Examen Final Primavera 2014 (2014)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Senyals i Sistemes Notes Prov.: 25-6-14 Examen Final P14: 16 de Juny de 2014 Veure examen corregit: 26-6-14 (11h) Al.legacions: fins 27-6-14 Durada: 2:50h Notes Def.: 1-7-14 No es permet l'ús de calculadores, mòbils, llibres i/o apunts.
Les respostes d'exercicis diferents s'han d'entregar en fulls separats.
EXERCICI 1 w(t) x(t) (.)2 y(t) h(t) potència instantània potència mitjana Considerarem el sistema de la figura, que calcula la potència mitjana al llarg del temps del senyal real w(t). Primer es troba la potència instantània x(t)=w2(t) i, a continuació s'aplica un sistema lineal allisador de resposta impulsional h(t) per obtenir el senyal de potència mitjana y(t).
La resposta impulsional que considerarem és Suposarem que el senyal d'entrada és a) b) h(t ) = Ce − Ct u(t ) , on C és una constant real positiva.
w(t ) = A·u (t ) , on A és una constant real: Calcular el senyal de potència mitjana y(t).
Dibuixar el senyal y(t) obtingut i raonar si un augment de C fa que l'esglaó d'entrada quedi més o menys allisat.
El sistema allisador es vol realitzar digitalment. Amb aquesta finalitat, es mostregen tant x(t) com h(t) amb una freqüència de mostratge fs. Es demana: − CT c) d) e) f) g) Trobar h[n] en funció de C i Ts=1/fs. Expressar h[n] en funció de la constant a = e s .
Usant l'expressió de h[n] en funció de a, calcular pas a pas la funció de transferència H(z).
Demostrar que el sistema és estable per a qualsevol valor no nul de Ts i C.
Donar la resposta freqüencial H(F) i dibuixar-ne el mòdul per a -1≤F≤1.
Trobar pas a pas l'equació entrada-sortida (en diferències finites) que expressa y[n] en funció de x[n]. Donar el diagrama de realització (de blocs) del sistema discret corresponent.
h) Per comparar el sistema dissenyat amb el sistema allisador alternatiu h2 [ n] =   L − n, 0 ≤ n < L , es demana:  0, altre n 1) 2) 3) 4) Quina longitud tenen els segments que consideren cada un dels sistemes per calcular la potència mitjana? Com pondera cada sistema el senyal x[n] dins d'un segment? Dibuixar la forma.
Relacionar els paràmetres L i C en termes de grau d'allisament.
Quantes multiplicacions per mostra de y[n] necessita cada un dels dos allisadors? Quin és preferible en termes de càlcul? EXERCICI 2 Sigui el sistema de la figura que simula idealment un mostrejador de senyals prèviament modulats.
xm(t) x(t) x Mostrejador a fs xs(t) cos(2πf1t) Si es considera el senyal d’entrada x(t)=B sinc2(Bt) , es demana: a) Trobi l’expressió i dibuixi acuradament X(f), Xm(f) i Xs(f) , tot indicant-hi detalladament els valors més rellevants corresponents als dos eixos. Suposi B=5 kHz, f1=10 kHz b) c) i 1 = f s >> f1 .
Ts Quina és la freqüència de mostratge fs mínima que verifica el criteri de Nyquist? Prengui ara fs=f1=10 kHz i dibuixi en aquest cas Xs(f). Raoni si per aquest valor de fs es podria recuperar x(t) a partir de xs(t). Compari el valor de fs pres amb el resultat de l’apartat anterior.
∞ n  t − n 2T0 Si l’entrada és el senyal periòdic x(t ) = ∑ (−1) Λ T n = −∞ 0  d) e) f)     Dibuixi el senyal x(t) i indiqui el valor del seu període.
Trobi la transformada de Fourier Xb(f) del senyal bàsic de x(t), que conté un sol període de x(t).
Trobi la transformada de Fourier X(f). Dibuixi X(f) tot indicant-hi els valors més significatius. Suposi 1 = 20 KHz .
T0 g) Trobi l’expressió del desenvolupament en sèrie de Fourier de x(t) en forma de sinusoides.
EXERCICI 3 Un senyal d’informació, modelat per un pols rectangular, està distorsionat per una interferència sinusoïdal de freqüència f0 que es vol eliminar. Quan aquest senyal es mostreja a una freqüència de mostratge fs=8 kHz s’obté la seqüència x[n] = p20[n] + 0.5cos(2π 9/20 n).
Es demana respondre a les següents preguntes: a) b) c) Indicar els possibles valors de la freqüència analògica f0 si el mostratge es fa sense filtre antialiasing.
Donar l'expressió de la transformada de Fourier X(F) i dibuixar-ne el mòdul entre F=0 i F=1.
Si la seqüència x[n] s’enfinestra amb un pols rectangular de durada N=2000 mostres, obtenint-se xN[n], indicar, sense fer cap nou dibuix, quins canvis hi hauria en l'expressió de la seva transformada de Fourier.
El senyal x[n] es vol processar per eliminar la interferència sinusoïdal seguint el següent esquema, on el nombre de punts de la DFT és N=2000: x[n] DFTN X[k] X Y[k] IDFTN y[n] H[k] on H[k]=DFTN{h[n]} d) e) f) g) h) Sent X[k] la DFT de N punts de x[n], 0≤n≤(N-1), indicar: – Els valors de k pels quals X[k]=0; – L’amplitud de X[0]; – L’amplitud i posició dels pics de la DFT deguts a la sinusoide interferent.
Indicar la seqüència H[k] que aconsegueix eliminar la interferència de manera que y[n]=p20[n] per a 0≤n≤(N-1).
Demostrar que la interferència també queda eliminada amb el filtre h[n] = δ[n] + 1.9.δ[n-1] + δ[n-2], resultant y[n] ≈ 3.9·p20[n] per a 0≤n≤(N-1). Nota: Seguir considerant N=2000 i tenir en compte que 2cos(0.9π) = -1.9.
Raonar si s’aconseguiria eliminar completament el senyal interferent (sinusoide) en el cas que el nombre de punts de la DFT fos N=2010.
Si x és un vector de Lx mostres que conté els valors de x[n], i h és un vector de Lh mostres que conté els valors de h[n], escollir un valor de N apropiat, raonant-ne la seva elecció, i escriure el codi MATLAB que, fent ús de la DFT, generi el vector z=conv(x,h).
f.'1-. 1.
l0 - ~ - 201 L¡ C t =l> w.és geJASby:a ex~ Alt-tltJ =° J.J.eu.y~ aUIJt>iUteJ.
Je l'Ps~foó u e, a-? o c. z-_ a -= .
V\ 1 <( 'b -> ~ 1 ) 2) hH -i> Vt2 L41 ~ /V- ~ a > l ( eI T~ > D ) l - C\.
\l:::..o fw~;-L<¿ ~wa.+ I\ lt 'IC~):::: C\, "-l{i) 2-' + e X-Ce-) i'A-1 l\~Vlj =a~ [,u-1] +-e>'- (u] X otJ ~e;.;:~~ l Lt e~~.
~ (1J L ?:.) V\ (.¡l -P Cu I L t ·~ 'IMés ttWierwtl-tt l \f(aCt \{ C t rJJeuvr;.
,\rt vfffet -t) q ( ~1 'r 'º , oos -: .
C! O VY- -:: ?\ ' '"' I 1 >-v-.!o, .
~.
( \ O?, 000¿,' t = (Y" ~ o o 1= -:: 71 J-¡ y ') ~\ ~ d vn'\J ~~ \~ 7VJL~a,c:L - 0-Z ( "'. '-¡ U º"'" .
>v- / _j"' ' º 1<.f t V 19 ' , ' .
o¡/' o 1 , y JY '1r''sf' · v "- ( /i\'' -Z:r 7 '$, " 71 r "1 71 Jt# ~ :i ' - ,'-'.. "" ' -:. vn OO._,,, ' [ ':Y1' Y> J -,< ':'.;; v <;,,_ <N\°\-:J 1\~ """,..
1 V\ ?'\ no.
X O- 00y. w -: 7' GO({c JVY1 "o \fiY) ~ Y O(,/~ --d "o - ' [ "°'·1)"3', J cY) - )l.
- o~ l7f]'/ - Íf }1~ C\ 0 r ~ ~ <Y) x-r~l Y\ V) ~~ <'.( ,\~ S'J~~ t "'11 C':fd.J [_v¡J Q)CccL ~ -=ll __,, _)~ ~)\l'{)() rJ Yí)O!' ~ u~~ ~\) tv"~ crvj ha- ';;°1--\~ ~ ~ ; "\ "'4~;,.u ~ \10- ~'\ w-. b -..\ 1 ov-,.-s "') '-Q t ~ "'1 ca \: vJ Ge¿ ~ l YlJ qpe-zci "=>\O,~ j_ y J Jl\\5?::, ~ oZ \../~'-'=T'l=-=-J, 1: :: Qz -¡:;: -+ oc: "» - l -nJ ~ ~ ivoicr-\\ ~ ~ J d-V'0J~ _f~'\\:->d y3.
\ ~¡ 1'~'~ --+--7·~·-·-·-·--vn - ( yY -=L l.
b 7.,/1 O'r' oz 0.il, ).
3 r~ 1 ~ -L ) 2' -, "-+ az 4cx:iccm ( 7 J-, -1 ~ (=tu")u~ 4 0 1 ~u2)4u=s \ \><? r d 'oY.:::l.U - :.
(-+'!< -/ -- - .Z 'e-' V °" vn "j . W ~ 'tl '- lf 00 5 '¿ -:¡ c;,L'l ':?YJ >', 'O o o .J <e 7: H ""'""I' ~ (9 : ';S, Y':> Qj ~u.'-'? ; :\"=' "' ºj ~vYcr- <:;, ("" ~q ~ "° ,n~r~r e\ ;;:.~y, 7 "'( ~ \;~\\0"-' ~ ~\~ °' -=t- ~ 9¡fu ( \/-- -:_/u O) t -=- \ "'/1-o \--\ [IL le ( k-:- /{Aoo) ~ J -"- ""-'f-le. ~. "-- ~ } O \L-=- ~ao 1 L-e kv J-:_ /\ - .t-\ [it- J \ , =¡ oo , \t- '- ,/A OO 't---=- ,,,itt i.?o ~-e\?- 1- ")Oo ~- CV- - ~;{oo J == o \,_ -=- /00 ' " ,A - \-{ ('1/-io } e ,,Á - - /1 l J °'-\ ' () - l°kWv<Js. ~ ~ l"-' ""'\k-.~ CO·'l \\) -€ 12.flF-.- e-1 2¡1 u ('. 1 o.°''\_ t:__ -i o ••,,,) e - \ O·'l ~ _,_ ~-1 2il 'ºI L LOS ~ ' -t-zn-0-1) e -t- 3;:' "'- \ ""'-' n~ cs.,,\,;°" ¡u e\_VA H e~) :~ J\ Lo) 1 ~-1\J.A\'Z_ -e f"-0-\.A./t V\ ) r- furUJLoOIA 1~ \--\lo) ~ { {tA J ~/~1-01 ~ U.AD ,;:,~- - l-.o y2-0 ,w eo) .. ? clA J b ¿ t- :; /{_,¿ ,,A+)-°'i-\- Á :: =-O l~ ' n ~r ~.ne, c._ (_ "o \,«,\Aá"- +-e 2.o ~-1 ~) lc-- ~ ~ 0\CL.
lr"--"J(_ l. ~ \_~ fº~·'-" 'Q \.L'..
'2.C) 0_ "' ~~ )(V'---(¿ r-€"¡-M- " i u__ \__Q__ '(_JJVA ~~\"-() U)rrt~JM; ~ T \o -- \__, ~ \ ~~ ~ U0c_ I ~...Q_ 9/w ~ ~ r ~ C\ \.A" ~ n 'vi 'e_ l...<_~ °loo \C\\._r \/-::__ \\Oo ¡"" "- ~~ ""-\"' r-<c 1x.
l ~i\c_,'"' , ¡;;, n e__ \MD S, k,__ ~ l~ ~ l~ °' t=:· : __ 7/¿D b :/:- C'.\oli. s rr « ~\ ~Y\1()\\ ~ +J- ~~í ~ \L._ e-\ F·I~ ~\ ~¡°'<'\x{- ~ ~o l0- LJ O (°' t,_ ~~S' q IA; 6 J ~ ~~tt ~~rn1'{\o_~ ~f()'- .,_¡ ~ \ "'/'°"' t,J F n ys:.~' b~ ~· m1 '(\cY\r \Q__ in~ 1 0~ 'c.....
\.fl)U"'I~ t-~\AA~t S--QV1á,...Q_ ~·-S,.-to \&-1. DtAo--r e\ ~ vt J°L( Nu ·-e:) Q \n) Lrc - lou_¿. ~ lL~ - \v0 V~ G ~¡\ ~-~}S __ CoJA.
L )< Li,, e ~ AJ~ \-"J {\, (% ) ; ~'J iti ( kJ ; LJ( -1; +~ Xw_ ~ +·~ ~ l '>< IV); !~ ~ -- ~+ ~ ~ AJ ) ; ~ :__ X ;f-+-\ ~ ; ( 1 1 \l-- • 2- :_ ~r+~ (~/ /\J)~ ...