afitar en quins casos, si tenim “ f : ℜn → ℜn ” existirà “ f −1 : ℜ n → ℜn ”.
1. Funcions injectives, exhaustives i bijectives Una funció es una regla de correspondència entre dos conjunts, en la que cada element del conjunt origen li correspon un y només un element del conjunt destí. Per tant, serà una funció si els elements del conjunt origen (o domini), no es repeteixen.
• Funció injectiva: Si cada element del conjunt es imatge d’un únic element del domini: f : A → B on ∀a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) = f (a2 ) → a1 = a2 I també s’haurà de complir que: f : A → B on ∀a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) ≠ f (a2 ) → a1 ≠ a2 • Funció exhaustiva: Si el conjunt imatge coincideix amb el conjunt d’arribada: f : A → B on ∀b ∈ B : ∃a ∈ A : f (a) = b • Funció Bijectiva: si la funció és injectiva i exhaustiva.
2. Teorema de la funció inversa A partir d’una funció: f : A → B ⇒ ∀a ∈ A, f (a ) = b ∈ B Volem trobar-n’hi un altra tal que: g : B → A ⇒ ∀b ∈ B, g (b) = a ∈ A → g = f −1 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 5-1 Quedant com: −1 f f x → y → x x ⇒ y = f ( x) ⇒ x = f −1 ( y ) Complint-se que: • ( f −1 ⋅ f )( x) = f −1 [ f ( x)] = x • ( f ⋅ f −1 )( x) = f f −1 ( x) = x [ ] 2.1. Característiques: • La notació f −1 es refereix a la inversa, i no a l’exponent “-1” utilitzat en els nombres Reals.
• La inversa de la funció, quan existeix, és única.
• La inversa d’una funció bijectiva sempre existeix.
• Menys en casos excepcionals, f y f −1 son simètriques respecte a la funció x= y.
2.2. Procediment de càlcul: 1. Es substitueix f ( x) per y en la funció original.
2. S’intercanvien x y y per obtenir x = f ( y ) .
3. S’aïlla la variable y .
4. En la solució escriurem f −1 ( x) en lloc de y .
2.3. Desenvolupament: Si la nostra funció es bijectiva, podrem definir la funció inversa de tots els seus punts: f : ( x) = y → f −1 ( y ) = x Considerarem que: Si “ f ” es injectiva, continua i derivable en un punt “ a ” que pertany al seu domini, on “ f ′(a ) ≠ 0 ”. Llavors existirà “ f −1 ”, i serà derivable en el punt “ b = f (a ) ”, podent-ho resumir com: ( f −1 )′ (b ) = Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 1 f ′(a ) 5-2 3. Regressions Lineals a ∈ A Una aplicació “ f : A → B ” on  serà lineal si compleix: b ∈ B • f (a + b) = f (a ) + f (b) • f (α ⋅ a ) = α ⋅ f (a ) 3.1. Formulació matricial Partirem de f : ℜn → ℜm , que podem escriure com: f ( x1 , x2 ,L, xn ) = (a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + L + a1n ⋅ xn , a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + L + a2 n ⋅ xn ,L L, am1 ⋅ x1 + am 2 ⋅ x2 + ... + amn ⋅ xn ) = ( y1 , y2 ,L, ym ) Ho expressarem en forma de equacions: a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ... + a1n ⋅ xn = y1 a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = y  21 1 22 2 2n n 2  K am1 ⋅ x1 + am 2 ⋅ x2 + ... + amn ⋅ xn = ym I en forma matricial:  a11 a12   a21 a22  M M  a  m1 am 2 K a1n   x1   y1       K a2 n   x2   y2  ⋅ = → A⋅ X = Y K M   M  M       K amn   xn   ym  On “A” es la matriu del sistema.
Observació: Si, realitzant aquest càlcul, ens trobem amb una funció “ f : ℜn → ℜn ”, llavors: A ⋅ x = y → x = A−1 ⋅ y Utilitzarem també la matriu ampliada del sistema, que pren la següent forma:  a11 a12   a21 a22  M M  a  m1 am 2 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit K a1n y1   K a2 n y 2  = (A y) K M M   K amn ym  5-3 4. Teorema de Roché-Frobenius Partim del rang, aquest serà el nombre màxim de fileres, o columnes, linealment independent.
Llavors, podrem descobrir davant de quin sistema ens trobem segons el tipus de solució: • Sistema incompatible: sense solucions.
rang ( A) ≠ rang ( A y ) • Sistema compatible determinat: nombre finit de solucions.
rang ( A) = rang ( A y ) = n • Sistema compatible indeterminat: nombre infinit de solucions.
rang ( A) = rang ( A y ) < n 4.1. Tipus de sistema segons els termes independents: • Sist. Heterogeni: No tots els termes independents son nuls.
• Sist. Homogeni: tots els termes independents son nuls.
El sistema homogeni sempre tindrà solució, la (0, 0, 0, ..., 0, 0), que es coneguda com la solució trivial; com es una solució sense interès, considerarem que té solució si, i només si, té solucions diferents de la trivial.
5. Teorema de la funció implícita Estableix les condicions en les que es possible obtenir la funció “ F : A → B ” quan es coneguin les relacions implícites entre les variables “ F ( x, y ) = 0 ”. Dit d’una altra manera: podem definir la “y” en funció de “x”? La importància d’aquest teorema radica en que podrem descobrir la diferencial en un punt d’una funció, sense conèixer dita funció explícitament.
5.1. Modelització del procediment utilitzant un cas particular: Tenim una funció que compleix: F : ℜn → ℜ Les derivades parcials son continues.
Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 5-4 Tenim un punt ( x0 , y 0 ) ∈ ℜ n que fa que F ( x0 , y 0 ) = 0 i ∂F ( x0 , y 0 ) ≠ 0 .
∂y Llavors existeix un entorn obert, on existeix una funció f : V → U per a la que: F ( x, f ( x ) ) = 0 On f (x) serà contínuament diferenciable: F x ∈U ∂f ∂y = = − x ( x, y ) per a tot  ∂x ∂x Fy  y ∈V 5.2. Modelització general: Podent concretar que, en forma general, ens trobarem amb el següent procediment: F : ℜn × ℜ m → ℜ m llavors ( x, y ) → F ( x, y ) = (F1 ( x, y ), F2 ( x, y ),..., Fm ( x, y ) ) Volem reformular la equació, substituint la “y”, i deixar-la en funció de “x”: ∃f : ℜn → ℜ m que ∀x ∈ ℜn → ( x, y ) → F ( x, f ( x)) = 0 5.3. Alternatives en la resolució: 1. Derivant implícitament la equació Farem una derivada sobre una de les variables, considerant la resta de variables con a funcions de la variable derivada.
∂f ( x, y ) on y = f ( x) ∂x 2. Aplicant el teorema de la funció implícita 2.1. Sense utilitzar àlgebra matricial: f ( x, y ) dy =− x dx f x ( x, y ) 2.2. Utilitzant àlgebra matricial: [ df ( x) = − J y F ( x, f ( x)) ] ⋅ [J F ( x, f ( x))] −1 x On:  ∂F1 (x0 , y0 ) ∂F1 (x0 , y0 )  ∂x2  ∂x1 ∂F2  ∂F2 (x , y ) (x0 , y0 ) J x F ( x0 , y0 ) =  ∂x1 0 0 ∂x2  M M  ∂ F ∂ F m m   ∂x ( x0 , y0 ) ∂x ( x0 , y0 ) 2  1 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit ∂F1 (x0 , y0 )  ∂xn  ∂F2 (x0 , y0 )  L ∂xn  L M  ∂Fm (x0 , y0 ) L ∂xn  L 5-5  ∂F1 (x0 , y0 ) ∂F1 (x0 , y0 )  ∂y2  ∂y1 ∂F2  ∂F2 ( (x0 , y0 ) x0 , y0 )  J y F ( x0 , y0 ) = ∂y1 ∂y2  M M  ∂ F ∂ F m m   ∂y ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 ) 2  1 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit ∂F1 (x0 , y0 )  ∂yn  ∂F2 (x0 , y0 )  L ∂yn  L M  ∂Fm (x0 , y0 ) L ∂yn  L 5-6 ...